Некоторые дополнительные операции над нечеткими множествами

Концентрирование

Пусть на универсуме X задано произвольное нечеткое множество A={x, } - Операция концентрирования, обозначаемая через CON(A), дает в результате нечеткое множество С={x, }, функция принад­лежности которого равна значениям функции принадлежности исходного нечеткого множества, возведенным в квадрат, т. е.

Соответствует лингвистическому модификатору «очень»

Рис. 19. Графическое представление операции концентрирования нечеткого множества, для П-образной функции принадлежности

Растяжение

Операция растяжения, обозначаемая через DIL(А), дает в результате нечеткое множество A={x, }, функция принадлежности которого равна значениям функции принадлежности исходного нечеткого множества, возведенным в степень 0.5, т. е.

Соответствует лингвистическому модификатору «слегка»

Рис. 20. Графическое представление операции растяжения нечеткого множества, для П-образной функции принадлежности

Отрицание

Пусть на универсуме X задано произвольное нечеткое множество A={x, } - Операция отрицания, обозначаемая через NOT(A), дает в результате нечеткое множество С={x, }, функция принад­лежности которого равна разности единицы и значениям функции принадлежности исходного нечет­кого множества, т. е.

Соответствует лингвистическому модификатору «не»

Лекция 3. Нечеткие операторы

Треугольная норма (Т-норма, t-норма)

Произвольная действительная функция от двух переменных Т: [0,1]x[0,1] [0,1] называется треугольной Т-нормой если она удовлетворяет следующим свойствам, называемым аксиомами треугольной нормы:

T(x,0)=0 ; T(x,1)=x	Ограниченость
T(x, y) = T(y, x)	Коммутативность
T(x, T(y, z)) = T(T(x, y),z)	Ассоциативность
	Монотонность

Типичной Т-нормой является операция взятия минимума (пересечения) двух нечетких множеств. Также условия Т-норм выполняются для алгебраического произведения двух нечетких множеств, граничного произведения (норма Лукасевича) и драстического произведения.

Треугольная конорма (Т-конорма, s-норма)

Произвольная действительная функция от двух переменных S: [0,1]x[0,1] [0,1] называется треугольной Т-конормой если она удовлетворяет следующим свойствам, называемым аксиомами треугольной конормы:

S(x,0)=x ; S(x,1)=1	Ограниченость
S(x, y) = S(y, x)	коммутативность
S(x, S(y, z)) = S(S(x, y),z)	ассоциативность
	Монотонность

Типичной треугольной конормой является операция логической суммы (объединения) двух нечетких множеств. Так же условия Т-конорм выполняются для алгебраической суммы, граничной суммы и драстической суммы.

t-норма и t-конорма играют важную роль в ряде приложений, связанных с нечеткими выводами, системами управления и т.д. Чаще всего используют логические произведение и сумму.

Импликатор

Импликатором I называется бинарная функция, частные функции которой изменяют порядок по первой переменной, сохраняют по второй, и для которой выполняются условия

Нечеткие высказывания и операции над ними.

Нечеткое высказывание – повествовательное предложение, относительно которого можно судить о степени его истинности или ложности в настоящее время. Степень истинности d( ) принимает значения на интервале [0,1].

Значение 0 соответствует ложности высказывания, 1 – истинности высказывания, 0.5 – индифферентности.

Пример. «2 – маленькое число» - Нечеткое высказывание, степень истинности которого может быть равна 0.9.

Отрицанием нечеткого высказывания является высказывание , степень истинности которого определяется выражением , где N – инвертор.

Конъюнкцией нечеткоих высказываний

Нечеткие отношения

Нечетким отношением называется некоторое фиксированное нечеткое подмножество, заданное на декартовом произведении нескольких универсумов.

Пример

Необходимо построить некое нечеткое отношение, описывающее поиск неисправности в автомобиле. В качестве первого универсума будем считать множество причин неисправности

X={x₁, x₂, x₃, x₄}

Где x₁ - неисправность аккумулятора

x₂ - неисправность карбюратора

x₃ – неисправность, связанная с плохим бензином

x₄ - неисправность системы зажигания

В качестве второго универсума рассмотрим множество проявлений неисправностей

Y={y₁,y₂,y₃ }

Где

y₁ - двигатель не запускается

y₂ - двигатель работает неустойчиво

y₃ - двигатель не развивает общей мощности

Причинная взаимосвязь между x и y не является однозначной. Нечеткое отношение может быть представлено следующей таблицей:

Такое нечеткое отношение может быть записано в форме списка:

Или в виде нечеткого графа: