Нормальный закон распределения вероятностей случайных величин

Наиболее широкое применение в теории вероятностей и различных ее прикладных приложениях, в том числе и в теории надежности, имеет нормальный закон распределения вероятностей случайных величин, которой является частным случаем распределения Вейбулла. Его широкое применение связано с удобством его прикладного применения (параметрами этого распределения являются математическое ожидание и дисперсия) и связано с центральной предельной теоремой теории вероятностей, суть которой сводится к следующему утверждению. Если некоторая случайная величина x является суммой большого числа независимых случайных величин x_i и если среди слагаемых x_i нет таких, влияние которых на дисперсию x является преобладающим (или проще – нет отдельных слагаемых x_i величина которых сравнима с величиной суммы x), то при неограниченном возрастании числа слагаемых закон распределения вероятности случайной величины x все с более высокой точностью приближается к нормальному закону вне зависимости от того каким законом распределения подчиняются слагаемые x_i.

Исходя из формулировки этой теоремы легко привести большое число примеров из различных областей знаний, когда априори можно утверждать, что некоторый рассматриваемый параметр имеет нормальное распределение.

Нормальный закон распределения вероятностей некоторой случайной величины x, имеющей область возможных реализаций [а, в], имеет плотность распределения, определяемую следующим выражением:

, (20)

где С – параметр, определяемый из условий нормировки ФРВ, и – математическое ожидание и стандартное отклонение случайной величины.

Используя определение ФРВ и ее связь с плотностью распределения получим:

< . (21)

Подставляя в (21) выражение (20) и проведя необходимые преобразования получим:

, (22)

где – – интеграл ошибок или интеграл Лапласа, – квантиль нормального распределения.

Используя условия нормировки ФРВ , заключающиеся в выполнении условия , получим в явном виде выражение для нормировочной константы:

. (23)

Интеграл ошибок , через который выражается в явном виде ФРВ , является табличной функцией, значения которой приведено в справочной литературе. Он обладает следующими основными свойствами: – является нечетной функцией; ; – интеграл Пуассона.

Если множество возможных реализаций случайной величины x совпадает с действительной осью, то есть нижняя граница , а верхняя – , то и и нормировочная константа С принимает значение равное 1. Поэтому только для случайной величины, имеющей область возможных реализаций в виде всего множества действительных чисел возможно применение формул (20) и (22) с С=1. Если же интервал возможных реализаций случайной величины конечен, то в (20) и (22) необходимо использовать константу С в виде (23). Однако, если величина и , то , а и величина константы С отличается от 1 на величину меньшую 0,0028. Следовательно, в этом случае можно использовать упрощенный вид функций (20) и (22) с , допуская погрешность меньшую 0,3%.

Нормальное распределение также используется для описания распределения случайной величины Т – наработки до отказа, имеющей область возможных реализаций [0, ¥]. Подставляя значения верхней и нижней границ в интеграл ошибок ( и ) получим выражение для ФРВ отказов (22) и (23) в виде:

, (24)

. (25)

В таблице 2 приведены численные значения интеграла ошибок и константы С (25) в зависимости от значения параметра .

Таблица 2 - Численные значения интеграла ошибок и нормировочной константы для ФРВ отказов в зависимости от параметра

№
		0,3413	0,4772	0,4986	0,49997
	С	1,189	1,023	1,001	1,00003

Из таблицы 2 видно, что только при с погрешностью менее 0,1% функцию распределения вероятности отказов можно записать в виде:

, (26)

Отметим, что во многих учебниках по надежности ФРВ отказов используют в виде (26) и (20) с С=1 без указания, что это приближенный вид распределения, а величина допускаемой погрешности зависит от коэффициента вариации этого параметра . Причём в надёжности значение этого параметра существенно больше, чем при оценке геометрической точности изготовления.

Из соотношения (26) следует, что в этом случае функцию распределения вероятности безотказной работы можно представить в виде:

, (27)

где выражение для квантиля распределения имеет вид:

. (28)

Нормальное распределение вероятности случайной величины двухпараметрическое распределение, содержащие в явном виде в качестве параметров m – математическое ожидание и s – стандартное отклонение случайной величины. Общий вид графиков нармального распределения приведён на рисунке 7.

Нормальное распределение случайной величины обладает важным свойством, которое называется устойчивостью нормального распределения. Суть этого свойства сводится к следующему. Если случайная величина x является линейной композицией других случайных величин x_i

, (29)

(здесь а_i и a₀ – детерминированные величины), распределенных по нормальному закону с параметрами распределения и , то случайная величина x распределена также по нормальному закону с математическим ожиданием:

, (30)

и стандартным отклонением:

. (31)

Рисунок 7 - Плотность распределения f(t), ФРВ отказов F(t), ФРВ безотказной работы Р_н (t) и интенсивность отказов нормального распределения в зависимости от наработки t для >

Это свойство нормального распределения широко используется в теории надежности и других прикладных приложениях теории вероятности, например, при оценке производственных погрешностей, в управлении качеством продукции и т.п. Кроме того, при малых значениях коэффициента вариации нормальное распределение хорошо аппроксимирует биноминальное, Пуассоново и логарифмическое нормальное распределение.

Основные виды непрерывных распределений случайной величины, используемых в теории надежности, представлены в табл.3. В таблице использовано общепринятое обозначение: - гамма-функция.

Логарифмическое нормальное распределение (№3 таблица 3) используют для описания наработки до отказа деталей по усталости. Распределение Вейбулла (№4 таблица 3) обладает большой универсальностью, так как путем варьирования параметров t₀(параметр масштаба) и т (параметр формы) переходит в другие виды распределения. Его используют для описания надежности изделий по приработочным отказам и усталостным разрушениям. Распределение c²(№6 таблица 3) в основном используется для оценки границ доверительных интервалов и проверки правдоподобия гипотез. Распределение Стьюдента (№7 таблица 3) применяют для оценки границ доверительных интервалов при конечном числе измерений.