Определение сходящейся, расходящейся, бесконечно большой или бесконечно малой последовательности

Если последовательность имеет конечный предел: , то называется сходящейся последовательностью; в противном случае называется расходящейся последовательностью (т.е. для расходящейся последовательности или или или не ).

Если , то называется бесконечно большой последовательностью.

Если , то называется бесконечно малой последовательностью.

Например, в рассмотренных выше примерах сходящимися являются последовательности с , а также последовательность ; все эти последовательности являются также бесконечно малыми, потому что все они имеют пределом число 0.

Последовательности с , , а также последовательность являются расходящимися; из них бесконечно большой является только последовательность с общим членом .

1.5. Упражнения для самостоятельной работы

1. Для нескольких последовательностей известны формулы общего члена:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ;

6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) .

Для каждой из этих последовательностей вычислите несколько первых членов и по расположению чисел на координатной оси сделайте вывод о пределе .

2. Среди последовательностей предыдущего задания укажите номера сходящихся, расходящихся, бесконечно больших и бесконечно малых последовательностей.

3. Докажите строго по определению предела, что :

1) ; 2) ; 3) .

Ответы к упражнениям для самостоятельной работы

1. 1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ; 8) ;

9) ; 10) .

2. Номера сходящихся последовательностей: 1), 3), 5), 6), 9), 10);

расходящихся последовательностей: 2), 4), 7), 8);

бесконечно больших последовательностей: 2), 8);

бесконечно малых последовательностей: 1), 6), 9), 10).

Основные свойства предела последовательности. Ограниченные последовательности

2.1. Единственность предела. 17

2.2. Предел стационарной последовательности. 17

2.3. Переход к пределу в равенстве. 18

2.4. Переход к пределу в неравенствах. 18

2.5. Теорема о зажатой последовательности. 19

2.6. Связь сходящейся последовательности с её пределом и бесконечно малой последовательностью 20

2.7. Ограниченность последовательности, связь с пределом.. 21

2.8. Упражнения для самостоятельной работы.. 23

Единственность предела

Теорема о единственности предела

Если существует предел последовательности , то этот предел является единственным

w Проведем доказательство от противного. Предположим, что последовательность имеет два различных предела: и .

У двух различных точек а и b координатной прямой (возможно, расширенной) всегда можно указать непересекающиеся - окрестности: (это одно из свойств окрестностей).

По определению предела имеем:

Следовательно, при , где , все входят в обе окрестности и , что невозможно, так как окрестности не пересекаются. Получившееся противоречие говорит о том, что предположение о двух различных пределах одной и той же последовательности является неверным. Следовательно, верно противоположное: последовательность может иметь только один предел. v

Предел стационарной последовательности

Теорема о пределе стационарной последовательности

Если все члены стационарной последовательности равны числу a, то существует предел этой последовательности, равный числу a: .

w Пусть , тогда будет при ;

по определению конечного предела заключаем, что , т.е. предел постоянной последовательности существует и равен этой постоянной, (рис. 15). v

Переход к пределу в равенстве

Теорема о переходе к пределу в равенстве

Если члены двух последовательностей и совпадают (начиная хотя бы с некоторого номера ) и обе эти последовательности имеют пределы, то их пределы равны: если .

w . Так как при всех верно равенство , то при будет верно, что , где – это произвольное малое число. Отсюда на основании определения предела заключаем, что . Так как последовательность может иметь только один предел, то , ч.т.д.v

Иллюстрация к свойству приведена на рис. 16:

Рис. 16

Другими словами это свойство можно сформулировать так:

в равенстве можно переходить к пределу:

(при условии, что предел правой и левой частей существуют).