Свойство локальной ограниченности функции, его связь с пределом Напомним, что функция называется ограниченной на заданном множестве , если является ограниченным множество её значений
, т.е. числа и , такие что .
Часто используется другая форма записи факта ограниченности функции на множестве :
Например,
Определение локальной ограниченности функции
| Функция называется локально ограниченной в точке (или при ), если можно указать такую окрестность точки , в которой функция является ограниченной:
– лок. огр. в точке при ℝ.
|
Примеры (ограниченность на множестве и локальная ограниченность функций)
1) – ограничена на всей ООФ, т.к. ℝ; является также локально ограниченной в любой точке ℝ и при :
2) – является неограниченной на ООФ;
в любой точке , а также при является локально ограниченной;
в точке является локально неограниченной:
Связь понятий локальной ограниченности/неограниченности функции с её пределом устанавливается следующей ниже теоремой.
Теорема о связи локальной ограниченности функции с её пределом
| 1. Если функция имеет конечный предел в точке , то она является локально ограниченной в этой точке.
|
w1. Пусть , где при
, т.е. при , т.е. в проколотой окрестности точки функция является ограниченной; в самой точке эта функция может быть не определена или может принимать некоторое числовое значение; таким образом, в полной окрестности точки функция имеет ограниченное множество значений, следовательно, является локально ограниченной.v
2. Если функция имеет бесконечный предел в точке , то она является локально неограниченной в этой точке.
|
w2. Пусть при
при , т.е. в окрестности точки множество значений функции является неограниченным. v
Схема связи понятий предела и локальной ограниченности функции:
| ℝ – локально ограниченная в точке ;
– локально неограниченная в точке .
|
Обратные следствия, вообще говоря, не являются справедливыми. В подтверждение этого приведем несколько примеров:
1) – является локально ограниченной при , но не ;
2) – функция является ограниченной на всей ООФ и локально ограниченной при , но не существует;
график приведён на рисунке ниже:
3) – функция является неограниченной при , но не является бесконечно большой;
график четной функции можно построить перемножением значений функций и , его вид приведён на рисунке ниже:
не , т.к. не выполняется определение предела по Гейне:
для последовательности будет ,
для последовательности будет .
На основании доказанной теоремы и рассмотренных примеров можно сделать следующие выводы:
1) Локальная ограниченность функции в точке является необходимым, но не является достаточным условием для существования конечного ;
2) Локальная неограниченность функции в точке является необходимым, но не является достаточным условием для существования бесконечного .
3) Очевидно, что, если локальную ограниченность функции в точке дополнить монотонностью при слева или справа, то можно утверждать, что эта функция имеет конечный предел при (по крайней мере, односторонний).
Например,
Основные свойства бесконечно малых функций
1. Если – бесконечно малая и – локально ограниченная функции в точке , то их произведение есть б.м. функция в той же точке .
|
w – лок. огр. в точке число и ;
– б.м. в точке
В окрестности точки , которая является пересечением окрестностей и , рассмотрим произведение :
при
– б.м. в точке .v
2. Если две функции и являются б.м. в одной и той же точке , то их сумма также является бесконечно малой.
|
w – б.м. при
– б.м. при для того же
Для имеем, что
– б.м. при .v
3. Если две функции и являются б.м. в одной и той же точке , то их произведение также является бесконечно малой.
|
w – б.м. в точке является локально ограниченной в точке (как функция, имеющая конечный предел). Поэтому произведение локально ограниченной функции на б.м. является б.м. функцией при (по свойству 1).v
4. Если функция – б.м. при и в некоторой окрестности точки , то функция является б.б. при .
|
w – б.м. при .
Если эту окрестность пересечь с окрестностью точки , в которой , и рассмотреть функцию , то получим, что
– б.б. при .v
|