Предел монотонной последовательности

Теорема Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности

Всякая монотонно возрастающая последовательность имеет предел: конечный, если она ограничена сверху, или бесконечный, если она не является ограниченной сверху; при этом . Всякая монотонно убывающая последовательность имеет предел: конечный, если она ограничена снизу, или бесконечный, если она не является ограниченной снизу; при этом .

w Пусть и . Проведем доказательство первой части теоремы.

Возьмём произвольную окрестность точки и обозначим через её левый конец, (рис. 21 а), б)):

Рис. 21

Очевидно, что . Из определения точной верхней грани множества имеем:

Так как , то все при , то есть все , начиная с номера . Но промежуток входит в , поэтому все при .

По определению предела это и означает, что .

Вторую часть теоремы рекомендуется доказать самостоятельно аналогичным образом. v

Схематично связь монотонности последовательности с её пределом является такой:

Другими словами, монотонность числовой последовательности является достаточным условием для существования её предела (конечного, если последовательность ограниченная или бесконечного, если последовательность неограниченная).

Однако это достаточное условие не является необходимым. Например, последовательность имеет пределом число 0, но не является монотонной.

Если последовательность является и монотонной и ограниченной, то это является достаточным условием её сходимости:

Примеры (доказательство сходимости предела монотонной ограниченной последовательности)

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5)

и ограничена снизу, например, числом 0, поэтому конечный ;

6) , , , ,…

; ее ограниченность сверху определятся следующими неравенствами:

поэтому существует конечный .

4.3. Определение числа

Теорема Вейерштрасса, гарантирующая сходимость монотонной тонкой ограниченной последовательности, используется, например в определении числа .

Рассмотрим последовательность , в которой: Докажем, что эта последовательность является монотонно возрастающей и ограниченной сверху. Для этого используем известную формулу бинома Ньютона, для натуральной степени двучлена:

Полагая здесь , , получим развернутое представление для

величин :

вынесем из каждой скобки числителя множитель и сократим дроби на :

. ( )

Теперь видно, что все слагаемые в правой части равенства положительны и их количество увеличивается с увеличением , поэтому последовательность монотонно возрастающая; при этом очевидна её ограниченность снизу .

Чтобы показать ограниченность этой последовательности сверху, в равенстве ( ) заменим каждую скобку на число 1; в результате правая часть равенства увеличится и получим неравенство:

;

ещё усилим это неравенство, заменив числа 3,4,5,…n, стоящие в знаменателях дробей, числом 2:

;

сумму в скобке найдём по формуле суммы n первых членов геометрической прогрессии со знаменателем и тоже оценим её сверху:

;

подставив эту оценку в предыдущее неравенство, получим ограниченность сверху всех членов рассматриваемой последовательности:

.

Таким образом, показано, что последовательность является монотонно возрастающей и ограниченной сверху. Следовательно, по теореме Вейерштрасса она имеет конечный предел, который обозначается числом :

Число называется неперовым числом. Оно принято за основание натуральных логарифмов: и за основание показательной функции , которая называется экспонентой. Мы имеем некоторую информацию об этом числе из ограниченности последовательности сверху и снизу, используя далее свойства о переходе к пределу в неравенствах и о пределе постоянной:

В более подробных курсах математического анализа доказывается, что число является иррациональным и имеет приближенное значение: ( ).

4.4. Упражнения для самостоятельной работы

1. Докажите, используя теорему Вейерштрасса, что

1) существует;

2) ;

3) ;

4) .