Модуль I. Кинематика материальной точки.

1.1. Занятие 1. Кинематика материальной точки. Векторный и координатный способы задания движения. Скорость и ускорение. Движение с постоянным ускорением.

Краткие теоретические сведения

Основные формулы

Кинематические уравнения движения

где время.

Средняя скорость

где перемещение материальной точки за время

Средняя путевая скорость

где путь, пройденный материальной точкой за время

Мгновенная скорость

где радиус-вектор.

Проекции скорости на оси координат

Модуль скорости

Мгновенное ускорение

где

Проекции ускорения на оси координат

Модуль ускорения

Уравнение равномерного движения

равномерное движение.

Уравнение равнопеременного движения

“+” – равноускоренное движение; “-” – равнозамедленное движение.

Движение тела вертикально вверх

где g=9,81м/с²- ускорение свободного падения у поверхности Земли, высота подъема.

Движение тела вертикально вниз

Вопросы для ответа у доски:

1. Векторный способ описания движения. Скорость и ускорение.

Покажите, что задание векторной функции полностью описывает движение материальной точки в пространстве. Введите в рассмотрение понятия перемещения, средней и мгновенной скорости, среднего и мгновенного ускорения. Ответы проиллюстрируйте соответствующими рисунками. Приведите конкретный пример зависимости радиус-вектора от времени и вычислите скорость и ускорение точки. В заключение необходимо отметить достоинства и недостатки векторного способа описания движения.

2. Координатный способ описания движения. Скорость и ускорение. Связь между векторным и координатным способами описания движения.

Дайте понятие о системе координат и перечислите наиболее часто употребляемые системы. Покажите, что задание кинематических уравнений достаточно для описания движения точки в пространстве. Укажите роль начальных условий. Получите выражения для проекций скорости и ускорения на соответствующие оси координат. Найдите модуль скорости и ускорения и направление соответствующих векторов в любой точке траектории.

Рассмотрите конкретный пример: как по заданным кинематическим уравнениям определить траекторию движущейся точки, проекции вектора скорости и ускорения, их модули и углы, составляемые векторами и с координатными осями. В заключение покажите переход от координатного способа описания движения к векторному и наоборот. Укажите достоинства и недостатки координатного метода.

3. Прямолинейное движение с постоянным ускорением.

Рассмотрите случай прямолинейного движения с постоянным ускорением. Получите формулы для скорости и координаты точки, движущейся с постоянным ускорением, и покажите их зависимость от времени на графиках. Могут ли быть изломы на этих графиках? Какие характеристики движения можно получить из этих графиков? Как вычислить путь, пройденный точкой за некоторое время? В каких единицах измеряются скорость и ускорение? Дайте определение единиц.

4. Движение тела, брошенного вертикально вверх.

Получите формулы скорости и высоты (координаты) подъема тела в зависимости от времени, а также максимальную высоту и время подъема на нее. Покажите, что время подъема равно времени падения тела. Для рассматриваемого движения изобразите на графиках ускорение, скорость, координату и путь, пройденный телом, в зависимости от времени.

Примеры решения задач:

Задача 1. Уравнение движения материальной точки имеет вид , где 2 м/с, -2 м/с². Определите среднее значение скорости, и ускорения в интервале времени от 2 до 4 с.

Решение:

Средняя скорость равна:

0,8 м/с.

Среднее ускорение равно:

.

Мгновенную скорость находим из уравнения:

отсюда

Подставляя эти выражения в уравнение для среднего ускорения, получим:

Значит, ускорение точки при заданном законе движения постоянно, что с очевидностью получается из уравнения движения, поскольку ускорение (его мгновенное значение) может быть получено дифференцированием уравнения движения, что дает именно такой результат:

-0,4 м/с².

Ответ: 0,8 м/с, -0,4 м/с².

Задача 2. Два тела начали одновременно двигаться равноускоренно: одно с начальной скоростью 5 м/с и ускорением 1,5 м/с², а другое без начальной скорости с ускорением 2,5 м/с². Построить графики их движений и по графикам определить, через сколько времени оба тела будут иметь одинаковую скорость и какой путь пройдет каждое тело за это время.

Решение:

При равноускоренном движении скорости первого и второго тел равны:

Подставив значения и , получим:

5+1,5 (м/с), 2,5 (м/с).

Строим графики скоростей движения тел. Графики скоростей (Рис.1.1.1) пересекаются при , равном:

5+1,5 =2,5 , отсюда 5 с.

Запишем уравнение равноускоренного движения:

откуда уравнения движения для обоих тел:

Графики движений тел построены на Рис.1.1.1

Для первого и второго тел пройденные пути за 5 с равны:

м; м.

Рис.1.1.1

Ответ: 5 с; 43,75 м; 31,25 м.

Задача 3. Свободно падающее тело в последнюю секунду движения проходит половину всего пути. Найти с какой высоты падает тело и время его падения?

Решение:

Разобьем весь участок движения на два: верхний и нижний (Рис.1.1.2). Составим для каждого из них уравнение движения.

Так как начальная скорость для верхнего и всего участка по условию задачи равна нулю, то запишем уравнения движения для всего участка и верхнего участка.

Учитывая, что

получим:

Время падения равно:

Так как время движения на всем участке больше времени движения на нижнем участке, то:

Подставив числовые данные, получим высоту, с которой падает тело, равную:

29,07 м.

Ответ: 29,07 м.

Вопросы для самопроверки:

1. Что изучается в разделе механики “Кинематика”?

2. Что называется механическим движением?

3. Что такое система отсчета?

4. Для чего необходимы эталоны длины и времени и как они устанавливаются?

5. Что называют скаляром и вектором? Приведите примеры скалярных и векторных величин в механике.

6. Какие операции с векторами вы знаете?

7. Что такое векторная функция скалярного аргумента? Как находить производные по времени от векторных функций?

8. Покажите на рисунке и . В каком случае ?

9. Покажите на рисунке и .

10. Какое движение называют равномерным, неравномерным равнопеременным?

11. Что называют скоростью равномерного прямолинейного движения? Почему величина скорости равномерного движения не зависит от длительности промежутка времени, за который она вычисляется?

12. Как вычислить среднюю скорость произвольного движения точки? В каком случае для вычисления средней скорости можно воспользоваться формулой ?

13. Упругий шар падает с высоты на упругую плиту и поднимается на прежнюю высоту. Изобразите на графиках зависимость от времени проекции вектора скорости на вертикальное направление, модуля скорости, высоты (координаты) тела и пройденного пути. Время соударения с плитой значительно меньше времени падения.

Задачи для самостоятельного решения:

1. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью 4м/с. Когда оно достигло верхней точки полета из того же начального пункта, с той же начальной скоростью вертикально вверх брошено второе тело. На каком расстоянии от начального пункта встретятся тела? Сопротивление воздуха не учитывать.

2. Материальная точка движется прямолинейно с начальной скоростью 10м/с и постоянным ускорением 5м/с². Определить, во сколько раз путь, пройденный материальной точкой, будет превышать модуль ее перемещения спустя 4с после начала отсчета времени.

3. Велосипедист ехал из одного пункта в другой. Первую треть пути он проехал со скоростью 18км/ч. Далее половину оставшегося времени он ехал со скоростью 22км/ч, после чего до конечного пункта он шел пешком со скоростью 5км/ч. Определить среднюю скорость велосипедиста.

4. Три лодки стоят в спокойной воде на одинаковом расстоянии друг от друга в вершинах равностороннего треугольника. Лодки начинают двигаться с постоянной по величине скоростью так, что в каждый момент времени одна лодка находится на курсе другой. Найдите: а) уравнение траектории движения лодок и место их встречи; б) время, через которое встретятся лодки, и расстояние, пройденное каждой из них до встречи.

5. Прямолинейное движение точки описывается уравнением (м). а) Запишите уравнение скорости и ускорения точки. б) Сколько времени движется точка до остановки? в) Определите максимальную скорость точки. г) Чему равна средняя скорость точки за время движения до остановки? д) Через сколько времени средняя скорость достигнет максимального значения и какова ее величина?

6. Скорость точки при прямолинейном движении с течением времени изменяется по закону, представленному на Рис.1.1.3. Участки кривых на Рис.1.1.3б являются участками парабол, на Рис.1.1.3в – дугой окружности. Постройте графики зависимостей:

Рис.1.1.3

7. Мяч брошен вертикально вверх с начальной скоростью . Через сколько времени нужно бросить вверх второй мяч, чтобы они встретились в наикратчайшее время, если известно, что начальная скорость второго мяча вдвое меньше, чем у первого? На какой высоте встретятся мячи?

8. По идеально гладкой плоскости, составляющей угол 30⁰ с горизонтом, пустили снизу вверх шайбу. На расстоянии большем 1,0 м от основания плоскости шайба находилась время 0,5с. Найдите начальную скорость шайбы и пройденный ею путь по наклонной плоскости.

9. С аэростата, находящегося на высоте 300 м, упал камень. Через какое время камень достигнет земли, если: а) аэростат поднимается со скоростью 5м/с; б) аэростат опускается со скоростью 5м/с; в) аэростат неподвижен?

10. Тело падает с высоты 19,6 м с начальной скоростью 0. Какой путь пройдет тело за первую и последнюю 0,1с своего движения?

11. Зависимость пройденного пути от времени дается уравнением где 2 м/с, 3м/с², 4м/с³. Найти: а) зависимость скорости и ускорения от времени ; б) расстояние пройденное телом, скорость и ускорение через время 2 с после начала движения. Построить график зависимости пути скорости и ускорения от времени для интервала 0 3 через 0,5 с.

12. Зависимость пройденного телом пути от времени дается уравнением где 0,14 м/с² и 0,01 м/с³. Через какое время тело будет иметь ускорение 1 м/с²? Найти среднее ускорение за этот промежуток времени.

13. Все звезды, в частности некоторая звезда удаляются от Солнца со скоростями, пропорциональными их расстоянию до него. Как будет выглядеть эта картина с “точки зрения” звезды ?

14. Кабина лифта, у которой расстояние от пола до потолка 2,7 м, начала подниматься с ускорением 1,2 м/с². Через 2с после начала подъема с потолка кабины стал падать болт. Найти: а) время свободного падения болта; б) перемещение и путь болта за время свободного падения в системе отсчета, связанной с шахтой лифта.

15. Радиус-вектор частицы меняется со временем по закону где постоянный вектор, положительная постоянная. Найти: а) скорость и ускорение частицы как функции ; б) время, через которое частица вернется в исходную точку, и пройденный при этом путь.

16. В момент времени =0 частица вышла из начала координат в положительном направлении оси . Ее скорость меняется со временем как где начальная скорость, ее модуль 10,0 см/с, 5,0 с. Найти: а) координату частицы, когда 6с, 10с и 20с; б) моменты времени, когда частица будет находиться на расстоянии 10см от начала координат.

17. Точка движется в плоскости по закону: где и положительные постоянные. Найти: а) уравнение траектории точки и ее график; б) модули скорости и ускорения точки как функции ; в) угол между векторами и как функцию .

18. Человек находится на расстоянии 50 м от прямой дороги, по которой приближается автомобиль со скоростью 10 м/с. По какому направлению должен бежать человек, чтобы встретиться с автомобилем, если автомобиль находится на расстоянии 200м от человека и если человек может бежать со скоростью 3 м/с?

19. Наблюдатель, стоящий в момент начала движения электропоезда у его переднего края, заметил, что первый вагон прошел мимо него за 4с. Сколько времени будет двигаться мимо него 7-й вагон? Движение считать равномерно ускоренным.

20. Наблюдатель, стоящий на платформе, заметил, что первый вагон электропоезда, приближающегося к станции, прошел мимо него в течение 4с, а второй – в течение 5с. После этого передний край поезда остановился на расстоянии 75 м от наблюдателя. Считая движение поезда равномерно замедленным, определить его ускорение.

21. От пристани А вверх и вниз по реке отправляются два одинаковых катера и прибывают к пристаням В и С через одинаковые отрезки времени. Обратное возвращение катера из В в А требует в 1,5 раза больше времени, чем возвращение второго катера из С в А. Во сколько раз скорость катера в стоячей воде больше скорости течения реки?

1.2. Занятие 2. Кинематика материальной точки. Криволинейное движение и естественный способ задания движения.

Краткие теоретические сведения

Основные формулы

Ускорение при криволинейном движении (по дуге окружности)

где нормальное ускорение, направленное по радиусу к центру окружности; тангенциальное ускорение, направленное по касательной к точке окружности.

Модули ускорений

радиус окружности.

Вопросы для ответа у доски:

1. Естественный способ описания движения. Скорость. Вычисление пути, пройденного телом.

Изложите сущность естественного способа описания движения. Закон движения и пройденный путь. Классификация движений по виду траектории и характеру движения. Получите выражение для скорости при данном способе описания движения. Приведите пример вычисления криволинейной координаты и пройденного пути по заданной скорости.

2. Ускорение при криволинейном движении. Нормальное и тангенциальное ускорения.

Получите выражение для ускорения при криволинейном движении в векторной форме. Выясните физический смысл тангенциального и нормального ускорений. Покажите на рисунке расположение векторов при ускоренном и замедленном движении.

3. Криволинейное движение с постоянным ускорением: 1) движение тела, брошенного горизонтально; 2) движение тела, брошенного под углом к горизонту.

Выведите формулы для проекций скоростей, величины скорости и координат падающего тела в зависимости от времени. Изобразите полученные функции на графиках. Найдите выражение для дальности и времени полета, а также скорости в момент падения тела на землю.

Примеры решения задач:

Задача 1. Точка движется по кривой с постоянным тангенциальным ускорением 0,5 м/с². Определить полное ускорение точки на участке кривой с радиусом кривизны 3 м, если точка движется на этом участке со скоростью 2 м/с.

Дано:	Решение:
0,5 м/с2	Ускорение при криволинейном движении (по дуге окружности): где нормальное ускорение, направленное по радиусу к центру окружности; тангенциальное ускорение, направленное по касательной к окружности. (Рис.1.2.1)
3 м
2 м/с
Найти:
	Модуль нормального ускорения точки: Полное ускорение точки равно: Подставив числовые значения, получим: 0,8 м/с2.
Рис. 1.2.1

Ответ: 0,8 м/с².

Задача 2. Камень брошен горизонтально со скоростью 10 м/с. Найти радиус кривизны траектории камня через время 3 с после начала движения.

Решение:

Выполним чертеж (Рис.1.2.2). Нормальное ускорение камня:

Отсюда радиус кривизны траектории камня:

(1)

где

После подстановки в уравнение (1) скорости и нормального ускорения получим:

Вычисляя, находим:

305 м.

Ответ: 305 м.

Задача 3. С башни высотой 25 м брошен камень со скоростью 15 м/с под углом 30⁰ к горизонту. Какое время камень будет в движении? На каком расстоянии от основания башни он упадет на землю? С какой скоростью он упадет на землю? Какой угол составит траектория камня с горизонтом в точке его падения на землю?

Решение:

Движение тела, брошенного с высоты под углом к горизонту (Рис.1.2.3) можно разложить на два этапа: движение тела до наивысшей точки и движение тела, брошенного из точки горизонтально со скоростью

Высота подъема тела

Общее время движения камня где время подъема камня на высоту и время падения камня.

27,9 м; 0,77 с;

2,39 с; 3,16 с.

Расстояние от основания башни до места падения камня на землю:

где 10 м,

31,1 м; отсюда 41,1 м.

Скорость, с которой камень упадет на землю:

где 13 м/с;

, 23,4 м/с.

Вычисляя, находим 26,7 м/с.

Угол составляемый траекторией камня с горизонтом в точке падения камня на землю, найдется из формулы

отсюда 1,8; 61⁰.

Ответ: 41,1 м; 26,7 м/с;

Вопросы для самопроверки:

1. Приведите примеры, показывающие относительность понятия траектории.

2. Сколько координат требуется при естественном способе описания движения?

3. При каком условии естественная координата (расстояние) совпадает с пройденным путем; не совпадает?

4. Что называют средней и мгновенной скоростью криволинейного движения? Как по скорости определить направление движения на траектории?

5. Что определяет первая производная от пути по времени; от естественной координаты по времени? Совпадают ли результаты их вычисления?

6. Отличаются ли графики зависимости пути и естественной координаты от времени для одного и того же движения?

7. Как находится производная по времени от вектора постоянной длины?

8. Дайте определение векторного произведения двух векторов (модуля, направления) и запишите его выражение в декартовой системе координат.

9. Что такое естественный трехгранник?

10. Как определяются кривизна и радиус кривизны кривой?

11. Движение задано в координатной или векторной форме. Как найти и (радиус кривизны)? Привести пример.

12. При каком условии тело будет двигаться: 1) равномерно и прямолинейно? 2) ускоренно (замедленно) и прямолинейно? 3) равномерно и криволинейно? 4) ускоренно (замедленно) и криволинейно? Показать на рисунках.

13. Что означает утверждение, что криволинейное движение - ускоренное движение?

14. Как перейти от векторного или координатного способа к естественному и наоборот?

15. В чем заключается принцип независимости движений?

16. Изобразите на графиках зависимость координат, проекций скоростей, модуля скорости в зависимости от времени для тела, брошенного горизонтально.

17. То же самое для тела, брошенного под углом к горизонту.

Задачи для самостоятельного решения:

1. Тело брошено под углом 30⁰ к горизонту со скоростью 30 м/с. Каковы будут нормальное и тангенциальное ускорения тела через время 1 с после начала движения?

2. Материальная точка движется по окружности с постоянной угловой скоростью рад/с. Во сколько раз путь, пройденный точкой за время 4с, будет больше модуля ее перемещения? Принять, что в момент начала отсчета времени радиус-вектор , задающий положение точки на окружности, относительно исходного положения был повернут на угол 3 рад.

3. Камень, брошенный горизонтально на высоте 6 м, упал на землю на расстоянии 10 м от точки бросания. Найдите: а) начальную скорость камня; б) уравнение траектории и угол падения; в) нормальное и тангенциальное ускорение камня через время 0,2 с после начала движения; г) радиус кривизны траектории в этот момент.

4. Дальность полета тела, брошенного под углом к горизонту, равна 10м, время полета 5с. Найдите: а) высоту наибольшего подъема тела и радиусы кривизны траектории в точках бросания и наибольшего подъема; б) наибольшее и наименьшее значения нормального и тангенциального ускорения.

5. Аэростат поднимается вертикально вверх со скоростью . В тот момент, когда он находится на высоте из него в горизонтальном направлении бросили предмет со скоростью относительно аэростата. Определите: а) горизонтальную дальность полета тела; б) угол падения тела на землю; в) угол бросания тела относительно пола кабины, при котором горизонтальная дальность полета будет наибольшей.

6. На идеально гладкую наклонную плоскость, составляющую с горизонтом угол , свободно падает абсолютно упругий шарик. Скорость шарика в момент удара равна Определите расстояние между точками первого и второго удара при условии, что плоскость: а) покоится; б) поднимается вертикально вверх со скоростью ; в) движется в горизонтальном направлении со скоростью Для случая в) проанализируйте результат в функции угла

7. Автомобиль начал двигаться по выпуклому мосту со скоростью изменяющейся в зависимости от пройденного расстояния по закону Каково ускорение автомобиля в тот момент, когда он опишет по мосту дугу в рад?

8. Камень, брошенный горизонтально, упал на землю через время 0,5 с на расстоянии 5 м по горизонтали от места бросания. С какой высоты брошен камень? С какой скоростью он брошен? С какой скоростью он упадет на землю? Какой угол составит траектория камня с горизонтом в точке его падения на землю?

9. Камень брошен горизонтально со скоростью 15 м/с. Найти нормальное и тангенциальное ускорения камня через время 1 с после начала движения.

10. Тело брошено со скоростью 14,7 м/с под углом 30⁰ к горизонту. Найти нормальное и тангенциальное ускорения тела через время 1,25 с после начала движения.

11. Тело брошено со скоростью 10 м/с под углом 45⁰ к горизонту. Найти радиус кривизны траектории тела через время 1 с после начала движения.

12. Тело брошено со скоростью под углом к горизонту. Найти скорость и угол если известно, что высота подъема тела 3 м и радиус кривизны траектории тела в верхней точке траектории 3 м.

13. Два шарика бросили одновременно из одной точки в горизонтальном направлении в противоположные стороны со скоростями 3,0 м/с и 4 м/с. Найти расстояние между шариками в момент, когда их скорости окажутся взаимно перпендикулярными.

14. Частица движется в плоскости с постоянным ускорением противоположным положительному направлению оси Уравнение траектории частицы имеет вид где и положительные постоянные. Найти скорость частицы в начале координат.

15. Пушка и цель находятся на одном уровне на расстоянии 5,1 км друг от друга. Через сколько времени снаряд с начальной скоростью 240 м/с достигнет цели?

16. Воздушный шар начинает подниматься с поверхности земли. Скорость его подъема постоянна и равна Благодаря ветру шар приобретает горизонтальную компоненту скорости , где постоянная, высота подъема. Найти: а) сноса шара ; б) полного, тангенциального и нормального ускорений шара.