Занятие 2. Механика жидкостей и газов.

Краткие теоретические сведения

Основные формулы

Давление жидкости. Поверхностные явления.

Внутреннее трение в жидкости.

1. Расход жидкости в трубке тока:

объемный расход:

массовый расход:

,

где площадь поперечного сечения трубки тока, скорость жидкости, плотность жидкости.

2. Уравнение неразрывности струи:

,

где и площади поперечного сечения трубки тока в двух местах;

и соответствующие скорости течений.

3. Уравнение Бернулли:

const.

4. Скорость течения жидкости из малого отверстия в открытом широком сосуде:

,

где уровень жидкости относительно отверстия.

5. Поверхностное натяжение:

,

где сила поверхностного натяжения, действующая на контур , ограничивающий поверхность жидкости.

6. Формула Лапласа, выражающая давление , создаваемое сферической поверхностью жидкости:

,

где радиус сферической поверхности.

7. Высота подъема жидкости в капиллярной трубке определяется по формуле Жюрена:

,

где краевой угол; плотность жидкости; r – радиус капилляра.

8. Высота подъема жидкости между двумя близкими и параллельными плоскостями:

,

где расстояние между плоскостями.

9. Объем жидкости (газа), протекающей за время через длинную трубку:

,

где радиус трубки; длина трубки; разность давлений на концах трубки; коэффициент внутреннего сопротивления.

10. Число Рейнольдса для потока жидкости в длинных трубках

,

где средняя по сечению скорость течения жидкости; диаметр трубки.

11. Число Рейнольдса для движения шарика в жидкости:

,

где скорость шарика; диаметр шарика.

12. Сила сопротивления , действующая со стороны потока жидкости на медленно движущийся в ней шарик (формула Стокса):

,

где радиус шарика; скорость шарика.

Вопросы для ответа у доски:

1. Вывод уравнения Бернулли для идеальной жидкости.

Используя закон сохранения энергии, получите уравнение Бернулли. Выясните физический смысл каждого слагаемого, входящего в уравнение. Укажите условия, при которых можно использовать уравнение Бернулли.

2. Следствия из уравнения Бернулли.

Рассмотрите следствия из уравнения Бернулли: а) найти скорость истечения жидкости из небольшого отверстия в широком сосуде, т.е. получить формулу Торричелли; б) найти силу, с которой вытекающая жидкость действует на сосуд, т.е. определить реакцию вытекающей струи; в) привести примеры технического использования уравнения Бернулли - приборы для измерения давления и скоростей в жидкостях, водоструйные насосы, гидравлические турбины, реактивное движение и др.

3. Движение вязкой жидкости.

Объясните возникновение внутреннего трения в жидкостях и газах и приведите формулу Ньютона для сил трения. Установите физический смысл коэффициента вязкости и единицы измерения этого коэффициента. Получите выражение для скорости течения вязкой жидкости по цилиндрической трубе.

4. Вывод формулы Пуазейля.

Вычислите поток жидкости (объем жидкости, протекающей за единицу времени через поперечное сечение трубы), т. е. получите формулу Пуазейля и проанализируйте ее. Дайте определение ламинарного и турбулентного течения жидкости и введите число Рейнольдса. Укажите, при каких условиях применима формула Пуазейля.

Примеры решения задач:

Задача 1. Льдина плавает в море, выдаваясь на 250 м³ над поверхностью. Определите объем всей льдины, если плотность воды 1030 кг/м³, а льда 900 кг/м³.

Дано:	Решение:
250 м3	На льдину действуют сила тяжести , направленная вниз, и сила Архимеда , направленная вверх. Так как льдина плавает, запишем условие равновесия: (1)
1030кг/м3
900 кг/м3
Найти:

Объем всей льдины складывается из объема надводной части и объема подводной части :

(2)

Сила тяжести льдины равна:

. (3)

Сила Архимеда действует только на подводную часть льдины:

. (4)

Находим объем подводной части льдины из уравнения (2):

,

тогда Сила Архимеда:

(5).

Приравнивая (5) и (3), получим:

, , ,

Произведя вычисления, получаем:

1030·250/(1030-900) м³=1981 м³.

Ответ: 1981 м³.

Задача 2. В сосуд льется вода, за время, равное 1 с, наливается объем воды 0,2л. Каким должен быть диаметр отверстия в дне сосуда, чтобы вода в нем держалась на постоянном уровне 8,3 см?

Дано:	СИ:	Решение:
1 с		Так как вода в сосуде держится на постоянном уровне, то за одинаковые промежутки времени втекает и вытекает одинаковое количество воды: ,
0,2 л=	2·10-4м3
8,3 см=	8,3·10-2м
Найти:

Отсюда . Площадь поперечного сечения отверстия: .

Тогда скорость вытекания воды:

или

Приравняв левую и правую части, получим:

,

отсюда диаметр отверстия в дне сосуда:

.

Проверим размерность:

.

Подставив числовые данные, находим:

м=1,4·10^-2м=1,4 см.

Ответ: 1,4 см.

Задача 3. Какой наибольшей скорости может достичь дождевая капля диаметром 0,3 мм, если динамическая вязкость воздуха 1,2·10^-5 Па·с?

Решение:

Так как силу Архимеда можно не учитывать, то во время падения на каплю действуют две противоположно направленные силы: сила тяжести и сила сопротивления воздуха . При увеличении скорости падения сила сопротивления растет. Максимальной скорости капля достигнет, когда сила тяжести и сила сопротивления воздуха будут равны:

.

По закону Стокса:

приравняв левую и правую части, получим:

.

Масса капли:

где плотность воды, то

,

отсюда:

.

Проверим размерность:

Подставив числовые данные, находим максимальную скорость капли:

Ответ: 4,1 м/с.

Вопросы для самопроверки:

1. Что общего между жидкостью и газом? Что их различает? Чем отличаются механические свойства жидкостей и газов от свойств твердого тела?

2. При каких видах деформаций газ и жидкость проявляют упругие свойства?

3. Чем отличается условие равновесия жидкости от условия равновесия твердого тела?

4. В чем заключается закон Паскаля?

5. Как найти давление в покоящихся жидкостях и газах? Оцените массу атмосферы Земли.

6. В чем заключается закон Архимеда? Какова величина силы Архимеда, где она приложена и как направлена?

7. Условия плавания тел. Почему тонущий корабль, погрузившись в воду, часто опрокидывается?

8. В стакане с водой плавает кусок льда. Как изменится уровень воды в стакане, когда лед растает? Что изменится, если кусок льда содержит полость; если во льду находится кусок железа?

9. Два сплошных тела из одного и того же вещества подвешены к концам неравно плечного рычага и уравновешивают друг друга в воздухе. Сохранится ли равновесие, если погрузить эти тела в сосуд с водой? Изменится ли равновесие, если тела имеют различную плотность?

10. Каковы особенности изучения движения жидкости по сравнению с твердыми телами (ведь и те и другие - системы материальных точек)?

11. Какое движение жидкости называется установившимся? Что такое линия тока? Почему в установившемся движении линии тока и траектория движения частицы совпадают?

12. Что называется трубкой тока? Могут ли частицы пересекать поверхность трубки тока? Почему?

13. Что такое идеальная и реальная жидкости? Какое движение жидкости называют ламинарным, турбулентным? При каком условии одно движение переходит в другое?

14. Какой вид имеет уравнение неразрывности для сжимаемой и несжимаемой жидкостей?

15. Применимо ли уравнение Бернулли к турбулентному течению жидкости?

16. Как образуется лобовое сопротивление?

17. Как происходит обтекание воздухом крыла самолета? Чем объясняется появление подъемной силы крыла? Какую роль играют завихрения, образующиеся за кромкой крыла?

18. Может ли образоваться подъемная сила в идеальной жидкости? Какую форму должно иметь обтекаемое тело?

19. В чем состоит эффект Магнуса?

Задачи для самостоятельного решения:

1. Масса вертолета 3·10³ кг, мощность мотора 325 кВт, диаметр винта, отбрасывающего вниз цилиндрическую струю воздуха того же диаметра, равен 8 м. За какое время вертолет поднимется на высоту 100 м? Принять плотность воздуха 1,3 кг/м³, движение равноускоренным. Сопротивлением воздуха пренебречь.

2. В бак равномерно поступает вода, скорость наполнения которого . На дне бака имеется отверстие площадью . Какой высоты может достичь уровень воды в баке?

3. Площадь поршня в шприце , площадь отверстия . Сколько времени будет вытекать жидкость из шприца, расположенного горизонтально, если на поршень давить силой ? Ход поршня , трением пренебречь.

4. В широкий сосуд, в нижней части которого имеется небольшое отверстие, налита вода до высоты , а сверху нее – слой масла толщиной . Плотность воды , масла - . а) С какой скоростью вода начнет вытекать из сосуда, если открыть отверстие? б) По какому закону будет изменяться уровень воды в сосуде в зависимости от времени, если площадь сечения отверстия в раз меньше площади сечения сосуда?

5. На гладком столе находится открытый цилиндрический сосуд высотой , доверху наполненный водой. а) На какой высоте нужно сделать отверстие в стенке сосуда, чтобы струя жидкости падала на стол на максимальном расстоянии от боковой поверхности сосуда? Понижением уровня жидкости в сосуде пренебречь. б) Как будет меняться дальность полета струи с течением времени при понижении уровня воды? Площади сечения сосуда и отверстия равны и .

6. На Рис.3.2.1 дана схема так называемой трубки Вентури, позволяющей определять ежесекундный расход жидкости (расходомер). Принцип действия трубки ясен из рисунка. Зная, чему рана площадь поперечного сечения широкого и узкого каналов, а также показания жидкостного манометра , определите: а) сколько воды проходит через магистраль за время ;

б) мощность потока.

7. Найти скорость течения углекислого газа по трубе, если известно, что за время 30 мин через поперечное сечение трубы протекает масса газа 0,51 кг. Плотность газа 7,5 кг/м³. Диаметр трубы 2 см.

8. В дне цилиндрического сосуда диаметром 0,5 м имеется круглое отверстие диаметром 1 см. Найти зависимость скорости понижения уровня воды в сосуде от высоты этого уровня. Найти значение этой скорости для высоты 0,2 м.

9. на столе стоит сосуд с водой, в боковой поверхности которого имеется малое отверстие, расположенное на расстоянии от дна сосуда и на расстоянии от уровня воды. Уровень воды в сосуде поддерживается постоянным. На каком расстоянии от сосуда (по горизонтали) струя воды падает на стол в случае, если а) 25 см, 16 см; б) 16 см, 25 см?

10. Цилиндрический бак высотой 1 м наполнен до краев водой. За какое время вся вода выльется через отверстие, расположенное у дна бака, если площадь поперечного сечения отверстия в 400 раз меньше площади поперечного сечения бака? Сравнить это время с тем, которое понадобилось бы для вытекания того же объема воды, если бы уровень воды в баке поддерживался постоянным на высоте 1 м от отверстия.

11.

12.

13. Стальной шарик диаметром 1 мм падает с постоянной скоростью 0,185 см/с в большом сосуде, наполненном касторовым маслом. Найти динамическую вязкость касторового масла.

14. Вода течет по трубе, причем за единицу времени через поперечное сечение трубы протекает объем воды 200 см³/с. Динамическая вязкость воды 0,01 Па·с. При каком предельном значении диаметра трубы движение воды остается ламинарным, считая, что ламинарность движения воды в цилиндрической трубе сохраняется при числе Рейнольдса 3000?

15. Трубка Пито (Рис.3.2.4) установлена по оси газопровода, площадь внутреннего сечения которого равна . Пренебрегая вязкостью, найти объем газа, проходящего через сечение трубы в единицу времени, если разность уровней в жидкостном манометре равна , а плотность жидкости и газа – соответственно и .

16. Изогнутую трубку опустили в поток воды. Скорость потока относительно трубки 2,5 м/с. Закрытый верхний конец трубки имеет небольшое отверстие и находится на высоте 12 см. На какую высоту будет подниматься струя воды, вытекающая из отверстия?

17. Вертикальная струя идеальной жидкости вытекает из горизонтального отверстия радиуса со скоростью . Найти радиус струи на расстоянии ниже отверстия.

18.

19. Тонкостенный цилиндрический сосуд погрузили в идеальную жидкость до верхнего (открытого) основания. В нижнем, закрытом торце имеется малое отверстие. Известны высота сосуда , а также отношение площади сечения отверстия к площади сечения сосуда, причем 1. Найти время, за которое наполнится сосуд.

20. По трубе радиуса течет стационарный поток вязкой жидкости. На оси трубы ее скорость равна . Найти скорость жидкости как функцию расстояния от оси трубы.

21. Радиус сечения трубопровода монотонно уменьшается по закону , где 0,5 м^-1, расстояние от начала трубопровода. Найти отношение чисел Рейнольдса в сечениях, отстоящих друг от друга на 3,2 м.

22. В чан равномерной струей наливается вода. Приток воды равен 150 см³/с. В дне чана имеется отверстие площадью 0,5 см². Какого уровня может достигнуть вода в чане?

23. Цилиндрический сосуд высотой 70 см с площадью дна 600 см² наполнен водой. В дне сосуда образовалось отверстие с площадью 1 см².

а) Как движется верхний уровень воды в сосуде?

б) Сколько времени понадобится для полного опорожнения сосуда?

в) Сколько времени понадобится для опорожнения сосуда наполовину?

г) Увеличится или уменьшится время опорожнения сосуда, если сосуд будет совершать гармонические колебания в вертикальном направлении?

24. а) Показать, что в схеме на Рис.3.2.6 работа при перемещении правого поршня больше работы при перемещении левого поршня. б) За счет чего производится дополнительная работа при использовании схемы как механизма для увеличения силы?

25. Площадь поршня в спринцовке (Рис.3.2.7) 1,2 см², а площадь отверстия 1 мм². Сколько времени будет вытекать вода из спринцовки, если действовать на поршень с силой 0,5 кг и если ход поршня 4см?

26. Какова максимальная скорость течения воды при температуре 15⁰ по трубе с внутренним диаметром 2 см, при которой течение еще остается ламинарным?