Занятие 3. Механические колебания и волны. Маятники.

Краткие теоретические основы

и формулы

Уравнение плоской волны

где волновое число, модуль скорости распространения волны, длина волны,

Разность фаз колебаний точек среды, отстоящих друг от друга на расстоянии

Дифференциальное уравнение колебаний материальной точки и его решение:

0, ,

где собственная частота колебаний.

Разность фаз колебаний двух точек среды, расстояние между которыми (разность хода) равно :

Условие максимумов

Амплитуда колебаний среды в данной точке максимальна, если разность хода двух волн, возбуждающих колебания в этой точке, равна целому числу длин волн (при условии, что фазы колебаний обоих источников совпадают):

где разность хода двух волн; 0, 1, 2, ...; длина волны.

Условие минимумов

Амплитуда колебаний среды в данной точке минимальна, если разность хода двух волн, возбуждающих колебания в этой точке, равна нечетному числу полуволн:

Эффект Доплера для звуковых волн

где частота звуковых колебаний, воспринимаемая движущимся приемником; частота звуковых колебаний, испускаемых источником; скорость прибора относительно среды; скорость источника звука относительно среды.

Период колебаний пружинного маятника

где масса груза, коэффициент упругости пружины.

Период колебаний математического маятника

где ускорение свободного падения, длина нити маятника.

Период колебаний физического маятника

где приведенная длина физического маятника, момент инерции, расстояние от точки подвеса до центра масс маятника.

Период крутильных колебаний тела, подвешенного на упругой нити:

где момент инерции тела относительно оси, совпадающей с упругой нитью;

жесткость упругой нити, равная отношению упругого момента, возникающего при закручивании нити, к углу, на который нить закручивается.

Полная энергия гармонических колебаний

Дифференциальное уравнение затухающих колебаний и его решение:

0, ,

где коэффициент затухания; частота затухающих колебаний;

.

Логарифмический декремент затухания и добротность :

,

где период затухающих колебаний.

Уравнение вынужденных колебаний и его установившееся решение:

, где:

Максимум амплитуды смещения достигается при: .

Вопросы для ответа у доски:

1. Движение под действием упругих и квазиупругих сил. Пружинный маятник.

Выясните условия, при которых возникает колебательное движение. Дайте классификацию сил, действующих на колеблющуюся систему. Получите дифференциальное уравнение колебания пружинного маятника и решите его.

Математический, физический и крутильный маятники. Энергия колеблющегося тела.

Получите дифференциальные уравнения колебаний математического, физического и крутильного маятников и покажите, что колебания всех рассмотренных маятников можно описывать одним дифференциальным уравнением. Запишите решение уравнения для перечисленных колебаний. Найдите кинетическую, потенциальную и полную энергию маятников.

Затухающие колебания.

Составьте и решите дифференциальное уравнение для системы, совершающей затухающие колебания под действием силы трения, пропорциональной скорости системы. Укажите важнейшие характеристики затухающих колебаний и их связь с параметрами колеблющейся системы.

Вынужденные колебания.

Составьте и решите дифференциальное уравнение для системы, совершающей вынужденные колебания под действием силы, меняющейся по гармоническому закону. Покажите, что установившиеся вынужденные колебания происходят с частотой вынуждающей силы, а их амплитуда зависит от соотношения собственной и вынужденной частоты. Постройте соответствующий график.

Примеры решения задач:

Задача 1. На каком расстоянии друг от друга находятся две соседние точки, колеблющиеся в противофазе, если длина волны 16 м.

Дано:	Решение:
	Две точки, лежащие на расстояниях и от источника колебаний, имеют разность фаз:
16 м
Найти:

Отсюда расстояние, на котором находятся две соседние точки:

Подставим числовые данные, получим:

8 м.

Ответ: 8 м.

Задача 2. Найти положение узлов и пучностей и начертить график стоячей волны, если: а) отражение происходит от менее плотной среды; б) отражение происходит от более плотной среды. Длина бегущей волны 12 см.

Решение:

(1),

где длина бегущей волны. Подставляя значение в (1), получим 6см.

Задача 3. Найти закон изменения периода колебания математического маятника с поднятием маятника над поверхностью Земли.

Решение:

Период колебаний математического маятника определяется формулой:

. (1)

Период колебаний физического маятника

, (2)

где момент инерции маятника относительно оси колебаний, масса маятника, расстояние между центром тяжести маятника и осью колебаний, приведенная длина маятника.

Период зависит от ускорения свободного падения.

Сила, с которой тело массой притягивается к Земле, по закону всемирного тяготения:

(3)

где гравитационная постоянная, масса Земли, расстояние от центра Земли до тела.

Из уравнения (3) находим ускорение свободного падения:

(4)

Подставляя выражение (4) в (1), находим закон изменения периода колебания маятника:

. (5)

Следовательно, период колебаний маятника прямо пропорционален расстоянию от маятника до центра Земли.

Ответ: .

Задача 4. Как изменится период вертикальных колебаний груза, висящего на двух пружинах, если от последовательного соединения пружин перейти к параллельному их соединению?

Решение:

Сила упругости пружины по закону Гука . Если к пружине подвесить груз массой , то в положении равновесия , отсюда удлинение пружины . Если две пружины соединить последовательно, то их удлинения будут равны, а общее удлинение составит:

(1).

С другой стороны, (2), отсюда, приравняв правые части уравнений (1) и (2), получаем: или .

При параллельном соединении пружин общая жесткость системы . Таким образом, периоды колебаний при последовательном и параллельном соединении пружин соответственно равны:

и ,

Отношение периодов колебаний:

.

Период колебаний уменьшится в 2 раза.

Ответ: период колебаний груза уменьшится в 2 раза.

Задача 5. Найти логарифмический декремент затухания математического маятника, если за время 1 мин амплитуда колебаний уменьшилась в 2 раза. Длина маятника 1 м.

Решение:

По формулам для затухающих колебаний:

, отсюда (1).

Период колебаний математического маятника: (2).

Подставляя (2) в уравнение (1), получим:

(3).

По условию , тогда из уравнения (3) получим:

(4).

Прологарифмируем уравнение (4):

,

Отсюда логарифмический декремент затухания:

.

Подставив числовые данные, находим логарифмический декремент затухания колебаний математического маятника:

Ответ:

Вопросы и задания для самопроверки

1. Роль начальных условий при гармонических колебаниях.

2. Примеры колебаний под действием упругих сил.

3. Примеры колебаний под действием квазиупругих сил. Чем определяется коэффициент квазиупругой возвращающей силы?

4. Какие колебания называются собственными; свободными? Чем определяется частота собственных колебаний?

5. На пружине с коэффициентом упругости k колеблется гиря массой m. Как изменится период колебаний, если гирю заменить другой, большей массы; если при прежней гире укоротить пружину?

6. Почему период математического маятника не зависит от массы, а период физического маятника зависит от его момента инерции? Когда на практике используют математический маятник для измерения ускорения свободного падения? Какую выгоднее брать массу – малую или большую? Почему?

7. Можно ли формулу для периода колебаний физического маятника использовать для измерений момента инерции тела?

8. От каких величин зависит полная энергия тела, совершающего прямолинейные гармонические колебания?

9. Чем определяется затухание колебаний?

10. Какой смысл имеет понятие периода затухающих колебаний, хотя они непериодические?

11. Что такое декремент и логарифмический декремент затухающих колебаний?

12. Какие важные особенности затухания колебаний характеризуются декрементом затухания?

13. Что называется добротностью колебательной системы?

14. Изменится ли период колебаний маятника, если мы его поместим в воду (маятнику придана обтекаемая форма и можно принять, что трение о воду равно нулю)?

15. Какую частоту называют резонансной? Будет ли она одинакова для одной и той же колеблющейся системы при различных коэффициентах затухания?

16. Какое свойство резонансной кривой характеризует добротность?

Задачи для самостоятельного решения:

1. Шарик массой 0,01кг совершает гармонические колебания с амплитудой 0,03м и частотой 10с^-1. Начальная фаза колебаний равна нулю. Получите закон изменения силы, действующей на шарик. Определите: а) полную энергию шарика; б) значение действующей силы и отношение потенциальной энергии к кинетической для момента времени, когда шарик удален от положения равновесия на 0,02м.

2. Точка совершает колебания, описываемые уравнением (м). В некоторый момент времени сила, действующая на точку, и ее потенциальная энергия равны 5·10^-3 Н и 10^-4 Дж. Чему равна фаза колебаний и кинетическая энергия точки в этот момент времени?

3. Автомобиль массой 1500кг при движении по ребристой дороге совершает гармонические колебания в вертикальном направлении с периодом 0,5с и с амплитудой 0,15м. Определите максимальную силу давления, действующую на каждую из четырех рессор автомобиля.

4. Математический маятник совершает колебания с амплитудой . Спустя время после начала движения из положения равновесия смещение маятника оказалось равным 0,5 . Определите: а) длину маятника; б) максимальные скорость и ускорение груза.

5. Амплитуда затухающих колебаний математического маятника за время уменьшается в раз. Длина маятника . а) Чему равен логарифмический декремент затухания ? б) За какое время , отсчитываемое после начала наблюдений, амплитуда уменьшится еще в раз? в) Сколько полных колебаний сделает при этом маятник? г) Через сколько времени энергия маятника уменьшится в раз?

6. После 10 полных колебаний точки ее амплитуда колебаний уменьшается от 10 до 6 см. Коэффициент затухания равен 0,2. Получите закон движения точки.

7. Найти отношение кинетической энергии , к ее потенциальной энергии для моментов, когда смещение точки от положения равновесия составляет: а) /4; б) /2; в) , где амплитуда колебаний.

8. Амплитуда гармонических колебаний материальной точки 2 см, полная энергия колебаний 0,3 мкДж. При каком смещении от положения равновесия на колеблющуюся точку действует сила 22мкН?

9. К пружине подвешен груз. Максимальная кинетическая энергия 1 Дж. Амплитуда колебаний 5 см. Найти жесткость пружины.

10. К резиновому шнуру длиной 40 см и радиусом 1 мм подвешена гиря массой 0,5 кг. Зная, что модуль Юнга резины 3МН/м², найти период вертикальных колебаний гири. Указание: учесть, что жесткость резины связана с модулем Юнга соотношением , где площадь поперечного сечения резины, ее длина.

11. Ареометр массой 0,2 кг плавает в жидкости. Если погрузить его немного в жидкость и отпустить, то он начнет совершать колебания с периодом 3,4с. Считая колебания незатухающими, найти плотность жидкости , в которой плавает ареометр. Диаметр вертикальной цилиндрической трубки ареометра 1 см.

12. Период затухающих колебаний 4с; логарифмический декремент затухания 1,6; начальная фаза 0. При /4 смещение точки 4,5 см. Написать уравнение движения этого колебания. Построить график этого колебания в пределах двух периодов.

13. Логарифмический декремент затухания математического маятника 0,2. Во сколько раз уменьшится амплитуда колебаний за одно полное колебание маятника?

14. Математический маятник длиной 24,7 см совершает затухающие колебания. Через какое время энергия колебаний уменьшится в 9,4 раза, если логарифмический декремент затухания равен: а) 0,01; б) 1?

15. Тело массой 10г совершает затухающие колебания с максимальной амплитудой 7 см, начальной фазой 0 и коэффициентом затухания 1,6с^-1. На это тело начала действовать внешняя периодическая сила , под действием которой установились вынужденные колебания. Уравнение вынужденных колебаний имеет вид см. Найти (с числовыми коэффициентами) уравнение собственных колебаний и уравнение внешней периодической силы.

16. Концы недеформированной пружины жесткостью 13 Н/м закреплены. В точке, отстоящей от одного из концов пружины на 1/3 ее длины, укрепили небольшое тело массы 25г. Пренебрегая массой пружины, найти период малых продольных колебаний данного тела. Силы тяжести нет.

17.

18.

19. Представим себе шахту, пронизывающую Землю по ее оси вращения. Считая Землю за однородный шар и пренебрегая сопротивлением воздуха, найти: а) уравнение движения тела, упавшего в шахту; б) время, которое понадобится этому телу, чтобы достичь противоположного конца шахты; в) скорость тела в центре Земли.

20. К нерастянутой пружине, верхний конец которой закреплен, подвесили и без толчка отпустили тело массы . Жесткость пружины . Пренебрегая ее массой, найти: а) закон движения тела , где его смещение из начального положения; б) максимальное и минимальное натяжения пружины.

21. Математический маятник совершает колебания в среде, для которой логарифмический декремент затухания 1,5. Каким будет значение , если сопротивление среды увеличить в 2 раза? Во сколько раз следует увеличить сопротивление среды, чтобы колебания стали невозможны?

22. К невесомой пружине подвесили грузик, и она растянулась на 9,8см. С каким периодом будет колебаться грузик, если ему дать небольшой толчок в вертикальном направлении? Логарифмический декремент затухания 3,1.