Занятие 4. Кинематика колебательного движения. Гармонические колебания. Сложение колебаний.

Краткие теоретические сведения

Основные формулы

Уравнение гармонических колебаний

где амплитуда колебаний, циклическая частота, время, начальная фаза колебаний, фаза колебаний.

Циклическая частота

период колебаний.

Скорость точки, совершающей гармонические колебания

Ускорение точки, совершающей гармонические колебания

При сложении колебаний одного направления и одинаковой частоты:

Результирующая амплитуда колебаний находится по формуле:

Начальная фаза результирующего колебания:

Дифференциальное уравнение гармонических колебаний материальной точки:

0.

Полная энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания:

Уравнение траектории точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях с амплитудами и и начальными фазами и :

Вопросы для ответа у доски:

1. Колебательное движение. Описание гармонического колебательного движения. Скорость и ускорение точки при гармонических колебаниях.

Дайте определение колебательного движения и классификацию колебаний. Исследуйте одномерное гармоническое колебательное движение и приведите соответствующие графики. Укажите точки, где колеблющееся тело имеет наибольшую скорость и ускорение.

2. Векторные диаграммы.

Установите связь между гармоническим колебанием материальной точки с амплитудой и вращением радиус-вектора с угловой скоростью, равной частоте колебательного движения. Дайте соответствующий рисунок.

3. Сложение колебаний одного направления. Биения.

Приведите примеры сложения колебаний одного направления и запишите их уравнения колебаний. Сформулируйте постановку задачи. С помощью метода векторных диаграмм найдите геометрически результирующее колебание. Получите выражение для амплитуды и начальной фазы при сложении двух колебаний с одинаковой частотой.

4. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.

Приведите примеры сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний. Найдите уравнение траектории сложного колебания и рассмотрите случаи для различных начальных фаз. Покажите, как зависит траектория от частот исходных колебаний.

Примеры решения задач:

Задача 1. Гармоническое колебание материальной точки задано уравнением м. Определить момент времени, при котором точка будет находиться в положении равновесия и максимальную скорость движения.

Дано:	Решение:
м	Определим момент времени, при котором точка будет находиться в положении равновесия: т.к. по условию , то
Найти:

отсюдагде

Время равно:

при 1, 0,075 с.

Скорость точки, совершающей колебание:

.

Отсюда

8·3,14·0,075 м/с=1,88 м/с.

Ответ: 0,075 с; 1,88 м/с.

Задача 2. Написать уравнение гармонического колебательного движения, если максимальное ускорение точки 49,3 см/с², период колебаний 2 с и смещение точки от положения равновесия в начальный момент времени 25 мм.

Решение:

Запишем уравнение гармонических колебаний точки:

. (1)

Ускорение точки, совершающей колебания определяется соотношениями:

,

максимальное ускорение:

Отсюда амплитуда колебаний:

.

Вычисляя, находим:

см=5 см.

Подставив в уравнение гармонических колебаний (1) числовые значения амплитуды и периода, получаем:

Используя условие, что при 0, найдем начальную фазу колебаний:

, отсюда ,

Уравнение гармонического колебания точки получим, подставив значение начальной фазы колебаний:

Ответ:

Задача 3. Уравнения двух гармонических колебаний имеют вид и ( в см). Построить график этих колебаний. Сложив графически эти колебания, построить график результирующего колебания.

Решение:

Составим таблицу значений для данных колебаний и построим их графики (Рис.1.4.1а). Затем, сложив значения , соответствующие одним и тем же значениям , получим график результирующего колебания (Рис.1.4.1б). Из уравнений колебаний найдем амплитуду и частоту каждого из них. Имеем: =0,03 м; 2 Гц; 0,06 м; 5 Гц.

Вопросы для самопроверки:

1. Какое движение называется колебательным? Какие колебания называются гармоническими; негармоническими? Приведите примеры.

2. Что такое фаза колебания и что она определяет? Что такое начальная фаза?

3. Дайте определение линейной и циклической частот. Как они связаны между собой? В каких единицах измеряются?

4. Что означает знак минус в соотношении, связывающем смещение и ускорение колеблющейся точки?

5. Как найти амплитуду скорости и ускорения? От каких величин они зависят?

6. Что такое векторная диаграмма? Изобразить на рисунке колебание и соответствующую векторную диаграмму.

7. В каких колебаниях должна участвовать точка, чтобы ее траекторией была прямая линия; окружность; эллипс?

8. Как образуются фигуры Лиссажу?

9. Прикаком условии два колебания максимально усиливают друг друга; ослабляют?

10. Когда возникают биения? Являются ли биения гармоническими колебаниями?

11. Как производится гармонический анализ сложного колебания?

Задачи для самостоятельного решения:

1. Небольшой грузик совершает колебания по закону (см). Определите: а) период, начальную фазу колебаний, максимальные скорость и ускорение груза; б) промежутки времени от начала отсчета движения, через которые грузик будет проходить положение равновесия. Установите закон изменения скорости и ускорения грузика в зависимости от его смещения.

2. Точка, совершающая гармонические колебания, в некоторый момент времени имеет смещение 4·10^-2 м, скорость 0,05 м/с и ускорение 0,8 м/с². Определите: а) амплитуду и период колебаний точки; б) фазу колебаний в рассматриваемый момент времени; в) максимальные скорость и ускорение точки; г) время прохождения пути, равного половине амплитуды колебаний при движении из положения равновесия (из крайней точки).

3. Точка участвует в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, описываемых уравнениями и а) Постройте траекторию движения точки и укажите направление ее движения. б) Найдите максимальные скорость и ускорение точки.

4. Уравнение движения точки дано в виде Найти моменты времени в которые достигаются максимальная скорость и максимальное ускорение.

5. Написать уравнение гармонического колебательного движения, если максимальное ускорение точки 49,3 см/с², период колебаний 2 с и смещение точки от положения равновесия в начальный момент времени 25 мм.

6. Найти амплитуду и начальную фазу гармонического колебания, полученного от сложения одинаково направленных колебаний, данных уравнениями:

(м), (м).

7. Найти амплитуду и начальную фазу гармонического колебания, полученного от сложения одинаково направленных колебаний, данных уравнениями (см) и (см). Написать уравнение результирующего колебания.

8. Некоторая точка совершает колебания вдоль оси по закону Найти: а) амплитуду и период колебаний; изобразить график ; б) проекцию скорости как функцию координаты ; изобразить

9. Частица совершает гармонические колебания вдоль оси около положения равновесия 0, Частота колебаний 4,00 с^-1. В некоторый момент координата частицы 25 см и ее скорость 100 см/с. Найти координату и скорость частицы через 2,4с после этого момента.

10. Точка совершает гармонические колебания вдоль некоторой прямой с периодом 0,6с и амплитудой 10 см. Найти среднюю скорость точки за время, в течение которого она проходит путь : а) из крайнего положения; б) из положения равновесия.

11. Частица совершает гармонические колебания вдоль оси по закону Считая вероятность нахождения частицы в интервале от до равной единице, найти зависимость от плотности вероятности , где вероятность нахождения частицы в интервале от до Изобразить график в зависимости от

12. Точка движется в плоскости по закону где постоянные. Найти: а) уравнение траектории точки и направление ее движения по этой траектории; б) ускорение точки в зависимости от ее радиус-вектора относительно начала координат.

13. Наибольшее смещение и наибольшая скорость точки, совершающей гармоническое колебание, равны соответственно 5 см и 12 см/с. а) Каково наибольшее ускорение? Б) Каковы скорость и ускорение точки в тот момент, когда смещение 3 см?

14. Конец ветви камертона колеблется с частотой 500 Гц и амплитудой 0,2мм. Определить: а) среднюю скорость при движении от крайнего положения к положению равновесия; б) среднюю скорость при прохождении 0,1мм, начиная от крайнего положения.

15.

16. а) Два одинаково направленных гармонических колебания одного периода с амплитудами 5 см и 7 см складываются в одно гармоническое колебание с амплитудой 9 см. Определить разность фаз складываемых колебаний. б) Наибольшая скорость первого колебания равна 50см/с.

Определить наибольшую скорость результирующего колебания.

17. В помещении установлены два электродвигателя. Когда работает один из двигателей, некоторая точка пола совершает колебания с амплитудой 0,1мм и с частотой 1410 мин^-1. Когда работает другой двигатель, та же точка пола совершает колебания с той же амплитудой и с частотой 1440мин^-1. Как будет колебаться эта точка, если оба двигателя будут работать одновременно?

18. При сложении двух гармонических колебаний одного направления результирующее колебание точки имеет вид: где в секундах. Найти круговые частоты складываемых колебаний и период биения.

19. Написать уравнение результирующего колебания, получающегося в результате сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний с одинаковой частотой 5Гц и одинаковой начальной фазой Амплитуды колебаний равны 0,10 м и 0,05 м.

Модуль 2. Динамика.

Занятие 1. Законы Ньютона.

Краткие теоретические сведения

Основные формулы

Уравнение движения материальной точки (второй закон Ньютона):

или

где масса, сила, геометрическая сумма всех сил, действующих на материальную точку.

Сила гравитационного взаимодействия (закон всемирного тяготения):

где 6,67·10^-11м³/(кг·с²) – гравитационная постоянная, расстояние между материальными точками.

Ускорение свободного падения у поверхности планет:

где М – масса планеты, радиус планеты.

Ускорение свободного падения у поверхности Земли 9,81м/с².

Ускорение свободного падения для тел, поднятых над Землей на высоту :

Сила тяжести:

Сила упругости (закон Гука):

где изменение размеров тела (удлинение), коэффициент упругости, напряжение в теле, возникающее за счет действия силы, площадь поперечного сечения тела, относительное удлинение, модуль Юнга (модуль упругости).

Вопросы для ответа у доски:

1. Первый закон Ньютона.

Инерциальные системы отсчета. Инерция и инертность. Масса. Единицы измерения массы. Сила. Измерение силы. Единицы измерения силы.

2. Второй закон Ньютона.

Принцип независимости действия сил. Способы проявления сил. Классификация фундаментальных взаимодействий. Классификация сил в механике. Прямая и обратная задача механики. Расчет силы, действующей на материальную точку, если ее движение задано векторным, координатным или естественным способом. Второй закон Ньютона в общей форме.

3. Третий закон Ньютона. Границы применимости механики Ньютона. Какова роль законов Ньютона в механике?

Сформулируйте третий закон Ньютона. Может ли нарушаться третий закон Ньютона? Импульс материальной точки? В каком виде можно сформулировать третий закон Ньютона, чтобы он всегда выполнялся?

Примеры решения задач:

Задача 1. Человек тянет груз за веревку, при этом веревка составляет с горизонталью угол 45⁰, а коэффициент трения груза о горизонтальную поверхность, по которой он движется 0,01. Определите ускорение груза, если его масса 40кг, а сила, приложенная человеком к веревке, равна 50Н.

Решение:

Выберем систему отсчета таким образом, чтобы ось совпадала с землей, а ось была к ней перпендикулярна. Груз будем считать достаточно малым, чтобы его можно принять за материальную точку.

Все силы будут приложены в одной точке – центре груза (Рис. 2.1.1).

Спроектируем силу тяги на оси координат и найдем ее проекции и :

Составим систему уравнений, описывающих движение тела. Основное уравнение движения в векторной форме будет иметь вид:

В проекциях на оси и , оно распадается на два скалярных уравнения:

на ось : ;

на ось : 0

Учитывая зависимость силы трения скольжения от силы реакции опоры , получим систему уравнений:

Выразив из второго уравнения силу реакции опоры и, подставив в первое уравнение, получим:

Так как то, подставив числовые значения, находим:

м/с².

Ответ: 0,79 м/с².

Задача 2.Две гири с массами 2 кг и 1 кг соединены нитью и перекинуты через невесомый блок. Найти ускорение , с которым движутся гири, и силу натяжения нити . Трением в блоке пренебречь.

Решение:

Сделаем чертеж (Рис.2.1.2)

Весом нитью и растяжением можно пренебречь. Выберем элемент нити . Запишем уравнение движения в проекции на ось

, так как 0, то ,

сила натяжения нити во всех точках одинакова.

Ускорения грузов тоже одинаковы из-за нерастяжимости нити грузы за одно и то же время проходят путь:

отсюда Однако направления векторов и противоположны.

Запишем второй закон Ньютона для гири 1 и гири 2 в проекциях на ось

Решая систему уравнений, получим:

отсюда , (3).

сила натяжения нити:

Подставив числовые значения, получим:

2·9,8·2·1/(2+1) Н=13 Н, 9,8·(2-1)/(2+1) м/с²=3,27 м/с².

Ответ: 13 Н, 3,27 м/с².

Задача 3. Автомобиль движется по выпуклому мосту радиусом кривизны 40 м. Какое максимальное ускорение в горизонтальном направлении может развивать автомобиль на вершине моста, если его скорость в этой точке равна 54 км/ч (15м/с)? Коэффициент трения колес автомобиля о мост равен 0,6.

Решение:

Сцепление колес осуществляется за счет силы трения, направленной в сторону движения по касательной к поверхности моста.

По второму закону динамики:

,

так как ускорение максимально, то и сила трения максимальна:

, . (1)

По нормали к траектории действуют две силы: и , нормальная реакция опоры меньше силы тяжести, поэтому происходит изменение направления вектора скорости. Мост из-за своей кривизны как бы уходит из-под автомобиля.

Модуль равнодействующей, равный разности сил и , сообщает автомобилю ускорение, направленное к центру окружности. По второму закону Ньютона для проекций сил и ускорений на нормаль к траектории на вершине моста:

(2)

Решая совместно уравнения (1) и (2) относительно касательного ускорения, получим:

Вычисляя, находим касательное ускорение равно:

0,6·(9,8-15²/40) м/с²=2,5 м/с².

Ответ: 2,5 м/с².

Вопросы и задания для самопроверки:

1. Что изучает динамика?

2. Сформулируйте первый закон Ньютона. В чем состоит физическое содержание этого закона? Какие системы отсчета называются инерциальными?

3. Что означают термины “инерция” и “инертность”? Что такое масса? Как устанавливаются единицы измерения массы? Как измеряется масса?

4. Что такое сила и как она измеряется? Как устанавливаются единицы измерения силы? Дайте определение этих единиц.

5. Что должно быть указано для каждой силы при решении задач?

6. Сформулируйте второй закон Ньютона.

7. В чем заключается принцип независимости действия сил? Какие следствия вытекают из этого принципа?

8. Каковы способы проявления сил?

9. Какие фундаментальные взаимодействия известны науке в настоящее время? Как классифицируются силы в механике?

10. Сформулируйте прямую и обратную задачи динамики. Как найти силу, действующую на материальную точку, если ее движение задано векторным, координатным или естественным способом?

11. Точка движется криволинейно. Как направлена сила, действующая на нее? Какова роль нормальной и тангенциальной составляющих силы? Как будет двигаться точка при отсутствии одной из составляющих?

12. Сформулируйте третий закон Ньютона. Может ли нарушаться третий закон Ньютона?

13. Что называют импульсом материальной точки?

14. Сформулируйте второй закон Ньютона в наиболее общей форме.

15. В каком виде можно сформулировать третий закон Ньютона, чтобы он всегда выполнялся?

16. Как экспериментально проверяются законы Ньютона? Являются ли они точными или приближенными? Есть ли границы применимости механики Ньютона?

17. Какова роль законов Ньютона в механике?

Задачи для самостоятельного решения:

1. Аэростат, имеющий вместе с балластом массу , опускается вниз с постоянным ускорением . Сколько балласта нужно сбросить с аэростата, чтобы он опускался с прежним ускорением, но направленным вертикально вверх? Трением пренебречь.

2. К потолку кабины лифта массой подвешен идеально упругий шарик массой . Шарик находится на расстоянии от пола. Под действием силы кабина начинает подниматься ускоренно. Чему равно натяжение нити, которой шарик привязан к потолку кабины? Через сколько времени шарик достигнет пола, если нить внезапно оборвется? На какую высоту над полом подскочит шарик после удара?

3.

4. Маляр работает в подвесном кресле. Масса маляра 72 кг, масса кресла 12 кг. С какой силой маляр должен подтягивать свободный конец веревки, чтобы подняться на высоту 3 м за 2 с? С какой силой маляр будет давить на кресло во время движения? На блок действует сила трения 30 Н.

5.

6. Автомобиль массой 1500 кг двигался по выпуклому мосту, имеющему форму дуги окружности с центральным углом 60⁰. При въезде на мост скорость автомобиля была вдвое больше, чем при съезде с моста. Тангенциальное ускорение автомобиля 3,7 м/с² . Определите максимальную силу давления автомобиля на мост.

7. Стальная проволока некоторого диаметра выдерживает силу натяжения 4,4 кН. С каким наибольшим ускорением можно поднимать груз массой 400 кг, подвешенный на этой проволоке, чтобы она не разорвалась?

8. К нити подвешена гиря. Если поднимать гирю с ускорением 2 м/с², то сила натяжения нити будет вдвое меньше той силы натяжения , при которой нить разорвется. С каким ускорением надо поднимать гирю, чтобы нить разорвалась?

9. Тело массой 0,5 кг движется прямолинейно, причем зависимость пройденного телом пути от времени дается уравнением , где 5 м/с² и 1 м/с³ . Найти силу , действующую на тело в конце первой секунды движения.

10. Уравнение движения пути от времени тела массой 500г , где 5 см и рад/с. Найти силу , действующую на тело через время 1/6 с после начала движения.

11. Какой угол с горизонтом составляет поверхность бензина в баке автомобиля, движущегося горизонтально с ускорением 2,44 м/с²?

12. Две гири с массами 2 кг и 1 кг соединены нитью и перекинуты через невесомый блок. Найти ускорение , с которым движутся гири, и силу натяжения нити . Трением в блоке пренебречь.

13. Невесомый блок укреплен на конце стола. Гири 1 и 2 одинаковой массы 1 кг соединены нитью и перекинуты через блок. Коэффициент трения гири 2 о стол 0,1. Найти ускорение , с которым движутся гири, и силу натяжения нити . Трением в блоке пренебречь.

14. Частица движется вдоль оси по закону , где положительные постоянные. В момент времени 0 сила, действующая на частицу, равна . Найти значения силы в точках поворота и в момент, когда частица опять окажется в точке 0.

15.

16.

17. Небольшое тело начинает скользить с вершины гладкой сферы радиуса . Найти угол между вертикалью и радиусом-вектором, характеризующим положение тела относительно центра сферы в момент отрыва от нее, а также скорость тела в этот момент.

18. Автомашина движется с постоянным тангенциальным ускорением 0,62м/с² по горизонтальной поверхности, описывая дугу радиуса 40 м. Коэффициент трения между колесами машины и поверхностью 0,2. Какой путь пройдет машина без скольжения, если в начальный момент ее скорость равна нулю?

19. Груз, масса которого равна 1 кг, подвешенный на динамометре, поднимается сначала ускоренно, затем равномерно и, наконец, замедленно, после чего он таким же образом опускается. Абсолютная величина ускорения во всех случаях постоянна и равна 0,5 м/с² . Что показывает динамометр в различные моменты движения?