Занятие 3. Импульс точки и механической системы.

Краткие теоретические сведения

Основные формулы

Импульс материальной точки (тела)

где скорость движения.

Второй закон Ньютона с учетом импульса

Второй закон Ньютона в скалярной форме

где изменение импульса, импульс силы.

Импульс системы тел – это векторная сумма импульсов всех тел, образующих систему:

.

Закон сохранения импульса:

Векторная сумма внешних сил, действующих на систему, равна нулю:

.

Второй закон Ньютона в импульсной форме для системы тел:

Если система не замкнута, то можно воспользоваться законом сохранения импульса:

1) если есть направление, вдоль которого внешние силы не действуют (т.е. сумма их проекций на данное направление равна 0), вдоль этого направления систему можно считать замкнутой и записать закон сохранения импульса в проекции на эту ось.

2) если внешние силы действуют непродолжительное время ( 0 их действием можно пренебречь ( 0).

3) если внутренние силы системы значительно превосходят внешние ( , поэтому можно пренебречь (при взрывах и сильных столкновениях).

Вопросы для ответа у доски:

1. Импульс системы материальных точек.

Введите понятие системы материальных точек и дайте классификацию сил, действующих на точки системы. Используя второй закон Ньютона для материальной точки, получите уравнение, связывающее импульс системы и силы, действующие на нее. Укажите условия выполнения закона сохранения импульса. Приведите примеры.

2. Движение центра масс системы.

Дайте понятие о центре масс системы материальных точек и выведите формулы для координат центра масс и его скорости. Установите связь между импульсом системы и скоростью движения центра масс. Импульс системы материальных точек в системе координат, связанной с центром масс. Внутренние силы и движение центра масс. Приведите примеры.

3. Движение тел переменной массы. Уравнение Мещерского и Циолковского.

Дайте понятие и приведите примеры движения тел переменной массы. Выведите уравнение Мещерского и выясните, от чего зависит реактивная сила. Получите формулу Циолковского. Сделайте оценки запасов топлива ракет для космических полетов.

Примеры решения задач:

Задача 1. Человек на аттракционе “гигантские шаги” движется по замкнутой траектории таким образом, что достигаемая им высота относительно положения равновесия меняется в пределах от до . Определить максимальную и минимальную скорости человека при таком движении, если длина веревки, на которой он удерживается, равна .

Решение:

На основании закона сохранения энергии

Момент силы тяжести относительно точки подвеса не имеет вертикальной составляющей. Момент силы натяжения веревки равен нулю. Поэтому при движении человека вертикальная составляющая его момента импульса остается неизменной. В положениях, где высота максимальна или минимальна, скорость человека горизонтальна, а момент импульса равен , где расстояние до вертикальной оси, вокруг которой вращается человек. Значит, в этих положениях величина одна и та же.

В момент, когда высота максимальна или минимальна, опишем в вертикальной плоскости окружность с центром в точке подвеса , проходящую через точку нахождения человека (Рис.2.3.1)

По свойству проекций катетов высота, опущенная на гипотенузу, является средним пропорциональным между проекциями катетов на гипотенузу:

, или

Поэтому в положениях, где максимальна и минимальна:

Запишем найденные соотношения для этих положений, имея в виду, что максимуму соответствует минимум и наоборот. Получим:

,

Решая эти уравнения, получим

(1)

(2)

В реальных условиях так что величина (1) действительно максимальна, а (2) – действительно минимальна. Если и пренебрежимо малы по сравнению с , то

Ответ:

Решение:

Скорость шарика в нижнем положении до удара . Так как удар неупругий, то непосредственно после удара шарик и нижний конец стержня в нижнем положении будут иметь одну и ту же скорость . Найдем скорость из закона сохранения момента импульса относительно оси :

,

где момент инерции стержня относительно той же оси.

Так как то написанное уравнение примет вид:

Вычислим скорость шарика и нижнего конца стержня при поднятии на одну и ту же высоту , если бы при этом они двигались независимо друг от друга. Эти скорости найдем из уравнений сохранения энергии:

Преобразовав второе уравнение к виду: получим: . Поэтому в любом положении шарик будет стремиться обогнать стержень. А так как шарик движется позади стержня, то он все время будет прижиматься к стержню. Отсюда следует, что после удара шарик и стержень будут подниматься как единое тело. Высота поднятия из закона сохранения энергии равна

Ответ:

Задача 3. Найти скорость капли, образовавшейся при слиянии капель массами 50 мг и 80 мг, двигавшихся перед тем со скоростями 4,6 м/си 3,7 м/с соответственно в направлениях, образующих угол 120⁰ друг с другом.

Дано:	CИ:	Решение: Система замкнута. Взаимодействие неупругое (общая скорость движения тел). Запишем закон сохранения импульса в векторном виде: Выстроим треугольник импульсов (Рис.2.3.3)
50 мг=	5·10-5 кг
80 кг=	8·10-5 кг
1200
4,6 м/с
3,7 м/с
Найти:

В полученном треугольнике известны две стороны ( и ) и угол между ними: β = 180⁰ – 120⁰ =60⁰.

Выстроим треугольник импульсов. (Рис.2.3.3)

Найдем неизвестную сторону по теореме косинусов:

Тогда, .

Подставляя числовые значения, получим:

2,07 м/с.

Ответ: 2,07 м/с.

Вопросы и задания для самопроверки:

1. Дайте определение импульса материальной точки и импульса силы, действующей на точку.

2. От чего зависит изменение импульса точки?

3. В каких случаях закон сохранения импульса можно применять к незамкнутым системам?

4. В чем заключается явление отдачи?

5. Почему при выстреле из ружья стрелок старается прижать приклад к плечу как можно плотнее?

6. Что такое центр тяжести системы? Совпадают ли центр тяжести и центр масс? Какое из этих понятий имеет большую общность? Может ли центр масс находиться в таком месте, где нет никакой материальной точки?

7. На тело действует сила вдоль прямой, проходящей через центр масс. Как будет двигаться то же тело, если прямая, вдоль которой действует сила, не проходит через центр масс?

8. Осколки разорвавшегося в полете снаряда разлетелись в разные стороны. Повлияет ли это на движение центра масс системы?

9. Когда космонавт выходит из корабля в космос, он отталкивается от спутника, в результате чего спутник получает импульс и изменяет свою траекторию движения. Восстановится ли траектория движения космического корабля после возвращения в него космонавта?

10. В некоторый момент, времени в летящей ракете начали работать двигатели. Вызовет ли это изменение движения центра масс системы (ракеты и вылетающих газов), самой ракеты?

11. Как происходит торможение автомобиля?

12. Почему нельзя поднять самого себя за волосы?

13. Будет ли увеличиваться скорость ракеты, если скорость истечения газов относительно ракеты меньше скорости самой ракеты, т. е. вытекающие из сопла ракеты газы летят за ракетой?

14. Какие силы называют реактивными?

Задачи для самостоятельного решения:

1. Идеально гладкий шар массой 2 кг, летящий со скоростью (м/с), испытывает неупругое столкновение с шаром массой 3кг, имеющим в момент соударения скорость (м/с). Определите скорость шаров после удара.

2. Две лодки массами и двигались навстречу друг другу со скоростями и . Когда лодки поравнялись друг с другом, пассажиры лодок поменялись грузами и , сообщив им скорости и перпендикулярно движению лодок. Каковы скорости лодок после обмена грузами?

3. Плот массой с человеком, масса которого , плывет в спокойной воде со скоростью . Человек от середины плота проходит расстояние за время и останавливается. Какое расстояние пройдет за это время плот, если; а) человек шел в направлении движения плота; б) в противоположную сторону; в) перпендикулярно движению плота? г) В каком направлении и с какой скоростью должен идти человек, чтобы плот не двигался?

4. Катер массой идет со скоростью и стреляет по курсу снарядом массой . Ствол орудия образует с горизонтом угол . Определите скорость катера после выстрела и расстояние от катера до места падения снаряда, если его начальная скорость относительно воды равна (начальная скорость снаряда относительно катера равна ). Сопротивлением воздуха пренебречь.

5. На концах легкого однородного стержня находятся два шарика массами и 2 . Стержень бросают так, что в начальный момент времени больший шар имеет скорость 10 м/с, направленную под углом 60⁰ к горизонту, а меньший – скорость 5 м/с, направленную вертикально вниз. На какую высоту поднимется центр системы и какова в этом месте будет его скорость?

6. Молекула массой 4,65·10^-26кг, летящая по нормали к стенке сосуда со скоростью 600 м/с, ударяется о стенку и упруго отскакивает от нее без потери скорости. Найти импульс силы , полученный стенкой во время удара.

7. Молекула массой 4,65·10^-26кг, летящая со скоростью 600 м/с, ударяется о стенку сосуда под углом 60⁰ к нормали и упруго отскакивает от нее без потери скорости. Найти импульс силы полученный стенкой во время удара.

8. Шарик массой 0,1 кг, падая с некоторой высоты, ударяется о наклонную плоскость и упруго отскакивает от нее без потери скорости. Угол наклона плоскости к горизонту 30⁰ . За время удара плоскость получает импульс силы =1,73 Н·с. Какое время пройдет от момента удара шарика о плоскость до момента, когда он будет находиться в наивысшей точке траектории?

9. На рельсах стоит платформа массой 10 т. На платформе закреплено орудие массой 5 т, из которого производится выстрел вдоль рельсов. Масса снаряда 100 кг; его начальная скорость относительно орудия 500 м/с. Найти скорость платформы в первый момент после выстрела, если: а) платформа стоит неподвижно; б) платформа двигалась со скоростью 18 км/ч и выстрел был произведен в направлении, противоположном направлению ее движения.

10. Снаряд массой 100 кг, летящий горизонтально вдоль железнодорожного пути со скоростью 500 м/с, попадает в вагон с песком, масса которого 10 т, и застревает в нем. Какую скорость получит вагон, если: а) вагон стоял неподвижно; б) вагон двигался со скоростью 36 км/ч в том же направлении, что и снаряд; в) вагон двигался со скоростью 36 км/ч в направлении, противоположном движению снаряда?

11. Граната, летящая со скоростью 10 м/с, разорвалась на два осколка. Большой осколок, масса которого составляла 0,6 массы всей гранаты, продолжал двигаться в прежнем направлении, но с увеличенной скоростью 25 м/с. Найти скорость меньшего осколка.

12. К небольшому бруску массы 50 г, лежащему на горизонтальной плоскости, приложили постоянную горизонтальную силу 0,10 Н. Найти работу сил трения за время движения бруска, если коэффициент трения зависит от пройденного пути как , где постоянная.

13. Два бруска массами и , соединенные недеформированной пружинкой, лежат на горизонтальной плоскости. Коэффициент трения между брусками и плоскостью равен . Какую минимальную постоянную силу нужно приложить в горизонтальном направлении к бруску массы , чтобы другой брусок сдвинулся с места?

14. Космический корабль массы движется в отсутствие внешних сил со скоростью . Для изменения направления движения включили реактивный двигатель, который стал выбрасывать струю газа с постоянной относительно корабля скоростью , все время перпендикулярной направлению движения, масса корабля стала равной . На какой угол изменилось направление движения корабля за время работы двигателя?

15. На Рис. 2.3.4 изображен школьный опыт, иллюстрирующий третий закон движения. Между двумя тележками помещается легкая сжатая пружина . При пережигании нити пружина расталкивает тележки в разные

16. Ракета, бывшая первоначально неподвижной, выбрасывает равномерной струей газы со скоростью 300 м/с (относительно ракеты); расход газа равен 90 г/с. Начальная масса ракеты равна 270 г.

17. а) Через сколько времени после пуска ракета достигнет скорости 10м/с?

18. б) Какой скорости достигнет ракета, если масса ее заряда равна 180г? Сопротивлением воздуха пренебречь.

19. Стальной шарик падает на горизонтальную поверхность стола с высоты 25,6 см и, отскочив, поднимается на высоту 19,6 см. Масса шарика 10 г. Какова средняя сила, с которой шарик действовал на стол при ударе, если соприкосновение шарика со столом длилось 1·10^-4с?

20. Лодка неподвижно стоит на озере. На корме и на носу лодки на расстоянии 2 м друг от друга сидят рыболовы. Масса лодки 140 кг, массы рыболовов 70 кг и 40 кг. Рыболовы меняются местами. Как перемещается при этом лодка?