Занятие 3. Кинематика вращательного движения материальной точки.

Краткие теоретические сведения

Основные формулы

Положение твердого тела (при заданной оси вращения) задается углом поворота

Кинематическое уравнение вращательного движения

Мгновенная угловая скорость

Угловое ускорение

Связь линейных характеристик с угловыми характеристиками

Уравнение равномерного вращения

Уравнение равнопеременного вращения

Частота вращения (число оборотов в единицу времени)

Период (время одного полного оборота)

Циклическая (круговая) частота

где число оборотов.

Вопросы для ответа у доски:

1. Описание вращательного движения материальной точки. Угловая скорость, угловое ускорение и их связь с соответствующими линейными величинами.

Введите среднюю и мгновенную угловые скорости и ускорение. Определите период и частоту равномерного движения. Установите связь между угловыми и линейными величинами скорости и ускорения. Введите единицы указанных величин и дайте их определение. Приведите пример задания вращательного движения и найдите угловую скорость, угловое ускорение и соответствующие линейные величины.

2. Угловая скорость как векторная величина. Связь между векторами линейной и угловой скоростей.

Покажите, что поворот на малый угол можно сопоставить с вектором углового перемещения. Введите вектор угловой скорости, определив его направление и величину. Получите формулу Эйлера, устанавливающую связь между векторами линейной и угловой скоростей.

3. Угловое ускорение как вектор. Ускорение точки при вращательном движении.

Введите вектор углового ускорения. Определите его направление для ускоренного и замедленного движения. Получите выражение для полного линейного ускорения через угловые величины. Выясните физический смысл каждого слагаемого вектора ускорения изобразите на рисунке расположение векторов, определяющих центростремительное и тангенциальное ускорения для ускоренного и замедленного движения.

4. Сопоставление линейных и угловых характеристик вращательного движения точки. Равномерное и равнопеременное вращение материальной точки и формулы, описывающие это движение.

Покажите, как, не производя вычислений, можно путем замены линейных величин соответствующими угловыми величинами получить различные формулы, описывающие равномерное и равнопеременное движение.

Примеры решения задач:

Задача 1. Период вращения одного колеса вдвое меньше периода другого колеса, а его радиус втрое больше радиуса другого колеса. Сравнить нормальные ускорения для точек обода обоих колес.

Дано:	Решение:
	При равномерном вращательном движении по окружности угловая скорость где период вращения. Нормальное ускорение при вращательном движении:
Найти:

Для точек обода первого колеса:

для точек обода второго колеса:

Отношение нормальных ускорений точек обода первого и второго колес:

12.

Ответ: 12.

Задача 2. Найти радиус вращающегося колеса, если известно, что линейная скорость точки, лежащей на ободе, в 2,5 раза больше линейной скорости точки, лежащей на расстоянии 5 см ближе к оси колеса.

Решение:

Вектор перпендикулярен плоскости Рис.1.3.1, следовательно, в скалярном виде:

,

для первой точки, лежащей на ободе колеса:

для второй точки, лежащей ближе к оси колеса:

Отсюда

Подставив числовые значения, находим радиус вращающегося колеса:

1,5· 12,5; 0,083 м =8,3 см.

Ответ: 8,3 см.

Задача 3. Точка движется по окружности радиусом 10 см с постоянным тангенциальным ускорением Найти нормальное ускорение точки через время 20 с после начала движения, если известно, что к концу пятого оборота после начала движения линейная скорость точки 10 см/с.

Решение:

Нормальное ускорение:

где , отсюда (1)

При равноускоренном движении среднее число оборотов в единицу времени:

где момент времени, соответствующий концу пятого оборота,

0, значит, ,

Частота оборотов: ,

Угловое ускорение

где

Из уравнения (1) находим :

подставив числовые данные получим:

м/с² =0,01 м/с².

Ответ: 0,01 м/с².

Вопросы для самопроверки:

1. Как описывается вращательное движение материальной точки?

2. Что называется угловой скоростью вращательного движения? Дайте определение единицы измерения угловой скорости. Какая единица измерения угловой скорости часто используется в технике?

3. Что такое период и частота вращательного движения? Какая существует связь между ними?

4. Дайте определение углового ускорения и единицы его измерения.

5. Какая линейная величина аналогична угловому ускорению и как они связаны между собой?

6. Как записывается закон равномерного и равнопеременного движения точки через угловые величины?

7. Как определяется направление вектора угловой скорости? Чем отличается этот вектор отранее рассмотренных векторов?

Задачи для самостоятельного решения:

1. Барабан начинает вращаться с постоянным угловым ускорением вокруг своей оси. По какому закону меняется с течением времени угол между векторами скорости и полного ускорения произвольной точки барабана?

2. Перед наблюдателем в вертикальной плоскости вращается диск, разделенный на одинаковых секторов. Около диска закреплен неподвижный указатель. Наблюдая за вращением диска, установили, что дуга первого сектора прошла мимо указателя за 4 с, дуга соседнего – за 5 с. После этого диск повернулся на угол 0,75 и остановился. Считая движение диска равнозамедленным, определите его угловое ускорение.

3. В некоторый момент времени вращение одного диска описывается уравнением второго - Через время 5с первый диск опережает второй на пять оборотов. На сколько оборотов первый диск будет опережать второй к тому моменту, когда второй диск остановится?

4. Автомобиль движется по прямому шоссе так, что его движение описывается уравнением ( в метрах). Радиус колеса автомобиля 1 м. а) Составьте в параметрической форме уравнение движения какой-либо точки колеса, лежащей на ободе, полагая, что в начальный момент она совпадает с полотном шоссе. б) Найдите скорость и ускорение этой точки в те моменты, когда она в первый раз попадает на уровень горизонтального диаметра и в вершину траектории. в) Определите радиусы кривизны траектории точки в эти моменты. г) Найдите геометрическое место точек колеса, скорости которых численно равны скорости автомобиля.

5. Зубчатое колесо радиусом 1 м зажато между двумя рейками, движущимися в одну сторону со скоростями 1+3 и 1- ( в м/с). а) Составьте уравнения движения, скорости и ускорения оси колеса. Определите: б) скорости и ускорения точек обода, лежащих на концах горизонтального диаметра, к концу второй секунды движения; в) ускорения точек колеса, соприкасающихся с рейками. Решите задачу при условии, что рейки движутся в разные стороны.

6. Найти угловую скорость : а) суточного вращения Земли; б) часовой стрелки на часах; в) минутной стрелки на часах; г) искусственного спутника Земли, движущегося по круговой орбите с периодом вращения 88 мин. Какова линейная скорость движения этого искусственного спутника, если известно, что его орбита расположена на расстоянии 200 км от поверхности Земли.

7. Колесо, вращаясь равноускоренно, через время 1 мин после начала вращения приобретает частоту 720 об/мин. Найти угловое ускорение колеса и число оборотов колеса за это время.

8. Колесо радиусом 0,1 м вращается так, что зависимость угла поворота радиуса колеса от времени дается уравнением где 2 рад/с и 1 рад/с². Для точек, лежащих на ободе колеса, найти через время 2c после начала движения: а) угловую скорость ; б) линейную скорость ; в) угловое ускорение ; г) тангенциальное и нормальное ускорения.

9. Колесо вращается так, что зависимость угла поворота радиуса колеса от времени дается уравнением , где 1 рад/с, 1 рад/с² , 1 рад/с³. Найти радиус колеса, если известно, что к концу второй секунды движения для точек, лежащих на ободе колеса, нормальное ускорение 3,46·102 м/с².

10. Точка движется, замедляясь, по окружности радиуса так, что в каждый момент ее тангенциальное и нормальное ускорения одинаковы по модулю. В момент 0 скорость точки равна . Найти зависимость: а) скорости точки от времени и пройденного пути ; б) полного ускорения точки от и .

11. Точка движется по дуге окружности радиуса . Ее скорость ~ , где пройденный путь. Найти угол между векторами скорости и полного ускорения как функцию .

12.

13. Колесо вращается вокруг неподвижной оси так, что угол поворота зависит от времени как , где 0,2 рад/с² . Найти полное ускорение точки на ободе колеса в момент 2,5 с, если скорость точки в этот момент 0,65 м/с.

14. Снаряд вылетел со скоростью 320 м/с, сделав при этом внутри ствола 2 оборота. Длина ствола 2,0 м. Считая движение снаряда в стволе равноускоренным, найти его угловую скорость вращения вокруг оси в момент вылета.

15. Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси по закону , где 6,0 рад/с, 2 рад/с³. Найти средние значения угловой скорости и углового ускорения за промежуток времени от 0 до остановки.

16. Точка находится на ободе колеса радиуса 0,50 м, которое катится без скольжения по горизонтальной поверхности со скоростью 1,0 м/с. Найти: а) модуль и направление ускорения точки ; б) полный путь проходимый точкой между двумя последовательными моментами ее касания поверхности.

17. Поезд движется по закруглению с радиусом 400м, причем его ускорение (тангенциальное) равно 0,2 м/с². Определить его нормальное и полное ускорение в тот момент, когда его скорость равна 10 м/с.

18.

19. Колесо, вращающееся с частотой оборотов 1500 мин^-1, при торможении стало вращаться равномерно замедленно и остановилось через 30 с. Найти угловое ускорение и число оборотов с момента начала торможения до остановки.

20. Некоторое тело начинает вращаться с постоянным угловым ускорением 0,04 с^-2. Через сколько времени после начала вращения полное ускорение какой-либо точки тела будет направлено под углом 76⁰ к направлению скорости этой точки?

21.