Лабораторная работа №2.3.4. Изучение вынужденных колебаний в LCR-контуре

Цель работы:Изучение установившейся реакции колебательной системы (LCR- контура) на непрерывное внешнее воздействие, изменяющееся во времени по гармоническому закону; исследование резонанса.

Приборы и оборудование: модуль «ФПЭ-11/10», магазины емкостей «МЕ» и сопротивлений «МС»; постоянное оборудование: генератор ГЗ-112, осциллограф С1-93 (С1-83), два цифровых вольтметра, комплект соединительных кабелей.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Теоретическое описание вынужденного колебательного процесса. В данной работе мы продолжается изучение колебательных процессов в одиночном LCR-контуре, имеющем собственную частоту , подвергнув его воздействию непрерывно действующей внешней гармонической ческой ЭДС . Генератор частоты включим последовательно в контур (рис. 1). Будем считать, что мгновенные значения токов и напряжений удовлетворяют законам, установленным для цепей постоянного тока. Такие токи называются квазистационарными.

Рис. 1.Электрический колебательный контур под воздействием внешней ЭДС

Условимся считать положительным ток, заряжающий конденсатор (рис. 1). По закону Ома можно написать

, (1)

где I — сила тока в контуре, –напряжение на конденсаторе, — ЭДС самоиндукции.

Заряд на конденсаторе q, напряжение на нем Uc, ток в контуре I и ЭДС самоиндукции в индуктивности L связаны соотношениями:

(2)

Подставив выражение (2) в формулу (1) и произведя преобразования, получим уравнение

(3)

где – коэффициент затухания и – собственная частота контура.

Общее решение полученного линейного дифференциального уравнения второго порядка дает закон изменения заряда во времени. Из теории дифференциальных уравнений известно, что общее решение равно сумме частного решения уравнения (3) и решения однородного уравнения

(4)

Решение уравнения (4) описывает процесс свободных затухающих колебаний в контуре

(5)

где .

Частное решение уравнения (15.3) имеет вид

(6)

где амплитуда колебаний заряда равна

(7)

а фазовый сдвиг α находится из выражения

(8)

При начальном возбуждении контура в нем возникает сложный переходный колебательный процесс, представляющий суперпозицию затухающих колебаний на частоте и незатухающих колебаний на частоте внешней ЭДС . По прошествию достаточного времени колебания на частоте исчезают, и будут происходить только вынужденные колебания на частоте , описываемые функцией (6). Аналогично происходят и колебания напряжения на конденсаторе. В дальнейшем будем рассматривать только этот установившийся колебательный процесс.

Продифференцировав выражение (6), найдем силу тока в контуре при установившихся колебаниях:

Обозначив – сдвиг по фазе между током и приложенной ЭДС и подставив значения и , получаем

(9)

где

(10)

(11)

Рис. 2.Зависимость амплитуды тока и сдвига фаз от частоты при различных затуханиях

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний силы тока I и сдвига фаз от частоты внешней ЭДС приведена на рис. 2. Из графика видно, что амплитуда тока резко возрастает при приближении частоты внешней ЭДС к некоторой характеристической частоте контура. Это явление называется резонансом, а соответствующая частота, при которой достигается максимум – резонансной частотой .

Как видно из выражений (10) и (11) для тока резонанс достигается при

, откуда

Другими словами, при резонансе колебания тока происходят с максимальной амплитудой на частоте, равной собственной частоте контура и в фазе с приложенной ЭДС.

Резонансную частоту для заряда q и напряжения на конденсаторе Ucможно получить, исследовав на экстремум функцию (7) или выражение для амплитуды напряжения на конденсаторе

Легко показать, что

(12)

При малом затухании резонансную частоту для напряжения можно считать равной , а для амплитуды напряжения при резонансе получается, Отношение амплитуды напряжения на конденсаторе при резонансе к амплитуде внешней ЭДС будет в этом случае равно

(13)

Выражение (13) совпадает с формулой для добротности Q, введенной ранее для характеристики затухания колебательного контура. Здесь выявляется другой физический смысл добротности: величина Q показывает, во сколько раз напряжение на конденсаторе при резонансе превышает величину воздействующей на контур внешней ЭДС.

Добротность Q характеризует также такое свойство колебательного контура, как избирательность. Это свойство связано с остротой резонансных кривых и оценивается шириной резонансных кривых на уровне половинной мощности колебаний или для тока и напряжения на уровне . Можно показать, что при малом затухании отношение этой ширины к резонансной частоте обратно величине добротности контура

(14)

Величина называется полосой пропускания контура (рис. 3).

Рис. 3.Определение полосы пропускания контура

МЕТОДИКА ИЗМЕРЕНИЙ

1. Схема установки для изучения резонанса в последовательном LCR-контуре приведена на рис. 4.

Катушка индуктивности L и резистор R]находятся в модуле ФПЭ-11, емкость контура и сопротивление устанавливаются магазинами МЕ и МС. Внешняя ЭДС частоты задается генератором ГЗ-112

Рис. 4.Схема для измерения амплитудно-частотной (резонансной) и фазово-частотной характеристик контура: МС — магазин сопротивлений, МЕ — магазин емкостей

На вход осциллографа подается напряжение с небольшого резистора R1пропорциональное силе тока I в контуре. Изменяя частоту генератора, исследуют зависимости I = I(v) при различных сопротивлениях R.

2. Измерение сдвига фаз между током I и внешней ЭДС х ( t) может быть выполнено при одновременном наблюдении осциллограмм I(t) и х(t). Подав напряжения с резистора R1и генератора в каналы YI и YII, получим сдвинутые на интервал времени осциллограммы соответствующих напряжений. Удобно при этом синхронизировать развертку напряжением x(t) (рис. 5).

Рис. 5.Определение полосы пропускания контура

Измерив линейный сдвиг фазы (в единицах длины или времени) на экране осциллографа и длину периода Т, найдем фазовый угол по формуле

(5)

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

Задание 1.Измерение амплитудно-частотной характеристики контура (резонансной кривой)для тока .

1.Соберите схему в соответствии с рис. 4.

2.Установите емкость контура мкФ и внешнее сопротивление магазина R = 0 (или 1 Ом).

3.Используя приблизительное значение индуктивности L≈100 мГн, рассчитайте ориентировочно собственную частоту контура по формуле

4.Подготовьте приборы к работе. Осциллограф включите в режим работы с внутренней временной разверткой и внешней синхронизацией. Для одновременного наблюдения осциллограмм I(t) и х ( t) установите род работы «→→». Напряжение с генератора (ЭДС) установите ≈3 В на частоте v=1кГц (размах на экране ~ 4 В).

5. Получите устойчивое изображение сигналов ЭДС и тока и измерьте амплитуды и (или размахи и ) на экране. Занесите значения частоты, амплитуд и масштабных множителей каналов , («V/дел») в таблицу 1.

Примечание. Если имеется возможность измерять оба напряжения вольтметрами, то в таблицу заносите показания вольтметров, а осциллограммы используйте только для визуального наблюдения. В дальнейшем поддерживайте величину неизменной.

Проделайте измерения при других частотах в диапазоне 1…10 кГц. Частоту изменяйте с шагом 1–2 кГц, а вблизи резонанса с шагом 0,2 кГц. Результаты заносите в таблицу 1.

 

Таблица 1.

v, кГц	, дел	Um, дел	, В/дел	, В/дел	Im, мА

 

7.Рассчитайте для всех частот амплитуду тока в контуре. Результаты также занесите в таблицу 1 (ток в мА).

8. Повторите измерения по пп. 5, 6, 7 при величинах сопротивления магазина R = 200 Ом и R = 600 Ом.

9. Постройте графики Im = Im(v) для R=0, 200 и 600 Ом на одном чертеже.

10. По графикам для R=0 и R=600 Ом определите ширину резонансных кривых (см. рис. 3) и рассчитайте добротность контура по формуле (14).

Задание 2.Определение фазово-частотных характеристик контура.

Установите сопротивление R = 0, емкость С = 2 10–2мкФ.

Установите такую длительность развертки, чтобы на экране наблюдались синусоиды сигналов I(t) и х(t)в пределах одного периода Т Измерьте сдвиг осциллограмм относительно друг друга и период Т в делениях шкалы. Рассчитайте сдвиг фаз между током и внешней ЭДС на некоторых частотах: резонансной ; на частотах по обе стороны от резонанса , соответствующих амплитуде ; на частотах вдали от резонанса.

Сопоставьте измеренные значения сдвига фаз с теоретически ожидаемыми величинами (см. рис. 2 и формулу (11)).

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Что такое резонанс?

2. Особенности явления резонанса в последовательной цепи. Условия возникновения резонанса в ней.

3. Особенности явления резонанса в параллельной цепи. Условия возникновения резонанса в ней.

4. Что такое добротность контура? На что она влияет и от чего зависит.

5. Вывести формулу вынужденных колебаний в контуре.

ОПТИКА