Пиши Дома Нужные Работы

Обратная связь

Классификация и характеристики отказов

А.А. Шарафутдинов

Кафедра «Пожарная и промышленная безопасность»

 

 

Надежность технических систем
и техногенный риск

 

Курс лекций

 

Часть 1. Основы теории

 

Уфа 2014

 

УДК 62-192.002.5(073)

 

Учебное пособие посвящено вопросам анализа и последующего расчета надежности технических систем и сопутствующего риска. Состоит из двух частей. В первой части изложены основы теории надежности. Рассмотрены основные понятия, описаны математические модели объектов и методы их анализа. Приведены данные об отказах элементов и систем, о методах поддержания работоспособности. Дана последовательность построения графов.

Предназначено для студентов специальностей направления подготовки «Безопасность жизнедеятельности»; может быть полезным при профессиональной переподготовке специалистов.

 

 

© ФГБОУ ВПО «Уфимский государственный нефтяной технический университет», 2014  

ОГЛАВЛЕНИЕ

 

ВВЕДЕНИЕ......................................................................................................... 7

1. ИСТОРИЯ И ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ.... 9

1.1. История развития научно-технического направления «надежность»... 9

1.2. основные понятия и определения теории надежности......................... 10

1.3. Классификация и характеристики отказов............................................ 13

2. КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ ОСНОВ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.............. 17

2.1. Основные понятия и определения......................................................... 17

2.2. Теорема сложения вероятностей........................................................... 20

2.3. Теоремы умножения вероятностей........................................................ 21

2.4. Теорема о повторении опытов.............................................................. 21



2.5. Формула полной вероятности............................................................... 22

2.6. Формула Байеса (формула вероятностей гипотез)............................... 22

2.7. Законы распределения случайной величины........................................ 23

2.8. Числовые характеристики случайных величин.................................... 26

3. Показатели безотказности объектА......................................... 30

3.1. Предварительные сведения.................................................................... 30

3.2. Показатели безотказности невосстанавливаемых объектов................. 32

3.3. Показатели безотказности восстанавливаемых объектов.................... 35

3.4. Показатели долговечности объектов..................................................... 41

3.5. Показатели сохраняемости объектов.................................................... 44

3.6. Экономические показатели надежности объектов................................ 45

3.7. Комплексные показатели надёжности объектов................................... 45

4. Математические модели теории надежнОсти.................... 48

4.1. Статистическая обработка результатов испытаний............................. 48

4.2. Надежность объектов в период нормальной эксплуатации................. 49

4.3. Надежность объектов при постепенных отказах.................................. 53

4.3.1. Нормальный закон распределения наработки до отказа.......... 54

4.3.2. Усеченное нормальное распределение....................................... 58

4.3.3. Логарифмически нормальное распределение............................ 60

4.3.4. Гамма-распределение.................................................................. 62

4.3.5. Распределение Вейбулла – Гнеденко.......................................... 63

 

4.4. Совместное действие внезапных и постепенных отказов..................... 66

4.5. Надёжность восстанавливаемых объектов. Постановка задачи.
Общая расчетная модель....................................................................... 67

4.5.1. Показатели надежности восстанавливаемых объектов.............. 70

4.5.2. Связь логической схемы надежности с графом состояний........ 76

4.6. Пример расчета безотказности с использованием модели
«прочность – нагрузка»......................................................................... 77

5. Структурно-логический анализ технических систем... 82

5.1. Надёжность систем. Структурная схема надежности системы............ 82

5.2. Расчёт надёжности систем с последовательным соединением
элементов................................................................................................. 87

5.3. Расчет надежности систем с параллельным соединением элементов... 89

5.4. Анализ сложных систем......................................................................... 91

5.5. Расчет структурной надежности систем................................................ 94

5.5.1. Системы типа «m из n»................................................................ 94

5.5.2. Мостиковые схемы....................................................................... 98

5.5.3. Комбинированные системы....................................................... 105

6. Методы повышения надежности ТЕХНИЧЕСКИХ систем 108

6.1. Резервирование.................................................................................... 108

6.2. Кратность резервирования и основные расчетные формулы............ 112

6.3. Замечания к расчетам надежности систем с резервированием.......... 123

7. Опасности технических систем и защита от них......... 131

7.1. Анализ риска........................................................................................ 131

7.2. Выбор методов анализа риска............................................................ 132

7.3. Методы проведения анализа риска..................................................... 134

7.3.1. Анализ опасностей и связанных с ними проблем.................... 134

7.3.2. Анализ видов, последствий и критичности отказов................. 134

7.3.3. Анализ диаграммы всех возможных последствий
несрабатывания или аварии системы
(«дерево неисправностей»)........................................................ 136

7.3.4. Анализ диаграммы возможных последствий события
(«дерево событий»).................................................................... 136

 

 

7.3.5. Предварительный анализ опасностей....................................... 139

7.3.6. Оценка влияния на надежность человеческого фактора.......... 140

7.3.7. «Дерево решений»..................................................................... 140

7.3.8. Таблица решений....................................................................... 142

8. Построение «дерева неисправностей».................................. 143

8.1. «Дерево неисправностей» как модель структуры отказов системы.. 143

8.2. Достоинства «дерева неисправностей»............................................... 144

8.3. Недостатки «дерева неисправностей»................................................. 145

8.4. Структура «дерева неисправностей».................................................. 145

8.5. Логические символы............................................................................ 146

8.6. Правила применения логических символов....................................... 150

8.7. Символы событий................................................................................ 154

8.8. Последовательность построения «дерева неисправностей».............. 157

9. Расчет риска......................................................................................... 170

9.1. Количественная оценка риска.............................................................. 170

9.2. Определение величины риска сокращения продолжительности жизни
от воздействия радиоактивного загрязнения...................................... 171

9.3. Определение величины риска заболевания профессиональной
вибрационной болезнью...................................................................... 172

9.4. Метод «дерева рисков»........................................................................ 175

9.5. Метод рейтинговой оценки риска....................................................... 178

9.6. Метод полуколичественной оценки риска.......................................... 182

10. Прогнозирование аварий и катастроф............................... 183

10.1. Номенклатура аварий и катастроф................................................... 183

10.2. Статистика аварий и катастроф......................................................... 185

10.3. Причины аварийности на производстве........................................... 187

10.4. Человеческий фактор как источник риска......................................... 190

10.5. Факторы производственной среды и их влияние на надежность
системы «человек – машина»............................................................. 194

10.6. Применение распределения Пуассона для оценки риска аварий.... 195

10.7. Примеры оценки риска аварий......................................................... 202

10.8. Примеры определения вероятности безотказной работы
технической системы........................................................................... 202

 

11. Обеспечение надежности........................................................... 209

11.1. Организация работ по обеспечению надёжности............................. 209

11.2. сертификация систем обеспечения надёжности................................ 212

11.3. Подготовленность к аварийным ситуациям и реагирование на них 215

11.3.1. Цель мероприятий по обеспечению аварийной
подготовленности..................................................................... 215

11.3.2. Задачи организации по обеспечению аварийной
подготовленности..................................................................... 216

11.3.3. Действия по обеспечению аварийной подготовленности...... 217

11.3.4. Анализ произошедших аварий.............................................. 217

11.3.5. Предупреждение, локализация, ликвидация и учет
аварийных ситуаций и аварий................................................. 218

11.3.6. Техническое обеспечение аварийной подготовленности
и реагирования......................................................................... 220

ЗАКЛЮЧЕНИЕ............................................................................................... 222

Библиографический список............................................................ 223

 


ВВЕДЕНИЕ

Стратегическим ресурсом общества, занимающим ключевое место в эко­но­­мике, образовании и культуре, становится информация. В частности, инфор­мация о техническом состоянии оборудования и работоспособности персонала имеет первостепенное значение для решения задач обеспечения надежности, безопасности и экономической эффективности сложных систем.

Появляются все более сложные конструктивно и чрезвычайно опасные для обслуживающего персонала и окружающей среды уникальные системы (летательные аппараты, ядерные энергетиче­ские установки, химические комплексы и др.), таким образом, проблема надежности технических систем становится все более актуальной.

Несмотря на разнообразие литературы по теории надежности, испытывается недостаток в учебных пособиях, которые могут быть рекомендованы студентам, обучающимся по специальностям направления «Безопасность жизнедеятельности». В качестве примера можно упомянуть как библиографическую редкость изданный в 1988 г. учебник по теории надежности Э. Дж. Хенли и Х. Кумамото в переводе В. С. Сыромятникова и Г. С. Деминой, а также
изданный в 1972 г. сборник задач по теории надежности под редакцией
А. М. Половко и И. М. Маликова.

Предлагаемое учебное пособие призвано восполнить недостаток в учебной литературе. Замысел авторов состоял в том, чтобы теоретический материал дополнялся примерами решения задач и примерами анализа и количественной оценки надежности и риска технических систем.

Целью данной работы является оказание помощи студентам в усвоении, систематизации и применении знаний в области надежности и техногенных рисков; издание может стать теоретической базой при выполнении контрольных и курсовых заданий, подготовке выпускных квалификационных работ, а также при решении технических и организационных задач по технической и промышленной безопасности.

Учебное пособие состоит из двух частей. Структура первой части подчинена логике и последовательности изучения общепрофессиональной дисциплины федерального компонента ГОС ВПО «Надежность технических систем и техногенный риск».

Первая глава знакомит читателя с краткой ис­торией развития теории надежности, с основными поня­тиями, классификацией и характеристиками отказов.

Во второй главе изложены основы теории вероятностей, являющейся неотъемлемой частью теории надеж­ности, особое внимание уделено определению вероятности с целью избавления от формулировок типа «вероятность чего-либо есть вероятность…».

Третья глава посвящена показателям безотказности невосстанавливаемых и восстанавливаемых объектов, в том числе экономическим и комплексным.

В четвертой главе представлены математические модели теории надежности, даны принципы определения надежности объектов в разные периоды их эксплуатации.

Пятая глава раскрывает содержание основных принципов структурно-логического анализа технических систем. Большое внимание уделено методам расчета и анализа надежности различных типов сложных систем.

В шестой главе рассмотрены методы повышения надежности технических систем, а также классификация методов резервирования.

Седьмая глава посвящена опасностям технических систем и способам защиты от них. Приведены критерии выбора методов анализа риска, опасностей, видов отказов, последствий отказов. Дана оценка влияния человеческого фактора на надежность систем.

В восьмой главе подробно описано построение «дерева неисправностей», сочетающего в себе количественные и качественные приемы анализа надежности технической системы.

В девятой главе даны характеристики методов анализа и расчета риска в неразрывной связи с оценкой надежности.

Десятая глава раскрывает содержание задач прогнозирования аварий и катастроф. Приведены сведения о формировании номенклатуры и организации ведения статистики аварий и катастроф.

Одиннадцатая глава описывает методы организации и сертификации работ по обеспечению надежности, показывает цели и задачи аварийного реагирования и аварийной подготовленности.

Ряд глав учебного пособия дополнен контрольными вопросами и зада­чами.

В части второй пособия изложены примеры и практические рекомендации по решению задач, связанных с анализом надежности и риска различных технических систем; приведены разработанные авторами контрольные задания с вариантами исходных данных. В приложениях ко второй части содержится информация об интенсивностях отказов элементов.


1. История и перспективы развития
теории надежности

1.1. История развития научно-технического направления
«надёжность»

Теория надёжности появилась в начале ХХ в. как результат научно-технического прогресса. Объектами исследования являются закономерности возникновения отказов объектов, технологические приёмы восстановления их работоспособности. Рассматриваются происходящие в объектах процессы, разрабатываются методы расчёта надёжности технических объектов, методы прогнозирования отказов. Выбираются способы увеличения надёжности при проектировании и эксплуатации объектов, а также способы сохранения надёжности при эксплуатации. Определяются методы сбора, учёта и анализа статистических данных, характеризующих надёжность.

Математической основой теории надёжности являются теория вероятностей и математическая статистика, математическая логика, теория случайных процессов, теория массового обслуживания, теория информации, теория планирования эксперимента и другие математические дисциплины.

В истории развития теории надежности выделяют три периода. С первой четверти до начала 60-х годов ХХ в. (период становления науки) надежность оценивалась по числу зафиксированных отказов. По статистике отказов входящих в систему элементов определялись значения интенсивности отказов, затем выполнялись расчёты надёжности. Такой подход развивался в связи с решением проблемы надежности в радиоэлектронике и автоматике. В числе авторов работ, связанных с теорией надежности, Н. Ф. Хоциалов (механические системы), A. M. Берг, Н. Г. Бруевич (радиоэлектроника и автоматика), Б. В. Гнеденко, Ю. К. Беляев (математические вопросы теории надежности) и др., а также известные зарубежные авторы – Г. Майер, Дж. Нейман, К. Шеннон, А. Пирс.

В 60-е годы XX в. (второй период) стали учитывать влияние функциональных связей между элементами системы, влияние на отказы эксплуатационных факторов – температуры, среды, вибраций, электрической нагрузки и пр.
В результате накоплен богатый статистический материал, обобщённый теоретически.

Во второй половине 70-х годов (третий период) усилия учёных направлены на решение задач прогнозирования надёжности объектов и оценки надёжности сложных систем. Характерной особенностью периода стала глубина проникновения в физико-химические и статистические закономерности появления отказов в простых и сложных системах.

В современной теории надёжности выделяют направления: совершенствование конструктивных и технологических методов надёжности; обеспечение эксплуатационной надёжности.

Нормативной основой для развития указанных направлений являются международные и государственные стандарты, стандартные методики и программы обеспечения надёжности.

Открытие в 1985 г. Робертом Керлом, Гарольдом Крото и Ричардом Смоллифуллеренов явилось началом эпохи нанотехнологий. Новое аллотропное состояние углерода с его каркасной структурой, состоящей из пяти- и шестиугольных ячеек, с числом атомов от 36 до 540, расширило границы знания.
В 1991 г. С. Иидзима сообщил миру о существовании нанотрубок, в которых ячейки из образованных атомами углерода шестиугольников соединены в трубки диаметром до одного нанометра и длиной до нескольких десятков микрометров. Развитие области знаний о наномире неизбежно приведет к изменению понятия «надёжность». Это предположение основано на результатах оценки перспектив создания революционных технологий – программируемых матриц механосинтеза, которые делают возможным массовое производство с атомарной точностью любой материальной структуры [67].

1.2. основные понятия и определения
теории надёжности

Основные понятия теории надёжности установлены стандартом [7].

Надёжность – свойство объекта сохранять во времени в установленных пределах значения всех параметров, характеризующих способность выполнять требуемые функции в заданных режимах и условиях применения, технического обслуживания, ремонта, хранения и транспортирования.

Надёжность является сложной характеристикой, сочетающей свойства безотказности, долговечности, ремонтопригодности и сохраняемости.

Одно из самых важных свойств надёжности элементов и систем –безотказность:

– означает свойство объекта находиться в работоспособном состоянии в течение некоторого времени;

– относится к режиму эксплуатации объекта;

– подразумевает исключение учёта перерывов в работе объекта (плановых и неплановых);

– показывает техническое состояние объекта: исправность, неисправность, работоспособность, неработоспособность, дефект, повреждение и отказ; каждое из этих состояний описывается совокупностью значений параметров объекта и качественных признаков; номенклатура этих параметров и признаков, а также пределы их допустимых изменений устанавливаются нормативной документацией на объект.

Согласно [7], безотказность – свойство объекта непрерывно сохранять работоспособное состояние в течение некоторого времени или наработки.

Долговечность–свойство объектов сохранять работоспособность до наступления предельного состояния при установленной системе технического обслуживания и ремонта.

Ремонтопригодность – свойство приспособленности объекта: а) к предупреждению и обнаружению причин отказов, повреждений; б) к поддержанию и восстановлению работоспособного состояния путем проведения технического обслуживания и ремонтов.

Свойством ремонтопригодности обусловлено деление объектов на восстанавливаемые и невосстанавливаемые. Это деление условно и зависит от рассматриваемой ситуации.

Сохраняемость –свойствообъекта сохранять состояние безотказности, ремонтопригодности и долговечности:

а) в течение (после) срока хранения;

б) при транспортировании.

Предметом анализа надёжности являются состояния отказа и работоспособности объекта.

Объект – техническое изделие определенного целевого назначения, рассматриваемое в периоды проектирования, производства, испытаний и эксплуатации.

Понятием изделиеобозначается единица продукции, выпускаемой данным предприятием.

В зависимости от условий выполняемой задачи один и тот же технический объект может называться системой или элементом.

Система – объект, в котором различаются взаимозависимые части, объединенные одной задачей. Система представляет собой совокупность элементов, связанных определенными отношениями и взаимодействующих таким образом, чтобы обеспечить выполнение системой некоторой достаточно сложной
функции.

Элемент – ограниченный объект, являющийся частью другого объекта.

Связь понятий «система» и «элемент»относительна, так как любой объект может быть системой в одних условиях и элементом – в других. Например, производящий энергию объект является системой, но в объединении подобных объектов он становится элементом.

Исправность – состояние объекта, при котором он соответствует всем требованиям нормативно-технической документации и (или) конструкторской (проектной) документации.

Неисправность – состояние объекта, при котором он не соответствует хотя бы одному из требований нормативно-технической документации и (или) конструкторской (проектной) документации.

Работоспособность – состояние объекта, при котором значения всех параметров, характеризующих способность выполнять заданные функции, соответствуют требованиям нормативно-технической документации и (или) конструкторской (проектной) документации.

Неработоспособность – состояние объекта, при котором значение хотя бы одного заданного параметра, характеризующего способность выполнять заданные функции, не соответствует требованиям нормативно-технической документации и (или) конструкторской (проектной) документации.

Работоспособность и неработоспособность в общем случае могут быть полными или частичными. Полностью работоспособный объект обеспечивает в определённых условиях максимальную эффективность его применения.

Предельное состояние – такое состояние объекта, при котором его дальнейшая эксплуатация недопустима или нецелесообразна либо восстановление его работоспособного состояния недопустимо или нецелесообразно.

Критерии предельного состояния – признаки, устанавливаемые в нормативно-технической и конструкторской документации.

Дефект (по ГОСТ 15467–79) – событие, при котором нарушается исправное состояние объекта, но сохраняется его работоспособность.

Повреждение – событие, заключающееся в нарушении исправного состояния при сохранении работоспособного состояния.

Отказ–событие, заключающееся в нарушении работоспособного состояния объекта.

В результате повреждений или отказов происходят переходы объектов из одних состояний в другие. При этом границы между состояниями условны и определяются значениями параметров, а также условиями работы объектов. Объекты, работоспособные в одних условиях, могут оказаться неработоспособными в других, оставаясь исправными.

К числу важнейших относится понятие «наработка». Его содержание и параметры будут рассмотрены в главе 3.

Классификация и характеристики отказов

При возникновении отказов в технической системе происходит следующее: изменяется характер работы, появляются внешние признаки отказов и зависимость от отказов других систем, уменьшается возможность дальнейшего полноценного использования системы, появляется необходимость оценить возможность устранения отказов, характер устранения основных параметров отказов, определить причины возникновения отказов и др.

Содержание происходящих изменений:

1. Характер работы после возникновения отказов:

– параметрический отказ происходит вследствие превышения пределов допустимого изменения рабочего параметра. Продолжение эксплуатации машины, имеющей такой отказ, может привести к выпуску некачественной продукции или к снижению эффективности работы машины (например, к потере точности металлорежущего станка). Более того, в сложных машинах и системах параметрические отказы элементов могут привести к отказу функциониро­вания;

– отказ функционирования (функциональный) наступает из-за прекращения выполнения объектом его основных функций, дальнейшая эксплуатация возможна только после ремонта.

2. Внешние признаки отказов:

явный (очевидный) отказ – непосредственно воспринимается органами чувств или средствами контроля;

неявный (скрытый) отказ – тот, для обнаружения которого требуется выполнение специальных операций контроля.

3. Зависимость от отказов других объектов:

– независимым называется отказ, не обусловленный отказом другого
объекта;

– зависимый отказ обусловлен отказом другого объекта.

4. Возможность дальнейшего использования объектов:

– полный отказ – прекращение объектом выполнения всех функций;

– частичный отказ – выполнение некоторых функций.

5. Возможность устранения отказов:

– устранимый отказ – такой, причины которого известны и могут быть устранены, что исключает их возникновение вновь для изделия данного вида;

– неустранимый отказ – такой, причины которого неизвестны или не могут быть устранены для изделия данного вида.

6. Характер устранения отказов:

– устойчивый отказ – требующий проведения специальной работы;

– самоустраняющийся отказ – кратковременное нарушение работоспособности;

– сбой – отказ, не нарушающий работоспособности объекта, приводящий к кратковременной потере или искажению полезной информации в системе;

– перемежающийся отказ – многократно возникающий самоустраняющийся отказ объекта, имеющий один и тот же характер.

7. Характер изменения основных параметров отказов:

– внезапный отказ – появляющийся при скачкообразном изменении значений одного или нескольких параметров объекта;

– постепенный отказ – связан с медленным изменением значений параметров объекта;

– систематический отказ – многократно повторяющийся однородный по определенным признакам отказ, появляющийся вследствие недостатков конструкции, процесса изготовления и т. д.

8. Причины возникновения отказов:

– конструкционный отказ – возникающий из-за недостатков конструкции;

– производственный (технологический) отказ – следствие ошибок, нарушений и несовершенства технологии;

– эксплуатационный отказ – следствие нарушений правил эксплуатации.

9. Значимость отказов:

– критический отказ – такой, при котором возникает угроза человеку или окружающей среде;

– существенный отказ – такой, при котором ухудшение эксплуатационных характеристик или полная непригодность объекта к эксплуатации не приводят к опасности для человека;

несущественный отказ – такой, который имеет незначительные последствия, вызывающие недовольство.

10. Время возникновения отказов:

– приработочный отказ – появляется в начальный период эксплуа­тации;

– отказ при нормальной эксплуатации;

– отказ вследствие износа – появляется в заключительный период эксплуатации.

Вариант классификации отказов представлен на рис. 1.1.


 

 

Классификация отказов
Зависимость от отказов других объектов  
Возможность последующего использования объектов
Наличие внешних проявлений отказов
Возможность устранения отказов
Характер изменения основного параметра отказов
Зависимый
Независимый
Полный
Частичный
Явный (очевидный)
Неявный (скрытый)
Устранимый
Неустранимый
Внезапный
Постепенный
Конструкционный
Производственный
Эксплуатационный
Причины возникновения отказов по этапам жизни

Рис. 1.1. Классификация отказов

Контрольные вопросы

1. Назовите основные этапы становления надёжности как науки.

2. В чем заключается понятие надёжности как свойства объекта?

3. Дайте определения основных состояний и событий, которыми характеризуется надёжность.

4. В чем общность и отличия состояний «исправность» и «работоспособность» объекта?

5. При каких условиях наступает предельное состояние объекта?

6. Какими могут быть объекты по пригодности к восстановлению работоспособного состояния?

7. Какими могут быть отказы по типу и природе происхождения?

8. По каким признакам классифицируют отказы?

9. Дайте определения свойств (составляющих) надёжности.

10. Перечислите и поясните показатели долговечности.


2. КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ
ОСНОВ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Основные понятия и определения

Испытанием (опытом) называется одно из сколь угодно большого числа раз воспроизводимого определённого перечня (состава) условий.

Событие – совокупность явлений, происходящих в результате испы­тания.

Если событие происходит неизбежно в результате каждого испытания, оно называется достоверным.

Если событие не может произойти, оно называется невозможным.

Множество возможных при данном испытании и связанных с ним событий называется полем событий, а события этого поля – случайными событиями.

Случайное событие – всякий факт (исход), который может произойти или не произойти.

Выборкой называется небольшая часть некоторого множества объектов, отобранная наугад. При этом отобранные объекты правильно отражают качества и свойства элементов множества, что достигается в результате тщательного предварительного перемешивания (диспергирования) свойств. Отбор каждого элемента выборки является испытанием и завершается соответствующим событием.

Выборка с возвращением – при последовательном выборе шаров из урны после каждого выбора взятый шар возвращается в урну.

Выборка без возвращения – из урны выбирается некоторое количество шаров без возвращения.

Пусть n – число элементов выборки от 1 до n. Осуществление выборки представляет собой поле событий

А1, А2,…, Аn, (2.1)

где Аn – отбор n-го элемента, а события поля равновозможны.

События поля могут быть элементарными и сложными. Сложному событию Аn{n1, n2,, nk}, где n1< n2<…< nk – номера элементарных событий, составляющих сложное, соответствует появление событий с номерами n1, или n2, или nk. Здесь каждому событию Аn соответствует некоторое количество (или подмножество) элементарных событий.

Говорят, что событие А влечёт за собой событие В (из А следует В), если при наступлении А неизбежно наступление В.


Если из А следует В и одновременно из В следует А, то события А и В эквивалентны, или А = В.

Каждое событие поля представляет собой подмножество некоторых событий из множества (А1, А2,, Аn). Например, событие В, состоящее в появлении номеров 2, 5, 7, принято обозначать В{2, 5, 7}. Его записывают как логическую сумму

В = А2+ А5+ А7, (2.2)

где «+» равнозначен союзу «или».

В данном случае можно событие В представить как сумму двух событий

В = {2, 5} + {7}

или В = (А2+ А5) + А7. (2.3)

Событие В является также суммой несовместных событий, так как события {2, 5} и {7} не могут произойти в одном испытании. Совместными являются события {1, 2, 3, 4} и {4, 5, 6, 7}, они наступают вместе в тех испытаниях,
в которых появляется номер 4. Сумма {1, 2, 3} + {1, 2} тождественна событию {1, 2, 3}.

Сумма любых двух событий поля есть событие того же поля.

Полю всегда принадлежит достоверное событие S{1, 2, … n},заключающееся в том, что выбирается один из номеров от 1 до n. События «–,…,
«–1»,0, n+1 невозможны и обозначаются не А»).

События А и взаимно дополнительны или противоположны, если они несовместны и составляют в сумме достоверное событие, т. е. достоверно то, что наступит А или .

Под произведением событий А1, А2,, Аn понимается одновременное наступление их всех, т. е. когда А1А2, ии Аn наступают вместе.

Произведением двух событий С {1, 2, 3, 4} и D{2, 4, 6, 8} является событие Е = СD = {2, 4}.

Случайной называется величина, которая может принять какое-либо неизвестное заранее возможное значение, зависящее от случайных факторов, не поддающихся учету (обозначается ).


Случайные величины могут быть прерывными (дискретными) и непрерывными.

Прерывными (дискретными) называются величины, которые принимают отделённые друг от друга значения.

Непрерывными называются величины, возможные значения которых заполняют непрерывно некоторый конечный или бесконечный промежуток (ресурс).

Относительная частота.Пусть проводится серия из N испытаний в одинаковых условиях. Если интересующее нас событие, например А,произошло раз, то отношение

(2.4)

называется относительной частотой появления события А в данной серии испытаний. Очевидным является то, что

, (2.5)

для невозможного события, для достоверного события.

Вероятность.Каждому из событий можно поставить в соответствие
определенное число, называемое его вероятностью Р = Р(«А»)или
Q = Р
(«не А»)и являющееся мерой возможного совершения этого события.

Вероятность есть численная мера, характеристика возможности появления события в диапазоне значений 0…1.

. (2.6)

Вероятность достоверного события равна единице

. (2.7)

Вероятность противоположного события дополняет вероятность данного события до единицы

, (2.8)

где А и – противоположные события.

Вероятность невозможного события равна нулю

. (2.9)

Сумма вероятностей несовместных событий, составляющих полную группу, равна единице

, (2.10)

где А1, А2, … Аn – несовместные события, составляющие достоверное событие (полную группу событий).

Классическое определение вероятности: вероятность события А есть отношение числа m благоприятствующих этому событию исходов к общему числу n всех возможных элементарных несовместных и равновозможных исходов испытания.

. (2.11)

В большой серии испытаний относительная частота (А) приближается к вероятности P(А).






ТОП 5 статей:
Экономическая сущность инвестиций - Экономическая сущность инвестиций – долгосрочные вложения экономических ресурсов сроком более 1 года для получения прибыли путем...
Тема: Федеральный закон от 26.07.2006 N 135-ФЗ - На основании изучения ФЗ № 135, дайте максимально короткое определение следующих понятий с указанием статей и пунктов закона...
Сущность, функции и виды управления в телекоммуникациях - Цели достигаются с помощью различных принципов, функций и методов социально-экономического менеджмента...
Схема построения базисных индексов - Индекс (лат. INDEX – указатель, показатель) - относительная величина, показывающая, во сколько раз уровень изучаемого явления...
Тема 11. Международное космическое право - Правовой режим космического пространства и небесных тел. Принципы деятельности государств по исследованию...



©2015- 2021 pdnr.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.