Классификация и характеристики отказов

А.А. Шарафутдинов

Кафедра «Пожарная и промышленная безопасность»

Надежность технических систем
и техногенный риск

Курс лекций

Часть 1. Основы теории

Уфа 2014

УДК 62-192.002.5(073)

Учебное пособие посвящено вопросам анализа и последующего расчета надежности технических систем и сопутствующего риска. Состоит из двух частей. В первой части изложены основы теории надежности. Рассмотрены основные понятия, описаны математические модели объектов и методы их анализа. Приведены данные об отказах элементов и систем, о методах поддержания работоспособности. Дана последовательность построения графов.

Предназначено для студентов специальностей направления подготовки «Безопасность жизнедеятельности»; может быть полезным при профессиональной переподготовке специалистов.

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ......................................................................................................... 7

1. ИСТОРИЯ И ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ.... 9

1.1. История развития научно-технического направления «надежность»... 9

1.2. основные понятия и определения теории надежности......................... 10

1.3. Классификация и характеристики отказов............................................ 13

2. КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ ОСНОВ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.............. 17

2.1. Основные понятия и определения......................................................... 17

2.2. Теорема сложения вероятностей........................................................... 20

2.3. Теоремы умножения вероятностей........................................................ 21

2.4. Теорема о повторении опытов.............................................................. 21

2.5. Формула полной вероятности............................................................... 22

2.6. Формула Байеса (формула вероятностей гипотез)............................... 22

2.7. Законы распределения случайной величины........................................ 23

2.8. Числовые характеристики случайных величин.................................... 26

3. Показатели безотказности объектА......................................... 30

3.1. Предварительные сведения.................................................................... 30

3.2. Показатели безотказности невосстанавливаемых объектов................. 32

3.3. Показатели безотказности восстанавливаемых объектов.................... 35

3.4. Показатели долговечности объектов..................................................... 41

3.5. Показатели сохраняемости объектов.................................................... 44

3.6. Экономические показатели надежности объектов................................ 45

3.7. Комплексные показатели надёжности объектов................................... 45

4. Математические модели теории надежнОсти.................... 48

4.1. Статистическая обработка результатов испытаний............................. 48

4.2. Надежность объектов в период нормальной эксплуатации................. 49

4.3. Надежность объектов при постепенных отказах.................................. 53

4.3.1. Нормальный закон распределения наработки до отказа.......... 54

4.3.2. Усеченное нормальное распределение....................................... 58

4.3.3. Логарифмически нормальное распределение............................ 60

4.3.4. Гамма-распределение.................................................................. 62

4.3.5. Распределение Вейбулла – Гнеденко.......................................... 63

4.4. Совместное действие внезапных и постепенных отказов..................... 66

4.5. Надёжность восстанавливаемых объектов. Постановка задачи.
Общая расчетная модель....................................................................... 67

4.5.1. Показатели надежности восстанавливаемых объектов.............. 70

4.5.2. Связь логической схемы надежности с графом состояний........ 76

4.6. Пример расчета безотказности с использованием модели
«прочность – нагрузка»......................................................................... 77

5. Структурно-логический анализ технических систем... 82

5.1. Надёжность систем. Структурная схема надежности системы............ 82

5.2. Расчёт надёжности систем с последовательным соединением
элементов................................................................................................. 87

5.3. Расчет надежности систем с параллельным соединением элементов... 89

5.4. Анализ сложных систем......................................................................... 91

5.5. Расчет структурной надежности систем................................................ 94

5.5.1. Системы типа «m из n»................................................................ 94

5.5.2. Мостиковые схемы....................................................................... 98

5.5.3. Комбинированные системы....................................................... 105

6. Методы повышения надежности ТЕХНИЧЕСКИХ систем 108

6.1. Резервирование.................................................................................... 108

6.2. Кратность резервирования и основные расчетные формулы............ 112

6.3. Замечания к расчетам надежности систем с резервированием.......... 123

7. Опасности технических систем и защита от них......... 131

7.1. Анализ риска........................................................................................ 131

7.2. Выбор методов анализа риска............................................................ 132

7.3. Методы проведения анализа риска..................................................... 134

7.3.1. Анализ опасностей и связанных с ними проблем.................... 134

7.3.2. Анализ видов, последствий и критичности отказов................. 134

7.3.3. Анализ диаграммы всех возможных последствий
несрабатывания или аварии системы
(«дерево неисправностей»)........................................................ 136

7.3.4. Анализ диаграммы возможных последствий события
(«дерево событий»).................................................................... 136

7.3.5. Предварительный анализ опасностей....................................... 139

7.3.6. Оценка влияния на надежность человеческого фактора.......... 140

7.3.7. «Дерево решений»..................................................................... 140

7.3.8. Таблица решений....................................................................... 142

8. Построение «дерева неисправностей».................................. 143

8.1. «Дерево неисправностей» как модель структуры отказов системы.. 143

8.2. Достоинства «дерева неисправностей»............................................... 144

8.3. Недостатки «дерева неисправностей»................................................. 145

8.4. Структура «дерева неисправностей».................................................. 145

8.5. Логические символы............................................................................ 146

8.6. Правила применения логических символов....................................... 150

8.7. Символы событий................................................................................ 154

8.8. Последовательность построения «дерева неисправностей».............. 157

9. Расчет риска......................................................................................... 170

9.1. Количественная оценка риска.............................................................. 170

9.2. Определение величины риска сокращения продолжительности жизни
от воздействия радиоактивного загрязнения...................................... 171

9.3. Определение величины риска заболевания профессиональной
вибрационной болезнью...................................................................... 172

9.4. Метод «дерева рисков»........................................................................ 175

9.5. Метод рейтинговой оценки риска....................................................... 178

9.6. Метод полуколичественной оценки риска.......................................... 182

10. Прогнозирование аварий и катастроф............................... 183

10.1. Номенклатура аварий и катастроф................................................... 183

10.2. Статистика аварий и катастроф......................................................... 185

10.3. Причины аварийности на производстве........................................... 187

10.4. Человеческий фактор как источник риска......................................... 190

10.5. Факторы производственной среды и их влияние на надежность
системы «человек – машина»............................................................. 194

10.6. Применение распределения Пуассона для оценки риска аварий.... 195

10.7. Примеры оценки риска аварий......................................................... 202

10.8. Примеры определения вероятности безотказной работы
технической системы........................................................................... 202

11. Обеспечение надежности........................................................... 209

11.1. Организация работ по обеспечению надёжности............................. 209

11.2. сертификация систем обеспечения надёжности................................ 212

11.3. Подготовленность к аварийным ситуациям и реагирование на них 215

11.3.1. Цель мероприятий по обеспечению аварийной
подготовленности..................................................................... 215

11.3.2. Задачи организации по обеспечению аварийной
подготовленности..................................................................... 216

11.3.3. Действия по обеспечению аварийной подготовленности...... 217

11.3.4. Анализ произошедших аварий.............................................. 217

11.3.5. Предупреждение, локализация, ликвидация и учет
аварийных ситуаций и аварий................................................. 218

11.3.6. Техническое обеспечение аварийной подготовленности
и реагирования......................................................................... 220

ЗАКЛЮЧЕНИЕ............................................................................................... 222

Библиографический список............................................................ 223

ВВЕДЕНИЕ

Стратегическим ресурсом общества, занимающим ключевое место в эко­но­­мике, образовании и культуре, становится информация. В частности, инфор­мация о техническом состоянии оборудования и работоспособности персонала имеет первостепенное значение для решения задач обеспечения надежности, безопасности и экономической эффективности сложных систем.

Появляются все более сложные конструктивно и чрезвычайно опасные для обслуживающего персонала и окружающей среды уникальные системы (летательные аппараты, ядерные энергетиче­ские установки, химические комплексы и др.), таким образом, проблема надежности технических систем становится все более актуальной.

Несмотря на разнообразие литературы по теории надежности, испытывается недостаток в учебных пособиях, которые могут быть рекомендованы студентам, обучающимся по специальностям направления «Безопасность жизнедеятельности». В качестве примера можно упомянуть как библиографическую редкость изданный в 1988 г. учебник по теории надежности Э. Дж. Хенли и Х. Кумамото в переводе В. С. Сыромятникова и Г. С. Деминой, а также
изданный в 1972 г. сборник задач по теории надежности под редакцией
А. М. Половко и И. М. Маликова.

Предлагаемое учебное пособие призвано восполнить недостаток в учебной литературе. Замысел авторов состоял в том, чтобы теоретический материал дополнялся примерами решения задач и примерами анализа и количественной оценки надежности и риска технических систем.

Целью данной работы является оказание помощи студентам в усвоении, систематизации и применении знаний в области надежности и техногенных рисков; издание может стать теоретической базой при выполнении контрольных и курсовых заданий, подготовке выпускных квалификационных работ, а также при решении технических и организационных задач по технической и промышленной безопасности.

Учебное пособие состоит из двух частей. Структура первой части подчинена логике и последовательности изучения общепрофессиональной дисциплины федерального компонента ГОС ВПО «Надежность технических систем и техногенный риск».

Первая глава знакомит читателя с краткой ис­торией развития теории надежности, с основными поня­тиями, классификацией и характеристиками отказов.

Во второй главе изложены основы теории вероятностей, являющейся неотъемлемой частью теории надеж­ности, особое внимание уделено определению вероятности с целью избавления от формулировок типа «вероятность чего-либо есть вероятность…».

Третья глава посвящена показателям безотказности невосстанавливаемых и восстанавливаемых объектов, в том числе экономическим и комплексным.

В четвертой главе представлены математические модели теории надежности, даны принципы определения надежности объектов в разные периоды их эксплуатации.

Пятая глава раскрывает содержание основных принципов структурно-логического анализа технических систем. Большое внимание уделено методам расчета и анализа надежности различных типов сложных систем.

В шестой главе рассмотрены методы повышения надежности технических систем, а также классификация методов резервирования.

Седьмая глава посвящена опасностям технических систем и способам защиты от них. Приведены критерии выбора методов анализа риска, опасностей, видов отказов, последствий отказов. Дана оценка влияния человеческого фактора на надежность систем.

В восьмой главе подробно описано построение «дерева неисправностей», сочетающего в себе количественные и качественные приемы анализа надежности технической системы.

В девятой главе даны характеристики методов анализа и расчета риска в неразрывной связи с оценкой надежности.

Десятая глава раскрывает содержание задач прогнозирования аварий и катастроф. Приведены сведения о формировании номенклатуры и организации ведения статистики аварий и катастроф.

Одиннадцатая глава описывает методы организации и сертификации работ по обеспечению надежности, показывает цели и задачи аварийного реагирования и аварийной подготовленности.

Ряд глав учебного пособия дополнен контрольными вопросами и зада­чами.

В части второй пособия изложены примеры и практические рекомендации по решению задач, связанных с анализом надежности и риска различных технических систем; приведены разработанные авторами контрольные задания с вариантами исходных данных. В приложениях ко второй части содержится информация об интенсивностях отказов элементов.

1. История и перспективы развития
теории надежности

1.1. История развития научно-технического направления
«надёжность»

Теория надёжности появилась в начале ХХ в. как результат научно-технического прогресса. Объектами исследования являются закономерности возникновения отказов объектов, технологические приёмы восстановления их работоспособности. Рассматриваются происходящие в объектах процессы, разрабатываются методы расчёта надёжности технических объектов, методы прогнозирования отказов. Выбираются способы увеличения надёжности при проектировании и эксплуатации объектов, а также способы сохранения надёжности при эксплуатации. Определяются методы сбора, учёта и анализа статистических данных, характеризующих надёжность.

Математической основой теории надёжности являются теория вероятностей и математическая статистика, математическая логика, теория случайных процессов, теория массового обслуживания, теория информации, теория планирования эксперимента и другие математические дисциплины.

В истории развития теории надежности выделяют три периода. С первой четверти до начала 60-х годов ХХ в. (период становления науки) надежность оценивалась по числу зафиксированных отказов. По статистике отказов входящих в систему элементов определялись значения интенсивности отказов, затем выполнялись расчёты надёжности. Такой подход развивался в связи с решением проблемы надежности в радиоэлектронике и автоматике. В числе авторов работ, связанных с теорией надежности, Н. Ф. Хоциалов (механические системы), A. M. Берг, Н. Г. Бруевич (радиоэлектроника и автоматика), Б. В. Гнеденко, Ю. К. Беляев (математические вопросы теории надежности) и др., а также известные зарубежные авторы – Г. Майер, Дж. Нейман, К. Шеннон, А. Пирс.

В 60-е годы XX в. (второй период) стали учитывать влияние функциональных связей между элементами системы, влияние на отказы эксплуатационных факторов – температуры, среды, вибраций, электрической нагрузки и пр.
В результате накоплен богатый статистический материал, обобщённый теоретически.

Во второй половине 70-х годов (третий период) усилия учёных направлены на решение задач прогнозирования надёжности объектов и оценки надёжности сложных систем. Характерной особенностью периода стала глубина проникновения в физико-химические и статистические закономерности появления отказов в простых и сложных системах.

В современной теории надёжности выделяют направления: совершенствование конструктивных и технологических методов надёжности; обеспечение эксплуатационной надёжности.

Нормативной основой для развития указанных направлений являются международные и государственные стандарты, стандартные методики и программы обеспечения надёжности.

Открытие в 1985 г. Робертом Керлом, Гарольдом Крото и Ричардом Смоллифуллеренов явилось началом эпохи нанотехнологий. Новое аллотропное состояние углерода с его каркасной структурой, состоящей из пяти- и шестиугольных ячеек, с числом атомов от 36 до 540, расширило границы знания.
В 1991 г. С. Иидзима сообщил миру о существовании нанотрубок, в которых ячейки из образованных атомами углерода шестиугольников соединены в трубки диаметром до одного нанометра и длиной до нескольких десятков микрометров. Развитие области знаний о наномире неизбежно приведет к изменению понятия «надёжность». Это предположение основано на результатах оценки перспектив создания революционных технологий – программируемых матриц механосинтеза, которые делают возможным массовое производство с атомарной точностью любой материальной структуры [67].

1.2. основные понятия и определения
теории надёжности

Основные понятия теории надёжности установлены стандартом [7].

Надёжность – свойство объекта сохранять во времени в установленных пределах значения всех параметров, характеризующих способность выполнять требуемые функции в заданных режимах и условиях применения, технического обслуживания, ремонта, хранения и транспортирования.

Надёжность является сложной характеристикой, сочетающей свойства безотказности, долговечности, ремонтопригодности и сохраняемости.

Одно из самых важных свойств надёжности элементов и систем –безотказность:

– означает свойство объекта находиться в работоспособном состоянии в течение некоторого времени;

– относится к режиму эксплуатации объекта;

– подразумевает исключение учёта перерывов в работе объекта (плановых и неплановых);

– показывает техническое состояние объекта: исправность, неисправность, работоспособность, неработоспособность, дефект, повреждение и отказ; каждое из этих состояний описывается совокупностью значений параметров объекта и качественных признаков; номенклатура этих параметров и признаков, а также пределы их допустимых изменений устанавливаются нормативной документацией на объект.

Согласно [7], безотказность – свойство объекта непрерывно сохранять работоспособное состояние в течение некоторого времени или наработки.

Долговечность–свойство объектов сохранять работоспособность до наступления предельного состояния при установленной системе технического обслуживания и ремонта.

Ремонтопригодность – свойство приспособленности объекта: а) к предупреждению и обнаружению причин отказов, повреждений; б) к поддержанию и восстановлению работоспособного состояния путем проведения технического обслуживания и ремонтов.

Свойством ремонтопригодности обусловлено деление объектов на восстанавливаемые и невосстанавливаемые. Это деление условно и зависит от рассматриваемой ситуации.

Сохраняемость –свойствообъекта сохранять состояние безотказности, ремонтопригодности и долговечности:

а) в течение (после) срока хранения;

б) при транспортировании.

Предметом анализа надёжности являются состояния отказа и работоспособности объекта.

Объект – техническое изделие определенного целевого назначения, рассматриваемое в периоды проектирования, производства, испытаний и эксплуатации.

Понятием изделиеобозначается единица продукции, выпускаемой данным предприятием.

В зависимости от условий выполняемой задачи один и тот же технический объект может называться системой или элементом.

Система – объект, в котором различаются взаимозависимые части, объединенные одной задачей. Система представляет собой совокупность элементов, связанных определенными отношениями и взаимодействующих таким образом, чтобы обеспечить выполнение системой некоторой достаточно сложной
функции.

Элемент – ограниченный объект, являющийся частью другого объекта.

Связь понятий «система» и «элемент»относительна, так как любой объект может быть системой в одних условиях и элементом – в других. Например, производящий энергию объект является системой, но в объединении подобных объектов он становится элементом.

Исправность – состояние объекта, при котором он соответствует всем требованиям нормативно-технической документации и (или) конструкторской (проектной) документации.

Неисправность – состояние объекта, при котором он не соответствует хотя бы одному из требований нормативно-технической документации и (или) конструкторской (проектной) документации.

Работоспособность – состояние объекта, при котором значения всех параметров, характеризующих способность выполнять заданные функции, соответствуют требованиям нормативно-технической документации и (или) конструкторской (проектной) документации.

Неработоспособность – состояние объекта, при котором значение хотя бы одного заданного параметра, характеризующего способность выполнять заданные функции, не соответствует требованиям нормативно-технической документации и (или) конструкторской (проектной) документации.

Работоспособность и неработоспособность в общем случае могут быть полными или частичными. Полностью работоспособный объект обеспечивает в определённых условиях максимальную эффективность его применения.

Предельное состояние – такое состояние объекта, при котором его дальнейшая эксплуатация недопустима или нецелесообразна либо восстановление его работоспособного состояния недопустимо или нецелесообразно.

Критерии предельного состояния – признаки, устанавливаемые в нормативно-технической и конструкторской документации.

Дефект (по ГОСТ 15467–79) – событие, при котором нарушается исправное состояние объекта, но сохраняется его работоспособность.

Повреждение – событие, заключающееся в нарушении исправного состояния при сохранении работоспособного состояния.

Отказ–событие, заключающееся в нарушении работоспособного состояния объекта.

В результате повреждений или отказов происходят переходы объектов из одних состояний в другие. При этом границы между состояниями условны и определяются значениями параметров, а также условиями работы объектов. Объекты, работоспособные в одних условиях, могут оказаться неработоспособными в других, оставаясь исправными.

К числу важнейших относится понятие «наработка». Его содержание и параметры будут рассмотрены в главе 3.

Классификация и характеристики отказов

При возникновении отказов в технической системе происходит следующее: изменяется характер работы, появляются внешние признаки отказов и зависимость от отказов других систем, уменьшается возможность дальнейшего полноценного использования системы, появляется необходимость оценить возможность устранения отказов, характер устранения основных параметров отказов, определить причины возникновения отказов и др.

Содержание происходящих изменений:

1. Характер работы после возникновения отказов:

– параметрический отказ происходит вследствие превышения пределов допустимого изменения рабочего параметра. Продолжение эксплуатации машины, имеющей такой отказ, может привести к выпуску некачественной продукции или к снижению эффективности работы машины (например, к потере точности металлорежущего станка). Более того, в сложных машинах и системах параметрические отказы элементов могут привести к отказу функциониро­вания;

– отказ функционирования (функциональный) наступает из-за прекращения выполнения объектом его основных функций, дальнейшая эксплуатация возможна только после ремонта.

2. Внешние признаки отказов:

– явный (очевидный) отказ – непосредственно воспринимается органами чувств или средствами контроля;

– неявный (скрытый) отказ – тот, для обнаружения которого требуется выполнение специальных операций контроля.

3. Зависимость от отказов других объектов:

– независимым называется отказ, не обусловленный отказом другого
объекта;

– зависимый отказ обусловлен отказом другого объекта.

4. Возможность дальнейшего использования объектов:

– полный отказ – прекращение объектом выполнения всех функций;

– частичный отказ – выполнение некоторых функций.

5. Возможность устранения отказов:

– устранимый отказ – такой, причины которого известны и могут быть устранены, что исключает их возникновение вновь для изделия данного вида;

– неустранимый отказ – такой, причины которого неизвестны или не могут быть устранены для изделия данного вида.

6. Характер устранения отказов:

– устойчивый отказ – требующий проведения специальной работы;

– самоустраняющийся отказ – кратковременное нарушение работоспособности;

– сбой – отказ, не нарушающий работоспособности объекта, приводящий к кратковременной потере или искажению полезной информации в системе;

– перемежающийся отказ – многократно возникающий самоустраняющийся отказ объекта, имеющий один и тот же характер.

7. Характер изменения основных параметров отказов:

– внезапный отказ – появляющийся при скачкообразном изменении значений одного или нескольких параметров объекта;

– постепенный отказ – связан с медленным изменением значений параметров объекта;

– систематический отказ – многократно повторяющийся однородный по определенным признакам отказ, появляющийся вследствие недостатков конструкции, процесса изготовления и т. д.

8. Причины возникновения отказов:

– конструкционный отказ – возникающий из-за недостатков конструкции;

– производственный (технологический) отказ – следствие ошибок, нарушений и несовершенства технологии;

– эксплуатационный отказ – следствие нарушений правил эксплуатации.

9. Значимость отказов:

– критический отказ – такой, при котором возникает угроза человеку или окружающей среде;

– существенный отказ – такой, при котором ухудшение эксплуатационных характеристик или полная непригодность объекта к эксплуатации не приводят к опасности для человека;

– несущественный отказ – такой, который имеет незначительные последствия, вызывающие недовольство.

10. Время возникновения отказов:

– приработочный отказ – появляется в начальный период эксплуа­тации;

– отказ при нормальной эксплуатации;

– отказ вследствие износа – появляется в заключительный период эксплуатации.

Вариант классификации отказов представлен на рис. 1.1.

Рис. 1.1. Классификация отказов

Контрольные вопросы

1. Назовите основные этапы становления надёжности как науки.

2. В чем заключается понятие надёжности как свойства объекта?

3. Дайте определения основных состояний и событий, которыми характеризуется надёжность.

4. В чем общность и отличия состояний «исправность» и «работоспособность» объекта?

5. При каких условиях наступает предельное состояние объекта?

6. Какими могут быть объекты по пригодности к восстановлению работоспособного состояния?

7. Какими могут быть отказы по типу и природе происхождения?

8. По каким признакам классифицируют отказы?

9. Дайте определения свойств (составляющих) надёжности.

10. Перечислите и поясните показатели долговечности.

2. КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ
ОСНОВ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Основные понятия и определения

Испытанием (опытом) называется одно из сколь угодно большого числа раз воспроизводимого определённого перечня (состава) условий.

Событие – совокупность явлений, происходящих в результате испы­тания.

Если событие происходит неизбежно в результате каждого испытания, оно называется достоверным.

Если событие не может произойти, оно называется невозможным.

Множество возможных при данном испытании и связанных с ним событий называется полем событий, а события этого поля – случайными событиями.

Случайное событие – всякий факт (исход), который может произойти или не произойти.

Выборкой называется небольшая часть некоторого множества объектов, отобранная наугад. При этом отобранные объекты правильно отражают качества и свойства элементов множества, что достигается в результате тщательного предварительного перемешивания (диспергирования) свойств. Отбор каждого элемента выборки является испытанием и завершается соответствующим событием.

Выборка с возвращением – при последовательном выборе шаров из урны после каждого выбора взятый шар возвращается в урну.

Выборка без возвращения – из урны выбирается некоторое количество шаров без возвращения.

Пусть n – число элементов выборки от 1 до n. Осуществление выборки представляет собой поле событий

А₁, А₂,…, А_n, (2.1)

где А_n – отбор n-го элемента, а события поля равновозможны.

События поля могут быть элементарными и сложными. Сложному событию А_n{n₁, n₂, …, n_k}, где n₁< n₂<…< n_k – номера элементарных событий, составляющих сложное, соответствует появление событий с номерами n₁, или n₂, или n_k. Здесь каждому событию А_n соответствует некоторое количество (или подмножество) элементарных событий.

Говорят, что событие А влечёт за собой событие В (из А следует В), если при наступлении А неизбежно наступление В.

Если из А следует В и одновременно из В следует А, то события А и В эквивалентны, или А = В.

Каждое событие поля представляет собой подмножество некоторых событий из множества (А₁, А₂,…, А_n). Например, событие В, состоящее в появлении номеров 2, 5, 7, принято обозначать В{2, 5, 7}. Его записывают как логическую сумму

В = А₂+ А₅+ А₇, (2.2)

где «+» равнозначен союзу «или».

В данном случае можно событие В представить как сумму двух событий

В = {2, 5} + {7}

или В = (А₂+ А₅) + А₇. (2.3)

Событие В является также суммой несовместных событий, так как события {2, 5} и {7} не могут произойти в одном испытании. Совместными являются события {1, 2, 3, 4} и {4, 5, 6, 7}, они наступают вместе в тех испытаниях,
в которых появляется номер 4. Сумма {1, 2, 3} + {1, 2} тождественна событию {1, 2, 3}.

Сумма любых двух событий поля есть событие того же поля.

Полю всегда принадлежит достоверное событие S{1, 2, … n},заключающееся в том, что выбирается один из номеров от 1 до n. События «–n»,…,
«–1»,0, n+1 невозможны и обозначаются («не А»).

События А и – взаимно дополнительны или противоположны, если они несовместны и составляют в сумме достоверное событие, т. е. достоверно то, что наступит А или .

Под произведением событий А₁, А₂,…, А_n понимается одновременное наступление их всех, т. е. когда А₁,и А₂, и … и А_n наступают вместе.

Произведением двух событий С {1, 2, 3, 4} и D{2, 4, 6, 8} является событие Е = СD = {2, 4}.

Случайной называется величина, которая может принять какое-либо неизвестное заранее возможное значение, зависящее от случайных факторов, не поддающихся учету (обозначается ).

Случайные величины могут быть прерывными (дискретными) и непрерывными.

Прерывными (дискретными) называются величины, которые принимают отделённые друг от друга значения.

Непрерывными называются величины, возможные значения которых заполняют непрерывно некоторый конечный или бесконечный промежуток (ресурс).

Относительная частота.Пусть проводится серия из N испытаний в одинаковых условиях. Если интересующее нас событие, например А,произошло раз, то отношение

(2.4)

называется относительной частотой появления события А в данной серии испытаний. Очевидным является то, что

, (2.5)

для невозможного события, для достоверного события.

Вероятность.Каждому из событий можно поставить в соответствие
определенное число, называемое его вероятностью Р = Р(«А»)или
Q = Р(«не А»)и являющееся мерой возможного совершения этого события.

Вероятность есть численная мера, характеристика возможности появления события в диапазоне значений 0…1.

. (2.6)

Вероятность достоверного события равна единице

. (2.7)

Вероятность противоположного события дополняет вероятность данного события до единицы

, (2.8)

где А и – противоположные события.

Вероятность невозможного события равна нулю

. (2.9)

Сумма вероятностей несовместных событий, составляющих полную группу, равна единице

, (2.10)

где А₁, А₂, … А_n – несовместные события, составляющие достоверное событие (полную группу событий).

Классическое определение вероятности: вероятность события А есть отношение числа m благоприятствующих этому событию исходов к общему числу n всех возможных элементарных несовместных и равновозможных исходов испытания.

. (2.11)

В большой серии испытаний относительная частота (А) приближается к вероятности P(А).