Усеченное нормальное распределение

Усеченным нормальным распределением называется распределение, получаемое из классического нормального при ограничении интервала возможных значений наработки до отказа.

Известно, что корректность использования классического нормального распределения наработки достигается при Т ≥ 3S.

При малых значениях Т и большом S может возникать ситуация, когда функция f(t) «покрывает» своей левой ветвью область отрицательных наработок (рис. 4.7).

Рис. 4.7. Функция плотности вероятности усеченного нормального распределения

Таким образом, нормальное распределение, являясь общим случаем распределения случайной величины в диапазоне (–∞; +∞), лишь в частности (при определенных условиях) может быть использовано для моделей надёжности.

В общем случае усечение может быть:

левым – (0; +∞),

двусторонним – (t₁, t₂).

Для рассмотрения количественных характеристик надёжности при усеченном нормальном распределении вводится нормирующий множитель, чтобы сохранить условие нормирования плотности вероятности:

, (4.19)

где

, (4.20)

откуда

(4.21)

Переходя от случайной величины Т = {t} к величине X = {x}

x₂ = (t₂ –Т)/S , x₁ = (t₁ – Т)/S ,

получают

,

откуда

(4.22)

где Ф(х) – интеграл Лапласа.

.

Усеченный нормальный закон распределения применяется для описания постепенных отказов объектов, что характерно для «стареющих» объектов.

Поскольку [Ф(x₂)–Ф(x₁)] < 1, то c > 1, поэтому f₁(t) > f₂(t). Здесь f₁(t) – функция плотности распределения отказов для нормального закона распределения, f₂(t) – функция плотности распределения отказов для усеченного нормального закона распределения. Кривая f₁(t) выше, чем f₂(t), так как площади под кривыми f₁(t) и f₂(t) одинаковы и равны 1 (рис. 4.8):

(с погрешностью ≤ 1 %).

Рис. 4.8. Функция плотности распределения отказов
для нормального закона распределения f₁(t) и функция плотности распределения отказов
для усеченного нормального закона распределения f₂(t)

1. Почему распределение Гаусса называется нормальным?

2. Поясните влияние параметров распределения: математического ожидания и дисперсии по виду кривой плотности распределения отказов.

3. При каких условиях правильно использовать классическое нормальное распределение, а при каких – усечённое нормальное распределение?

Логарифмически нормальное распределение

При логарифмически нормальном распределении нормально распределенным является логарифм (lg t) случайной величины Т, а не сама эта вели­чина.

Это распределение обеспечивает более точное, чем нормальное распределение, описание наработки до отказа тех объектов, у которых отказ возникает вследствие усталости, например подшипников качения, электронных ламп и пр.

Оно используется при обработке опытных данных об усталостной долговечности металлов, времени безотказной работы некоторых объектов.

Логарифмически нормальное распределение позволяет описывать течение времени безотказной работы объектов, имеющих свойство «упрочняться» по ходу времени эксплуатации. «Упрочнение» проявляется в постепенном уменьшении скорости износа.

Плотность распределения выражается зависимостью

. (4.23)

Параметры m и S по результатам N испытаний принимаются:

, (4.24)

(4.25)

Вероятность безотказной работы можно определить по таблице нормального распределения (см. табл. 4.2) в зависимости от значения квантили:

. (4.26)

Математическое ожидание наработки до отказа:

. (4.27)

Среднее квадратическое отклонение

. (4.28)

Графики изменения показателей надежности при логарифмически нормальном распределении приведены на рис. 4.9.

Рис. 4.9. Графики функций показателей безотказности
при логарифмически нормальном распределении

Гамма-распределение

Гамма-распределение времени безотказной работы описывает схему непрерывного, постепенного износа, при котором отказ не наступает вследствие первого же повреждения, а является следствием накопления повреждений. Каждое из этих повреждений происходит по схеме мгновенного повреждения.

Граничными условиями применения гамма-распределения являются следующие:

– средняя скорость износа устройства постоянна;

– средняя скорость износа подвержена случайным вариациям;

– начальное качество исследуемых устройств полно­стью однородно.

Случайная величина наработки до отказа T имеет гамма-распределение с параметрами α (масштабный параметр) и β (параметр формы), где , > 0, причём – целое число, если функция плотности распределения описывается выражением:

, (4.29)

где Г( ) = ( – 1)! – гамма-функция Эйлера.

Очевидно, что при = 1 выражение (4.29) упрощается до вида , соответствующего экспоненциальному распределению.

Гамма-распределение наиболее хорошо описывает распределение суммы независимых случайных величин, каждая из которых распределена по экспоненциальному закону.

При больших значениях гамма-распределение сходится к нормальному распределению с параметрами: , .

Графики изменения показателей надежности при гамма-распределении приведены на рис. 4.10.

Числовые характеристики наработки до отказа:

– средняя наработка (математическое ожидание наработки) до отказа

,(4.30)

– дисперсия наработки до отказа

. (4.31)

Рис. 4.10. Графики изменения показателей надежности при гамма-распределении

4.3.5. Распределение Вейбулла–Гнеденко

Распределение Вейбулла–Гнеденко довольно универсально, охватывает путем варьирования параметров широкий диапазон случаев изменения вероятностей. Наряду с логарифмическим нормальным распределением оно удовлетворительно описывает наработку деталей по усталостным разрушениям, наработку до отказа подшипников, радиодеталей. Используется для оценки надежности деталей и узлов машин, в частности автомобилей, подъемно-транспортных и других машин. Применяется также для оценки надежности по приработочным отказам.

Распределение характеризуется следующей функцией вероятности безотказной работы:

. (4.32)

(Здесь t₀ – значение времени, при котором плотность вероятности максимальна, в теории вероятностей носит название мода).

Интенсивность отказов

. (4.33)

Плотность распределения

. (4.34)

Из формул (4.33) и (4.34) видно, что распределение Вейбулла – Гнеденко имеет два параметра: параметр формы m >1 и параметр масштаба t₀.

Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение рассчитываются соответственно по формулам:

, (4.35)

, (4.36)

где b_m и с_m – коэффициенты, выбираемые по табл. 4.3.

Таблица 4.3

Коэффициенты для расчёта параметров m_t и s_t

Параметр формы m	1/m	bm	сm	Коэффициент вариации
0,400	2,5	3,32	10,4	3,14
0,455	2,2	2,42	6,22	2,57
0,500	2,0	2,00	4,47	2,24
0,556	1,8	1,68	3,26	1,94
0,625	1,6	1,43	2,39	1,67
0,833	1,2	1,10	1,33	1,21
1,2	0,833	0,941	0,787	0,837
1,6	0,625	0,897	0,574	0,640
2,0	0,500	0,887	0,463	0,523
2,5	0,400	0,886	0,380	0,428

Возможность и универсальность распределения Вейбулла – Гнеденко видны из следующих пояснений (рис. 4.11).

Рис. 4.11. Основные характеристики распределения Вейбулла – Гнеденко при разных
параметрах m: а – плотность вероятности f(t); б – интенсивность отказов λ(t)

При m < 1 функции λ(t) и f(t) наработки до отказа убывающие.

При m = 1 распределение превращается в экспоненциальное, λ(t) = const
и f(t) – убывающая функция.

При m > 1 функция f(t) – одновершинная, функция λ(t) непрерывно возрастающая, при 1 < m < 2 – с выпуклостью вверх, а при m > 2 – с выпуклостью вниз.

При m = 2 функция λ(t) является линейной и распределение Вейбулла –Гнеденко превращается в распределение Рэлея.

При m = 3,3 распределение Вейбулла – Гнеденко близко к нормальному.

Кроме рассмотренных законов распределения, в качестве моделей надёжности объектов могут использоваться и другие, например распределение Рэлея, распределение Эрланга и т. д. [53].

Контрольные вопросы

1. Перечислить виды распределений, описывающих надёжность в период постепенных отказов.

2. Для описания надёжности каких объектов используется логарифмически нормальное распределение?

3. Какой из параметров в выражении плотности распределения отказов при гамма-распределении наработки является параметром формы, а какой –параметром масштаба?

4.4. Совместное действие внезапных
и постепенных отказов

Вероятность безотказной работы изделия за период t, если до этого оно проработало время Т, по теореме умножения вероятностей:

P(t) = P_в(t) · P_п(t) , (4.37)

где и – вероятности отсутствия внезапных и постепенных отказов соответственно.

, (4.38)

. (4.39)

На рис. 4.12 показаны вероятности отсутствия внезапных отказов и кривая вероятности безотказной работыпри совместном действии внезапных и постепенных отказов.

Рис. 4.12. Совместное действие внезапных и постепенных отказов

Вначале, когда интенсивность постепенных отказов низка, кривая P(t) соответствует кривой P_в(t), затем резко снижается.

4.5. Надёжность восстанавливаемых объектов.
Постановка задачи. Общая расчётная модель

При расчёте показателей надёжности восстанавливаемых объектов и систем наиболее распространено допущение:

– экспоненциальное распределение наработки между отказами;

– экспоненциальное распределение времени восстановления.

Допущение во многом справедливо, поскольку, во-первых, экспоненциальное распределение наработки описывает функционирование системы на участке нормальной эксплуатации, во-вторых, экспоненциальное распределение описывает процесс без «предыстории».

Применение экспоненциального распределения для описания процесса восстановления позволяет при независимых отказах представить анализируемые системы в виде марковских систем.

При экспоненциальном распределении наработки между отказами и времени восстановления расчёт надёжности производится методом дифференциальных уравнений для вероятностей состояний (уравнений Колмогорова –Чепмена).

Случайный процесс в какой-либо физической системе S называется марковским (рис. 4.13), если он обладает следующим свойством: для любого момента t₀ вероятность состояния системы в будущем (t > t₀) зависит только от состояния в настоящем (t = t₀) и не зависит от того, когда и каким образом система пришла в это состояние (иначе: при фиксированном настоящем будущее не зависит от предыстории процесса – прошлого).

t < t₀ t > t₀

Рис. 4.13. Состояние системы

Для марковского процесса «будущее» зависит от «прошлого» только через «настоящее», т. е. будущее протекание процесса зависит только от тех прошедших событий, которые повлияли на состояние процесса в настоящий
момент.

Марковский процесс, как процесс без последействия, не означает полной независимости от прошлого, поскольку оно проявляется в настоящем.

В общем случае для системы S необходимо иметь математическую модель в виде множества состояний системы S₁, S₂, … , S_n, в которых она может находиться при отказах и восстановлениях элементов.

Для рассмотрения принципа составления модели введены допущения:

– отказавшие элементы системы (или сам рассматриваемый объект) немедленно восстанавливаются (начало восстановления совпадает с моментом отказа);

– отсутствуют ограничения на число восстановлений;

– если все потоки событий, переводящих систему (объект) из состояния в состояние, являются пуассоновскими (простейшими), то случайный процесс переходов будет марковским процессом с непрерывным временем и дискретными состояниями S₁, S₂, … , S_n .

Основные правила составления модели:

1. Модель изображают в виде графа состояний.

Элементы графа:

а) кружки (вершины графа S₁, S₂, … , S_n) – возможные состояния системы S, возникающие при отказах элементов; б) стрелки – возможные направления переходов из одного состояния S_i в другое S_j.

Над/под стрелками указываются интенсивности переходов.

Рис. 4.14. Примеры графа: S₀ – работоспособное состояние; S₁ – состояние отказа

«Петлей» обозначаются задержки в том или ином состоянии S₀ и S₁, а именно:

S₀– исправное состояние продолжается;

S₁– состояние отказа продолжается (в дальнейшем петли на графах не рассматривают).

Граф состояний отражает конечное (дискретное) число возможных состояний системы S₁, S₂, …, S_n. Каждая из вершин графа соответствует одному из состояний.

2. Для описания случайного процесса перехода состояний (отказ/восста­новле­ние) применяют вероятности состояний P₁(t), P₂(t), … , P_i(t), … , P_n(t), где P_i(t) – вероятность нахождения системы в момент t в i-м состоянии, т. е. P_i(t) = P{S(t) = S_i}.

Очевидно, что для любого t

. (4.40)

3. По графу состояний составляется система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка (уравнений Колмогорова – Чепмена), име­ю­щих вид:

. (4.41)

Рис. 4.15. Граф состояний

В общем случае интенсивности потоков λ_ij и μ_ij могут зависеть от вре-мени t.

При составлении дифференциальных уравнений пользуются простым мнемоническим правилом:

а) в левой части записывается производная по времени t от P_i(t);

б) в правой части число членов равно числу стрелок, соединяющих рассматриваемое состояние с другими состояниями;

в) каждый член правой части равен произведению интенсивности перехода на вероятность того состояния, из которого выходит стрелка;

г) знак произведения положителен, если стрелка входит (направлена острием) в рассматриваемое состояние, и отрицателен, если стрелка выходит из него.

Проверкой правильности составления уравнений является равенство нулю суммы правых частей уравнений.

4. Чтобы решить систему дифференциальных уравнений для вероятностей состояний P₁(t), P₂(t), …, P_i(t), …, P_n(t), необходимо задать начальное значение вероятностей P₁(0), P₂(t), …, P_i(0), …, P_n(0); при t = 0 их сумма равна единице:

.

Если в начальный момент t = 0 состояние системы известно, например, S(t = 0) = S_i, то P_i(0) = 1, а остальные равны нулю.