Сравнение статистики падения самолетов-снарядов

С соответствующим распределением Пуассона

Оценку надежности производственных установок и различ­ной аппаратуры, а также обслуживания персоналом можно провести с использованием биномиального распределения подсчетом вероятности частоты r успешных событий (на­пример, пусков и т. п.) при их общем числе п. Доверительный интервал для фактической вероятности Р_T определяется урав­нением

,

где – биномиальные коэффициенты;Р – нижняя граница искомой надежности Р_Т; α – достоверность то­го, что фактическая вероятность Р_Т находится в интервале Р...1.

Значения вероятности Р_Т при достоверности α = 0,8 приведены в табл. 10.5 для трех значений п.

Таблица 10.5

Вероятность успешных (безаварийных) событий с достоверностью 0,8
при различных значениях r

Примеры оценки риска аварий

Пример 10.1.На объекте за 20 лет произошло 4 аварии, т. е. среднее число аварий равно λ = 4 / 20 = 0,2 лет^–1. Тогда за период τ = 2 года две аварии
(N = 2) могут произойти с вероятностью Q[(2; 0,2 · 2)] = 0,4² exp(–0,4)/2! = 0,054,
а одна авария – с вероятностью Q(1; 0,4) = 0,227.

Вероятность безаварийного функционирования объекта Q(0; λτ) в течение двух лет равна Q(0; 0,4) = ехр(–0,4) = 0,67, а в течение одного года Q(0;0,2) =
= ехр(–0,2) = 0,82, т. е. риск аварийных ситуаций за двухлетний период составит 1–0,67 = 0,33, а за один год – 0,18.

Пример 10.2. Средняя скорость износа агрегата с взрывоопасным энерго­носителем λ = 0,02 ч^–1. Предельное число элементарных повреждений τ = 6.
Агрегат функционирует 3 ч в сутки. Определим риск аварий в те­чение недели.

За указанный срок время работы агрегата Т = 7 · 3 = 21 ч, λТ = 0,42.
По формуле (10.9) оценка величины риска:

R(0,42) = 1 – exp(–0,42)(1 + 0,42 + 0,42²/2 + 0,42³/6 + 0,42⁴/24 + 0,42⁵/120) =
= 5,33 ·10^–6.

10.8. Примеры определения вероятности
безотказной работы технической системы

Источником техногенной ЧС на промышленном объекте, как правило, бывает отказ технической системы или элемента системы, конструктивные ошибки.

Обычно неработоспособным называют состояние объекта, при котором нельзя эксплуатировать объект. Следует считать неработоспособным объект, когда он не может выполнять своё назначение по соображениям безопасности (например, обрыв одной пряди троса).

Количественный анализ риска включает в себя оценку многочисленных факторов, однако основой или началом анализа стоит считать количественную оценку отказа системы или объекта.

Количественная оценка отказов показателями надежности не может характеризовать риск отказа промышленного объекта в полной мере. Количественный анализ отказов не учитывает влияния человеческого фактора (трудовая и технологическая дисциплина, организация управления и т. д.). При количественной оценке риска, проводимой в рамках декларирования и экспертизы промышленной безопасности опасных производственных объектов (ОПО), важно соблюдать единство подходов при использовании основных показателей риска аварии. Итоги декларирования промышленной безопаснос­ти ОПО показывают, что результаты анализа риска аварии представляются не всегда достаточно четко и определенно.

Пример 10.3. Выполняется количественная оценка аварии на ОПО. Аварии на ОПО обычно анализируют, рассматривая случайную величину потерь (ущербов) Y ≥ 0. потери Y разделяют на материальные – G (непрерывная случайная величина) и людские – N (дискретная случайная величи­на).

дискретная случайная величина людских потерь N при аварии на ОПО может иметь значения 0, п₁, п₂,..., п_k. Каждому из значений величины N соответствует некоторая вероятность p₀, p₁, р₂, …,p_k.

Закон распределенияслучайной величи­ны записан в виде таблицы:

ni	0	n1	n2	… ns …	nk
Pi		p1	p2	… ps …	pk

есть вероятность безаварийной эксплуатации ОПО.

Исходные данные изображаются в виде многоугольника распределения. Пример многоугольника случайной величины N для типичного ОПО представлен на рис. 10.3.

Непрерывные случайные величины задаются функцией распределения F(y),равной вероятности Р того, что случайная величина Y примет значение меньше у:

F(y) = P(Y< y). (10.10)

В практике анализа риска чаще исполь­зуют характеристику случайной величины потерь

(10.11)

(10.12)

– интегральная функция распределения потерь при аварии на ОПО (F/Y – кривая). Пример графического изображения интеграль­ной функции распределения потерь персонала при аварии (F / N – кривая) для многоугольника распре­деления, представленного на рис. 10.3, показан на рис. 10.4.

1.Е - 05

8 11

Р₁ 1

4 17 19

1.Е - 06 2 20

27 100

3 10 15

1.Е - 07

1. Е - 08 1 10 100 n_i, чел.

Рис. 10.3. Многоугольник распределения числа погибших
при аварии на нефтеперекачивающей станции с резервуарным парком

1 - F(n)

2.0E - 05

1.5E - 05

1.0E - 05

5.1E - 05

1.0E - 07

1 10 100 n, чел.

Рис. 10.4. Интегральная функция распределения числа погибших при аварии
на нефтеперекачивающей станции с резервуарным парком (F/N-кривая).
В зависимости от вида потерь – людских или материальных – ее называют
F/N-кривой (диаграммой) или F/G-кривой

основные свойства интегральной функции распределения потерь следующие:

1.

Интегральная функция распределения потерь есть невозрастающая функция с неотрицательной областью определения своего аргумента у Î [0, +¥), т. е. при у₂ > у₁.

2.

На плюс бесконечности интегральная функция распределения потерь равна нулю.

3. При нулевом аргументе интегральная функ­ция распределения потерь принимает значе­ние, равное единице.

4. Интегральная функция распределения люд­ских потерь есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точ­ках, соответствующих возможным значениям случайной величины N,и равны вероятностям этих значений. Сумма всех скачков равна единице.

5.

Вероятность попадания случайной величины на заданный участок
a £ Y < b (a и b – грани­цы участка) равна модулю приращения интегральной функции распределения на этом участке.

При g = 1 значение интегральной функции распределе­ния потерь нефти ,например, для линейной части магистральных нефтепроводов равно вероятности за год аварии с разливом более 1 т нефти. Значение F/N-кривой при n = 1 чел. равно вероятности несчастного случая со смертельным исходом, связанного с аварией на ОПО.

Необходимо отметить, что для события «отказ технического устройства» в теории надежности, например [64], в качестве характеристики используется дискретная случайная величина Х или, в более общем случае, слуайная величина Т – момент времени наступления отказа, принимающая значения Х = 1 при наступлении отказа за определенное время или Х = 0, если отказ не наступил.

Если объектом внимания является событие, относящееся к крупным нежелательным последствиям в таких сложных системах, как банкротство компании или авария на ОПО, то анализ проводится путем рассмотрения случайной величины потерь или ущербов как результата деятельности. При этом в области промышленной безопасности является случайной величиной потерь от аварии на ОПО, а применяемые согласно [19] определения количественных показателей риска аварии (индивидуальный, коллективный и социальный риски, ожидаемый ущерб) являются собственно характеристиками случайной величины потерь Y при аварии.

Несколько обособлено определение «потенциальный территориальный риск», характеризующее случайное событие как возникновение факторов,
достаточных для поражения человека, и оцениваемое диcкретной величиной
D = 1, если за определенное время событие происходит, и D = 0, если не происходит.

Приводится формула (10.6) в развернутом виде для более удобного построения F/N-кривых.

1,

… …

, y_s–1 < y ≤ y_s . (10.13)

… …

P_k , y_k–1 < y < y _,,

0, y_k < y < ∞ .

из формул (10.11)и (10.13)следует, что никакие точки, обозначающие отдельные события, не могут лежать выше F/Y-кривой.

Функция плотности распределения (плотность вероят­ности) для непрерывной случайной величины материаль­ных потерь при аварии G:

(10.14)

Рассматриваются основные числовые характеристики случайных величин. Математическое ожидание, мода, медиана и дисперсия характеризуют положение и разброс значений случай­ной величины на числовой оси.

Математическое ожидание дискретной случайной величины N определяется как

(10.15)

Если ввести в рассмотрение случайную величину числа рискующих попасть в аварию U, то можно записать общее выражение среднего группового индивидуального риска R_инд как математическое ожидание частного случайных величин N и U:

(10.16)

где К_{N / U} – корреляционный момент случайных величин N и 1/U.

В частном случае при U = const:

(10.17)

где u – общее число людей, подвергающихся риску.

Математическое ожидание непрерывной случайной величины G (ожидаемый ущерб) определяется как

(10.18)

Полный ожидаемый вред/ущерб от аварии определяется как математическое ожидание случайной величины, определяемой как коллективным риском, так и ожидаемым ущербом:

(10.19)

где Н – стоимостная оценка человеческой жизни.

Дисперсия случайной величины Y – математическое ожидание квадрата соответствующей центрированной величины .

Таким образом, при анализе риска необходимо учитывать следующие рекомендации и выводы:

1) при количественной оценке риска аварии ОПО задача максимум – определить полный ряд распреде­ления рассматриваемых случайных величин X, D и N, построить F/Y-кривые или функцию плотности вероятности потерь G от аварии, а задача минимум – построить репрезентативный статистический ряд Y и оценить основные числовые характеристики случайных величин материальных G и людских N потерь – математическое ожидание, моду и диспер­сию;

2) использование более полного набора достоверных количественных показателей позволяет более обоснованно оценивать риск аварии и, соответствен­но, предлагать рекомендации, направ­ленные на обеспечение промышленной безопас­ности ОПО;

3) применение в промышленности новых технологий, использование нетрадиционных технических решений не предполагает быстрого получения достаточного числа статистически достоверных данных по аварийности, а также безотказности эксплуатируемого оборудования. Расчеты вероятности аварийных ситуаций, как правило, необходимы для сравнительного анализа различных вариантов, обоснования и оптимизации предлагаемых мер безопасности.

Контрольные вопросы

1. Применение распределения Пуассона для оценки риска аварий.

2. Как можно оценить степень риска поражения людей и нанесения ущер­ба при авариях?

3. С помощью каких величин анализируют аварии на ОПО?

Обеспечение надежности