Пиши Дома Нужные Работы

Обратная связь

Показатели надёжности восстанавливаемых объектов

Все состояния системы S можно разделить на подмножества:

SК S – подмножество состояний j = , в которых система работоспособна (читается «SК принадлежит S»);

SM S – подмножество состояний z = , в которых система неработоспособна;

S = SK SM (читается «SК или SM», «SК дизъюнкция SM»);

SK SM = 0 (читается «SК и SM», «SК конъюнкция SM»).

1. Функция готовности Г(t) системы определяет вероятность нахождения системы в работоспособном состоянии в момент t:

, (4.42)

где – вероятность нахождения системы в работоспособном j-м состоянии;

– вероятность нахождения системы в неработоспособном z-м сос­тоянии.

2. Функция простоя П(t) системы:

. (4.43)

3. Коэффициент готовности kг.с системы определяется при установившемся режиме эксплуатации (при t ∞). При t ∞ устанавливается предельный стационарный режим, в ходе которого система переходит из состояния в состояние, но вероятности состояний уже не меняются:

; .

Коэффициент готовности kг.с можно рассчитать по системе (4.41) дифференциальных уравнений, приравнивая нулю их левые части dPi (t) / dt = 0, так как Pi = const при t ∞. Тогда система уравнений (4.41) превращается в систему алгебраических уравнений вида:

, (4.44)

и коэффициент готовности

(4.45)

есть предельное значение функции готовности при установившемся режиме t→∞.

4. Параметр потока отказов системы:

, (4.46)

где λjz – интенсивности (обобщенное обозначение) переходов из работоспособного состояния в неработоспособное.

5. Функция потока отказов:

. (4.47)

6. Средняя наработка между отказами на интервале t:

. (4.48)

Примечание: при t → ∞, когда Pj(t = ∞) = Pj() = Pj, средняя наработка между отказами T0= kг.с / μ, где µ() = µ.



В качестве примера вычисления показателей надежности рассмотрен восстанавливаемый объект, у которого поток отказов простейший (пуассоновский) с параметром потока

μ = λ= 1/ T , (4.49)

а распределение времени восстановления подчиняется экспоненциальному распределению с интенсивностью восстановления

μ = 1/ TВ ,(4.50)

где T – средняя наработка между отказами; TВ – среднее время восстановления.

S0
μ
S1
λ
Состояния элемента: S0 – работоспособное; S1 – неработоспособное
(рис. 4.16); Р0(t) – вероятность работоспособного состояния при t; P1(t) – вероятность неработоспособного состояния при t.

 

 

S0
S11  
µ
λ

 

 


Рис. 4.16. Граф состояний восстанавливаемого объекта

 

Система дифференциальных уравнений:

(4.51)

Начальные условия: при t = 0 P0(t = 0) = P0(0) = 1; P1(0) = 0.

Поскольку состояния S0и S1представляют полную группу событий, то

P0(t) + P1(t) = 1. (4.52)

Путём выражения P0(t) = 1 – P1(t) и подстановки в (4.51) получено одно дифференциальное уравнение относительно P1(t):

dP1(t)/dt = λ(1 – P1(t)) – μP1(t). (4.53)

Решение уравнения производится с использованием преобразования Лапласа. Преобразование Лапласа для вероятностей состояния Pi(t):

,

где Pi(S) = L{Pi(t)} – изображение вероятности Pi(t).

Преобразование Лапласа для производной dPi(t)/dt:

.

После применения преобразования Лапласа к левой и правой частям уравнения получено уравнение изображений:

где L{λ} = λ L{1} = λ / S.

При P1(0) = 0

SP1(S) + P1(S)(λ + μ) = λ / S,

P1(S)(S + λ + μ) = λ / S.

Преобразованием приведенных соотношений получено выражение вероятности нахождения объекта в неработоспособном состоянии:

. (4.54)

Введение обозначения λ + μ = а позволяет преобразовать правую часть выражения (4.54):

.

Применяя обратное преобразование Лапласа, с учётом L{f(t)} = 1/S,
а также f(t) = 1; L{f(t)} = 1/(S + a), получают f(t) = eat, после чего находят вероятность пребывания объекта в неработоспособном состоянии в виде выражения:

. (4.55)

Тогда вероятность нахождения в работоспособном состоянии
P0(t) = 1 – P1(t) равна:

. (4.56)

С помощью полученных выражений можно рассчитать вероятность работоспособного состояния и отказа восстанавливаемого объекта в любой мо- мент t.

Коэффициент готовности системы kг.с определяется при установившемся режиме t ∞, при этом Pi(t) = Pi = const, поэтому составляется система алгебраических уравнений с нулевыми левыми частями, поскольку dPi(t)/dt = 0.

Так как kг.с есть вероятность того, что система окажется работоспособной в момент t при t ∞, то из полученной системы уравнений определяется

P0 = kг.с .

При t ∞ алгебраические уравнения имеют вид:

(4.57)

Дополнительное уравнение: P0 + P1 = 1.


При P1 = 1 – P0 получается 0 = λP0 – μ(1 – P0), или μ = P0(λ + μ),

откуда

(4.58)

Остальные показатели надежности восстанавливаемого элемента:

– функция готовности Г(t) = P0(t);

– функция простоя П(t) = 1 – Г(t) = P1(t);

– параметр потока отказов µ(t) = λP0(t) = λГ(t),

при t ∞ (стационарный установившийся режим восстановления)

µ (t) = µ () = µ = λP0 = λkг.с ;

– ведущая функция потока отказов

– средняя наработка между отказами t0= kг.с / μ = kг.с /kг = 1/λ.

Метод дифференциальных уравнений может быть использован для расчёта показателей надёжности и невосстанавливаемых объектов (систем).

В этом случае неработоспособные состояния системы являются «поглощающими» и интенсивности λ выхода из этих состояний исключаются.

Для невосстанавливаемого объекта граф состояний имеет вид (рис. 4.17):

 

S0
S1
«поглощающее» состояние μ = 0

 

Рис. 4.17. Граф состояний невосстанавливаемого объекта

 

Система дифференциальных уравнений для данного объекта:

Начальные условия: P0 (0) = 1; P1(0) = 0.

Изображение по Лапласу первого уравнения системы:

;

.

После группировки: ;

,

откуда .

Используя обратное преобразование Лапласа, получают

.






ТОП 5 статей:
Экономическая сущность инвестиций - Экономическая сущность инвестиций – долгосрочные вложения экономических ресурсов сроком более 1 года для получения прибыли путем...
Тема: Федеральный закон от 26.07.2006 N 135-ФЗ - На основании изучения ФЗ № 135, дайте максимально короткое определение следующих понятий с указанием статей и пунктов закона...
Сущность, функции и виды управления в телекоммуникациях - Цели достигаются с помощью различных принципов, функций и методов социально-экономического менеджмента...
Схема построения базисных индексов - Индекс (лат. INDEX – указатель, показатель) - относительная величина, показывающая, во сколько раз уровень изучаемого явления...
Тема 11. Международное космическое право - Правовой режим космического пространства и небесных тел. Принципы деятельности государств по исследованию...



©2015- 2021 pdnr.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.