Нормальный закон распределения наработки до отказа

Нормальное распределение вероятности безотказной работы описывает схему длительного «естественного» старения (постепенные отказы). В этом случае отказы являются следствием накопления повреждений:

– при постоянной скорости износа;

– однородном начальном качестве объектов.

При таких начальных условиях большая часть отказов наблюдается в течение конечного периода работы объекта.

Нормальное распределение, или распределение Гаусса, является наиболее универсальным, удобным и широко применимым.

Распределение всегда подчиняется нормальному закону, если на изменение случайной величины оказывают влияние многие примерно равнозначные факторы.

Нормальному распределению подчиняются наработка до отказа многих восстанавливаемых и невосстанавливаемых изделий, размеры, ошибки измерения деталей и т. д.

Плотность распределения отказов описывается формулой

. (4.9)

Распределение имеет два независимых параметра: математическое ожидание m_t и среднее квадратическое отклонение S.

, (4.10)

. (4.11)

Графики изменения показателей безотказности при нормальном распределении приведены на рис. 4.5.

Выясним смысл параметров Т и S нормального распределения. Из графика f(t) видно, что Т является центром симметрии распределения, поскольку при изменении знака разности (t – Т) выражение (4.9) не меняется. При t = Т функция f(t) достигает своего максимума:

. (4.12)

Рис. 4.5. Графики функций показателей безотказности при нормальном распределении

Параметр S характеризует форму кривой f(t), т. е. рассеивание случайной величины T. Кривая плотности распределения f(t) тем выше и острее, чем меньше S. Она начинается от t = –∞ и распространяется до t = ∞. Это не является существенным недостатком, если T ≥ 3S, так как площадь, очерченная уходящими в бесконечность ветвями кривой плотности, очень мала. Так, вероятность отказа за период времени до Т = –3S составляет всего 0,135 % и обычно не учитывается в расчетах. Наибольшая ордината кривой плотности распределения равна 0,399/S (рис. 4.6).

а) б)

Рис. 4.6. Функция плотности вероятности (а) и интегральная функция
вероятности нормального распределения (б)

Вероятность отказа при таком распределении определяется интегральной функцией

. (4.13)

Вероятность безотказной работы

, (4.14)

. (4.15)

Вычисление интегралов заменяют использованием таблиц значений P(t) в зависимости от квантили нормированного нормального распределения
(табл. 4.2):

. (4.16)

Помимо прямой задачи, т. е. оценки вероятности безотказной работы за данную наработку, зачастую требует решения обратное определение наработки, соответствующей заданной вероятности безотказной работы.

Значение этой наработки определяют также с помощью квантили:

(4.17)

Таблица 4.2

Нормальное распределение

Применение нормального закона ограничено, если мала вероятность отрицательных значений времени безотказной работы, заданная в виде:

. (4.18)

Если вероятность отрицательных значений времени безотказной работы оказывается достаточно большой величиной, то нормальное распределение для расчетов надёжности использовать нельзя. В этом случае переходят к логарифмически нормальному распределению вероятности безотказной работы.

При большем разбросе значений случайной величины T область возможных значений ограничивается слева (0, ∞) и используется усеченное нормальное распределение.

Все рассмотренные далее законы распределения наработки до отказа используются на практике для описания надёжности «стареющих» объектов, подверженных отказам вследствие износа.