Пиши Дома Нужные Работы

Обратная связь

Нормальный закон распределения наработки до отказа

Нормальное распределение вероятности безотказной работы описывает схему длительного «естественного» старения (постепенные отказы). В этом случае отказы являются следствием накопления повреждений:

– при постоянной скорости износа;

– однородном начальном качестве объектов.

При таких начальных условиях большая часть отказов наблюдается в течение конечного периода работы объекта.

Нормальное распределение, или распределение Гаусса, является наиболее универсальным, удобным и широко применимым.

Распределение всегда подчиняется нормальному закону, если на изменение случайной величины оказывают влияние многие примерно равнозначные факторы.

Нормальному распределению подчиняются наработка до отказа многих восстанавливаемых и невосстанавливаемых изделий, размеры, ошибки измерения деталей и т. д.

Плотность распределения отказов описывается формулой

. (4.9)

Распределение имеет два независимых параметра: математическое ожидание mt и среднее квадратическое отклонение S.

, (4.10)

. (4.11)

Графики изменения показателей безотказности при нормальном распределении приведены на рис. 4.5.

Выясним смысл параметров Т и S нормального распределения. Из графика f(t) видно, что Т является центром симметрии распределения, поскольку при изменении знака разности (t – Т) выражение (4.9) не меняется. При t = Т функция f(t) достигает своего максимума:

. (4.12)

f(t) λ(t)
λ(t)
P(t)
f(t)
t

 


Рис. 4.5. Графики функций показателей безотказности при нормальном распределении

Параметр S характеризует форму кривой f(t), т. е. рассеивание случайной величины T. Кривая плотности распределения f(t) тем выше и острее, чем меньше S. Она начинается от t = –∞ и распространяется до t = ∞. Это не является существенным недостатком, если T ≥ 3S, так как площадь, очерченная уходящими в бесконечность ветвями кривой плотности, очень мала. Так, вероятность отказа за период времени до Т = –3S составляет всего 0,135 % и обычно не учитывается в расчетах. Наибольшая ордината кривой плотности распределения равна 0,399/S (рис. 4.6).



 

f(t)
    0,399/S S S < S1 S1
3S 2S S 0 S 2S 3S t
P(t)
S S < S1   S1     S1
0 3S2SS 0 S 2S 3S t

 

 


а) б)

Рис. 4.6. Функция плотности вероятности (а) и интегральная функция
вероятности нормального распределения (б)

 

Вероятность отказа при таком распределении определяется интегральной функцией

. (4.13)

Вероятность безотказной работы

, (4.14)

. (4.15)

Вычисление интегралов заменяют использованием таблиц значений P(t) в зависимости от квантили нормированного нормального распределения
(табл. 4.2):

. (4.16)

Помимо прямой задачи, т. е. оценки вероятности безотказной работы за данную наработку, зачастую требует решения обратное определение наработки, соответствующей заданной вероятности безотказной работы.

Значение этой наработки определяют также с помощью квантили:

(4.17)

Таблица 4.2

Нормальное распределение

Квантиль Up Вероятность безотказной работы P(t) Квантиль Up Вероятность безотказной работы P(t)
0,0 0,5000 –1,282 0,9000
–0,1 0,5398 –1,400 0,9192
–0,2 0,5793 –1,600 0,9452
–0,3 0,6179 –1,800 0,9641
–0,4 0,6552 –2,000 0,9772
–0,5 0,6915 –2,200 0,9861
–0,6 0,7257 –2,236 0,9900
–0,7 0,7580 –2,500 0,9938
–0,8 0,7881 –3,090 0,9990
–0,9 0,8159 –3,500 0,9998
–1,0 0,8413 –3,719 0,9999

 

Применение нормального закона ограничено, если мала вероятность отрицательных значений времени безотказной работы, заданная в виде:

. (4.18)

Если вероятность отрицательных значений времени безотказной работы оказывается достаточно большой величиной, то нормальное распределение для расчетов надёжности использовать нельзя. В этом случае переходят к логарифмически нормальному распределению вероятности безотказной работы.

При большем разбросе значений случайной величины T область возможных значений ограничивается слева (0, ∞) и используется усеченное нормальное распределение.

Все рассмотренные далее законы распределения наработки до отказа используются на практике для описания надёжности «стареющих» объектов, подверженных отказам вследствие износа.






ТОП 5 статей:
Экономическая сущность инвестиций - Экономическая сущность инвестиций – долгосрочные вложения экономических ресурсов сроком более 1 года для получения прибыли путем...
Тема: Федеральный закон от 26.07.2006 N 135-ФЗ - На основании изучения ФЗ № 135, дайте максимально короткое определение следующих понятий с указанием статей и пунктов закона...
Сущность, функции и виды управления в телекоммуникациях - Цели достигаются с помощью различных принципов, функций и методов социально-экономического менеджмента...
Схема построения базисных индексов - Индекс (лат. INDEX – указатель, показатель) - относительная величина, показывающая, во сколько раз уровень изучаемого явления...
Тема 11. Международное космическое право - Правовой режим космического пространства и небесных тел. Принципы деятельности государств по исследованию...



©2015- 2021 pdnr.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.