|
|
Расчёт структурной надёжности системПоказатели надёжности ТС рассчитываются на основании предположения, что система и любой её элемент могут находиться только в одном из двух возможных состояний – работоспособном и неработоспособном, и отказы элементов независимы. Состояние системы (работоспособное или неработоспособное) определяется состоянием элементов и их сочетанием. Поэтому теоретически возможно свести расчет безотказности любой ТС к перебору всех возможных комбинаций состояний элементов, определению вероятности каждого из них и сложению вероятностей работоспособных состояний системы. Такой метод (метод прямого перебора – см. п. 5.4) практически универсален и может использоваться при расчете любых ТС. Однако при большом количестве элементов системы n такой путь становится нереальным из-за большого объема вычислений (например, при n = 10 число возможных состояний системы составляет 5.5.1. Системы типа «m из n» Систему типа«m из n» можно рассматривать как вариант системы с параллельным соединением элементов, отказ которой произойдет, если из n элементов, соединенных параллельно, работоспособными окажутся менее m элементов (m < n). Для расчёта надёжности систем типа «m из n» при сравнительно небольшом количестве элементов можно воспользоваться методом прямого перебора. Например, рассматривается система «2 из 5» (рис. 5.7), которая работоспособна, если из пяти её элементов работают любые два, три, четыре или все пять (на схеме пунктиром обведены функционально необходимые два элемента, причем выделение элементов 1 и 2 произведено условно, в действительности все пять элементовравнозначны).
Рис. 5.7. Система «2 из 5»
работоспособность такой системы определяется количеством работоспособных элементов. Все состояния системы «2 из 5» занесены в табл. 5.2 (в таблице работоспособные состояния элементов и системы отмечены знаком «+», неработоспособные – знаком «–»). вероятность любого состояния ТС определяется по теореме умножения вероятностей как произведение вероятностей состояний, в которых пребывают элементы. С учётом всех возможных состояний вероятность безотказной работы системы может быть найдена по теореме сложения вероятностей всех работоспособных сочетаний. Удобнее вычислить вероятность отказа системы, так как количество неработоспособных состояний меньше, чем работоспособных. Для этого суммируются вероятности неработоспособных состояний.
(5.13)
Тогда вероятность безотказной работы системы
Расчёт надёжности системы «m из n» может производиться комбинаторным методом при использовании биномиального распределения. Случайная величина называется биномиально распределенной с параметрами n и p, если возможные значения 0,1,…, n она принимает с вероятностями P (n, k), задаваемыми формулой
где
Так как для отказа системы «m из n» достаточно, чтобы количество работоспособных элементов было меньше m, вероятность отказа может быть найдена по теореме сложения вероятностей для k = 0, 1, ... (m – 1):
Аналогичным образом можно вычислить вероятность безотказной работы как сумму (5.15) для k = m, m + 1, ... , n:
Зная, что P + Q = 1, в расчётах следует выбирать ту из формул (5.17), (5.18), которая в данном случае содержит меньшее число слагаемых. Для системы «2 из 5» (рис. 5.7) по формуле (5.18) получается:
Вероятность отказа той же системы по (5.17) составит:
Таблица 5.2 Таблица состояний системы «2 из 5»
В табл. 5.3 приведены формулы для расчёта вероятности безотказной работы систем типа «m из n» при m
Таблица 5.3 Формулы для расчета системы типа «m из n» при m
Мостиковые схемы Мостиковой структурой называется параллельное соединение последовательных цепочек элементов с диагональными элементами, включенными между узлами различных параллельных ветвей (рис. 5.8, а, б). Работоспособность такой системы зависит не только от количества отказавших элементов, но и от их положения в структурной схеме. При одновременном отказе элементов 1 и 4, или 2 и 5, или 2, 3 и 4 и т. д. схема (рис. 5.8) окажется неработоспособной.
а) б)
Рис. 5.8. Мостиковые схемы
Для элементовс равной надёжностью
Метод прямого перебора эффективен только при малом количестве элементов n, поскольку число состояний системы составляет При расчете мостиковых систем используется также метод логических схем с применением алгебры логики (булевой алгебры). Суть этого метода в составлении для ТС формулы алгебры логики, определяющей условие работоспособности системы. для каждого элемента и системы в целом рассматриваются два противоположных события – отказ и сохранение работоспособности.
Таблица 5.4 Таблица состояний мостиковой системы
Окончание табл. 5.4
Для составления логической схемы можно воспользоваться методами минимальных путей и минимальных сечений. Метод минимальных путей дает точное значение только для сравнительно простых систем с небольшим числом элементов. Для более сложных систем результат расчета является нижней границей вероятности безотказной работы. Метод минимальных сечений применяется для расчёта верхней границы вероятности безотказной работы системы. Метод минимальных путей для расчета вероятности безотказной работы рассматривается на примере простейшей мостиковой схемы (рис. 5.8, а). Минимальным путем называется последовательный набор работоспособных элементов системы, который обеспечивает её работоспособность, а отказ любого из них приводит к ее отказу. Минимальных путей в системе может быть несколько или один. система с последовательным соединением элементов (рис. 5.1) имеет только один минимальный путь, включающий все элементы. В системе с параллельным соединением (рис. 5.2) число минимальных путей совпадает с числом элементов и каждый путь включает один из них. Для мостиковой системы из пяти элементов (рис. 5.8, а) минимальных путей четыре: (элементы 1 и 4), (2 и 5), (1, 3 и 5), (2, 3 и 5). Логическая схема такой системы (рис. 5.9) составляется таким образом, чтобы все элементы каждого минимального пути были соединены друг с другом последовательно, а все минимальные пути – параллельно.
Рис. 5.9. Логическая схема Рис. 5.10. Логическая схема мостиковой системы по методу мостиковой системы по методу минимальных путей минимальных сечений
Затем для логической схемы составляется функция алгебры логики по общим правилам расчета вероятности безотказной работы, но вместо символов вероятностей безотказной работы элементов Рi и системы Р используются символы события (сохранения работоспособности элемента ai и системы А). Так, «отказ» логической схемы рис. 5.9 состоит в одновременном отказе всех четырех параллельных ветвей, а «безотказная работа» каждой ветви – в одновременной безотказной работе ее элементов. Последовательное соединение элементов логической схемы соответствует логическому умножению («И»),
В выражении (5.23) переменные а рассматриваются как булевы, т. е. могут принимать только два значения: 0 или 1. Тогда при возведении в любую степень k любая переменная a сохраняет свое значение:
Заменив в выражении (5.24) символы событий
Для системы равнонадёжных элементов ( Минимальным сечением называется набор неработоспособных элементов, отказ которых приводит к отказу системы, а восстановление работоспособности любого из них – к восстановлению работоспособности системы. Как минимальных путей, так и минимальных сечений может быть несколько. Очевидно, система с параллельным соединением элементов имеет только одно минимальное сечение, включающее все её элементы (восстановление любого восстановит работоспособность системы). В системе с последовательным соединением элементовчисло минимальных путей совпадает с числом элементов и каждое сечение включает один из них. В мостиковой системе (рис. 5.8, а) минимальных сечений четыре (элементы 1 и 2), (4 и 5), (1, 3 и 5), (2, 3 и 4). Логическая схема системы (рис. 5.9) составляется таким образом, чтобы все элементы каждого минимального сечения были соединены друг с другом параллельно, а все минимальные сечения – последовательно. Аналогично методу минимальных путей составляется функция алгебры логики. Безотказная работа логической системы (рис. 5.10) заключается в безотказной работе всех последовательных участков, а отказ каждого из них – в одновременном отказе всех параллельно включенных элементов. Так как схема метода минимальных сечений формулирует условия отказа системы, в ней последовательное соединение соответствует логическому «ИЛИ», а параллельное – логическому «И». Схема рис. 5.10 соответствует формулировке: система откажет, если откажут элементы 1 и 2, или 4 и 5, или 1, 3 и 5, или 2, 3 и 4. Функция алгебры логики запишется
После преобразований с использованием свойств булевых переменных выражение (5.26) приобретает форму (5.24), а после замены событий их вероятностями переходит в выражение (5.25). Таким образом, для мостиковой системы из пяти элементов верхняя и нижняя границы вероятности безотказной работы, полученные методами минимальных сечений и минимальных путей, совпали с точными значениями (5.22), полученными методом прямого перебора. Для сложных систем это может не произойти, поэтому методы минимальных путей и минимальных сечений следует применять совместно. При анализе надежности ТС можно воспользоваться методом разложения относительно особого элемента, основанным на известной в математической логике теореме о разложении функции логики по любому аргументу. Согласно этой теореме, можно записать:
где Для мостиковой схемы (рис. 5.8, а) в качестве особого целесообразно выбрать диагональный элемент 3. При
Рис. 5.11. Преобразование мостиковой схемы при абсолютно надежном (а)
Для преобразованных схем можно записать:
Тогда на основании формулы (5.27) получается:
Легко убедиться, что для равнонадёжных элементов формула (5.30) обращается в формулу (5.22). Этим методом можно воспользоваться и при разложении относительно нескольких «особых» элементов. Например, для двух элементов (i, j) выражение (5.27) примет вид:
Для мостиковой схемы (рис. 5.8, б) вероятность безотказной работы при разложении относительно диагональных элементов 3 и 6 определяется выражением (5.31):
Выражения для определения вероятности Контрольные вопросы 1. Назовите принцип расчета систем типа «m из n». 2. Какими методами рассчитываются мостиковые системы? 3. В чем сущность метода логических схем? Комбинированные системы При анализе комбинированной системы нужно разбить систему на простые подсистемы – группы элементов, методика расчета надёжности которых известна. Затем эти подсистемы в структурной схеме надежности заменяются элементами с вероятностями безотказной работы, равными вычисленным вероятностям безотказной работы этих подсистем. Такие действия нужно выполнять до тех пор, пока оставшиеся элементы не образуют структуру, методика расчёта надёжности которой также известна. В качестве примера рассматривается комбинированная система, представленная на рис. 5.12. Здесь элементы 5 и 7, 6 и 8 попарно образуют друг с другом последовательные соединения. Замена элементов 5 и 7, 6 и 8 соответственно элементами А, В позволяет выполнить расчёт надёжности по формулам
Рис. 5.12. Исходная система
Рис. 5.13. Преобразованная система Пример 5.1. Определить Рсист, если вероятности безотказной работы соответствующих элементов равны:
Решение: 1. Рассчитываются вероятности безотказной работы элементов А и В по формуле (5.1) последовательного соединения:
2. Рассчитывается вероятность безотказной работы элементов С по формулам (5.8), (5.9) параллельного соединения:
3. Для системы D – «2 из 3» вероятность безотказной работы рассчитывается по формуле (5.15):
4. Рассчитывается элемент Е по формуле (5.21):
5. Рассчитывается элемент F по формуле (5.1):
6. В преобразованной схеме (рис. 5.13, б) элементы 1, Е и F составляют
7. Вывод: систему можно считать недостаточно надёжной, так как Контрольные вопросы 1. Что называется комбинированной системой? Приведите пример. 2. Назовите принцип расчёта комбинированных систем. МЕТОДЫ ПОВЫШЕНИЯ НАДЕЖНОСТИ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ Резервирование Существенное снижение риска, достигаемое в результате повышения общей безопасности, возможно при комплексном подходе с учетом всех трех основных форм надежности системы: проектной надежности (закладываемой в проекте); производственной; операционной (эксплуатационной). Известны три основных пути повышения надежности: а) повышение надежности отдельных элементов системы; б) введение избыточности с целью повышения надежности; в) коренное изменение структуры и принципов функционирования отдельных элементов и системы в целом. Для достижения высокой надежности работы технических систем конструктивные, технологические и эксплуатационные мероприятия могут оказаться недостаточными, тогда применяется резервирование. Особенно это относится к системам, для которых повышением надежности элементов не удается достичь требуемой безотказности системы. Повышение надежности элементов на первый взгляд представляется наиболее простым приемом повышения надежности системы. Действительно, теоретически всегда можно указать такие характеристики надежности элементов, при которых вероятность безотказной работы системы удовлетворяла бы заданным требованиям. Однако практическая реализация такой высокой надежности элементов не всегда возможна. Рассмотрение методов обеспечения надежности элементов ТС является предметом специальных технологических и физико-химических дисциплин и выходит за рамки теории надежности. Однако высоконадежные элементы, как правило, имеют большие габариты, массу и стоимость. Изменение структуры системы с целью повышения надежности подразумевает два аспекта. Во-первых, это означает перестройку конструктивной или функциональной схемы ТС (структуры связей между составными элементами), изменение принципов функционирования отдельных частей системы (например, переход от аналоговой обработки сигналов к цифровой). Такого рода преобразования ТС возможны исключительно редко, так что этот прием, в общем, не решает проблемы надежности. Во-вторых, изменение структуры понимается как введение в ТС избыточных элементов, включающихся в работу при отказе основных. Применение дополнительных средств и возможностей с целью сохранения работоспособного состояния объекта при отказе одного или нескольких его элементов называется резервированием. Термин резервирование, введенный ГОСТ 27.002–89 [7], означает применение дополнительных средств и (или) возможностей с целью сохранения работоспособного состояния объекта при отказе одного или нескольких его элементов. Резервирование осуществляет принцип избыточности. Избыточность по ГОСТ 27.002–89 [7] – дополнительные средства и (или) возможности, приданные объекту сверх наименьшего числа необходимых для выполнения объектом заданных функций. Осуществление избыточности обеспечивает нормальное функционирование объекта после возникновения отказов его элементов. Работоспособность систем без резервирования требует высокой надежности всех элементов системы. В сложных технических устройствах без резервирования никогда не удается достичь высокой надежности, даже если использовать элементы с высокими показателями безотказности. Система с резервированием– это система с избыточностью элементов, Принцип резервирования подобен рассмотренному ранее параллельному соединению элементов (п. 5.3) и соединению типа «m из n» (п. 5.5.1), где за счет избыточности возможно обеспечение более высокой надежности системы, чем ее элементов. В системах с резервированием работоспособность обеспечивается до тех пор, пока для замены отказавших основных элементов имеются в наличии резервные. Различают следующие методы резервирования: по виду резервирования: структурное, временнóе, информационное, функциональное, нагрузочное; по способу соединения элементов системы: общее, раздельное, смешанное; по способу включения резервных элементов: постоянное, динамическое, в том числе резервирование замещением, скользящее, мажоритарное; по кратности резервирования: с целой кратностью, с дробной кратностью; по режиму работы резерва: нагруженный, облегченный, ненагруженный; по возможности восстановления: с восстановлением, без восстановления. При структурном резервировании в объект с наименьшим достаточным для выполнения требуемых функций количеством элементов вводятся дополнительные элементы. Основным считается элемент, необходимый для выполнения требуемых функций объектом без отказов. Резервный элемент функционально заменяет основной в случае отказа последнего. В ряде условий и режимов работы основной элемент может быть резервным. Резервируемый элемент – основной, для которого предназначается резервный элемент. Временное резервирование подразумевает использование запасов времени. Согласно начальным условиям, для выполнения заданных функций объекту отводится заведомо больше времени, чем необходимо. Резервы времени создаются, например, за счет интенсификации работы объекта. Информационное резервирование обеспечивается избытком информации. В каналах связи для этого одно и то же сообщение передается многократно, используются избыточные символы для отображения передаваемой информации и т. д. с целью уменьшения или устранения искажений. Функциональное резервирование осуществляется при выполнении заданных функций разными способами и техническими средствами (например, одновременное использование различных средств связи в системах управления). Оценку надежности в таких случаях ведут не по наработке на отказ, а по коэффициенту готовности и др. Нагрузочное резервирование – применение нагрузочных резервов с целью обеспечения оптимальной нагрузочной способности элементов. Если резервирование применено к системе в целом, то оно называется общим, если к одному или нескольким элементам – раздельным. Смешанное резервирование осуществляется при сочетании нескольких видов резервирования в одном объекте. Постоянное резервирование производится без изменения структуры объекта при возникновении отказа его элемента; при этом не требуется дополнительных переключающих устройств и не требуется время на переключение. Динамическое резервирование выполняется посредством изменения структуры объекта и, в свою очередь, подразделяется на несколько разновидностей: – резервирование замещением, при котором функции основного элемента передаются резервному только после отказа основного; – скользящее резервирование, при котором несколько основных элементов резервируются одним или несколькими резервными, каждый из которых может заменить любой основной; – мажоритарное резервирование, при котором используется «голосование», т. е. дополнительный (мажоритарный) логический элемент сравнивает сигналы, поступающие от элементов с одинаковыми функциями. При совпадении результатов сигналы передаются на выход. Важной характеристикой структурного резервирования является кратность резервирования – отношение числа резервных элементов к числу резервируемых ими основных элементов, выраженное несокращаемой дробью (типа 2 : 3; 4 : 2 и т. д.). Схемные обозначения различных способов резервирования показаны на рис. 6.1.
Рис. 6.1. Схемные обозначения различных способов резервирования: а – общее постоянное с целой кратностью; б – раздельное постоянное с целой кратностью; в – общее замещением с целой кратностью; г – раздельное замещением с целой |
|
= 1024, при n = 20 превышает 
, при n = 30 – 
). Поэтому на практике используют более эффективные и экономичные методы расчета, не связанные с большим объемом вычислений. Возможность применения таких методов связана со структурой ТС.
(5.14)
(5.15)
− биномиальный коэффициент, называемый «числом сочетаний по 
(5.16)
(5.17)
. (5.18)
(5.19)
(5.20)
n 
5.
(5.21)
(5.22)
. Например, для схемы на рис. 5.8, б их количество составит уже 
. Если рассматривать только сочетания, отвечающие работоспособному (или неработоспособному) состоянию системы в целом, то это упростит расчёт.
(5.23)
. На основе этого свойства формула, описыващая функцию алгебры логики (5.23), может быть преобразована к виду
(5.24)
их вероятностями 
, получим уравнение для определения вероятности безотказной работы системы
(5.25)
) выражение (5.25) легко преобразуется в формулу (5.22).
(5.26)
(5.27)
и 
– вероятности безотказной работы и отказа i-го элемента; 
и 
– вероятности работоспособного состояния системы при условии, что i-й элемент абсолютно надежен и что i-й элемент отказал.
мостиковая схема превращается в параллельно-последовательное соединение (рис. 5.11, а), а при 
– в последовательно-параллельное (рис. 5.11, б).
, (5.28)
. (5.29)
(5.30)
(5.31)
(5.32)
можно составить, выполнив предварительно преобразованные схемы (например, рис. 5.11, а, б).
;
.
,
.
.
.