Числовые характеристики случайных величин 1. Математическое ожидание – характеристика центра группирования случайных величин:
– для дискретных случайных величин
; (2.27)
– для непрерывных случайных величин
. (2.28)
2. Модой непрерывной случайной величины называется то её значение, в котором плотность вероятности наибольшая (т. М на рис. 2.4), М является точкой перегиба кривой.Модойдискретной случайной величины называется ее наиболее вероятное значение.
3. Медианой случайной величины Х называется такое её значение, для которого ограниченная кривой распределения площадь делится пополам (т. Ме на рис. 2.4). Площади справа и слева от медианы равны.Можно также определить медиану случайной величины X как такое ее значение Me, для которого P(X < Me) = P(X > Me). В случае симметричного модального распределения медиана совпадает с математическим ожиданием и модой.
4. Значение случайной величины, соответствующее заданной вероятности, называется квантилью. Квантиль при вероятности, равной 0,5, называется медианой.
5. Дисперсия есть сумма произведений квадратов разностей случайных величин и математических ожиданий:
– для дискретных случайных величин
; (2.29)
– для непрерывных случайных величин:
. (2.30)
6. Среднее квадратическое отклонение
. (2.31)
7. Коэффициент вариации:
, (2.32)
n (х) < 0,1 – малое значение коэффициента;
n (х) = 0,1…0,33 – среднее значение коэффициента;
n (х) > 0,33 – большое значение коэффициента.
Свойства математического ожидания:
М(ах) = аМ(х), а = const;
М(а + х) = а + М(х);
М(х ± у) = М(х)± М(у);
М(ху) = М(х) × М(у);
М(х2) = (М(х))2 + D(х).
Свойства дисперсии:
D(ах) = а2D(х), а = const;
D(а + х) = D(х);
D(х ± у) = D(х)± D(у);
D(х2) = М(х4) – [(М(х))2 + d(х)2].
Пример 2.1. Закон распределения случайной величины задан в виде таблицы:
Определить числовые характеристики случайных величин.
Решение:
М(х) = 1 · 0,3 + 2 · 0,5 + 5 · 0,2 = 2,3
D(х) = (1 – 2,3)2· 0,3 + (2 – 2,3)2 · 0,5 + (5 – 2,3)2 · 0,2 » 2
.
Пример 2.2. Функция распределения имеет вид:
Оценить количественно, что вероятность примет значение из диапазона (0,5; 1). Какова вероятность попадания случайной величины в диапазон (0,5; 1) при условии, что событие не появится?
Решение:
,
.
Контрольные вопросы и задачи
1. Почему надёжность необходимо рассматривать в вероятностном аспекте?
2. Как можно подсчитать вероятность безотказной работы через число отказавших объектов и общее число объектов?
3. Какими способами задаются случайные величины?
4. Перечислите и поясните основные теоремы вероятности.
5. Назовите следствия основных теорем теории вероятностей.
6. Закон распределения случайной величины задан в виде таблицы:
х
| –2
|
|
|
| Р(х)
| 0,2
| 0,1
| 0,4
| 0,3
|
Известно, что M(x) = 0.
Найти D(x), (x), ν(x), M(x2).
7. Функция распределения имеет вид:
Найти вероятность того, что вероятность примет значение из диапазона
(1/3; 2/3).
8. Прибор работает в двух режимах: «1» и «2». Режим «1» наблюдается в 60 % случаев, режим «2» – в 40 % случаев за время работы T. В режиме «1» прибор отказывает с вероятностью, равной 0,3, а в режиме «2» – с вероятностью 0,5. Определить вероятность отказа прибора за время T. Ответ: 0,38.
9. Прибор (рис. 2.5) состоит из трех блоков, которые независимо друг от друга могут отказать. Отказ каждого из блоков приводит к отказу всего прибора. Вероятность того, что за время T работы прибора откажет первый блок, равна 0,15, второй – 0,25, третий – 0,1. Найти вероятность того, что время T прибор проработает безотказно.
Ответ: 0,57375.
Рис. 2.5. Схема прибора
10. Прибор (рис. 2.6) состоит из двух блоков, дублирующих друг друга. Вероятность того, что время T каждый из блоков проработает безотказно, равна 0,9. Отказ прибора произойдет при отказе обоих блоков. Найти вероятность того, что время T прибор проработает безотказно.
Ответ: 0,99.
Рис. 2.6. Схема прибора
Показатели безотказности объекта
Предварительные сведения
Безотказность и другие свойства надёжности проявляются через случайные величины: наработку до отказа (наработку между отказами) и количество отказов за заданное время. Поэтому количественными характеристиками здесь выступают вероятностные переменные.
Наработка – продолжительность (объём) работы объекта. Измеряется в любых неубывающих величинах (единица времени, число циклов нагружений, километры пробега и т. п.). Объект может работать непрерывно (с учётом перерывов на ремонт) или с перерывами, не зависящими от технического состояния (в этом случае различают непрерывную и суммарную наработки).
Появление отказов не предопределено заранее, т. е. случайно, поэтому теория надежности основана на математическом аппарате теории вероятностей и математической статистики.
Для оценки надёжности проводятся эксплуатационные испытания значительного числа N элементов в течение времени t. Пусть к концу испытаний остается Nр работоспособных элементов и n отказавших.
Тогда относительное количество отказов:
. (3.1)
Вероятность безотказной работы оценивается относительным количеством работоспособных элементов:
. (3.2)
Вероятность безотказной работы (ВБР) означает, что в пределах заданной наработки отказ объекта не возникнет.
Так как безотказная работа и отказ – взаимно противоположные события, то сумма их вероятностей равна единице:
P(T) + Q(t) = 1,
=F(t).
F(t) есть интегральная функция распределения случайной наработки t.
Так как события, заключающиеся в том, что наступил или не наступил отказ к моменту наработки t, являются противоположными, то нетрудно убедиться, что P(t) является убывающей, а Q(t) – возрастающей функцией наработки (рис. 3.1).
Рис. 3.1. Изображения функций P(t) и Q(t)
Действительно: а) в момент начала испытаний (t = 0) число работоспособных объектов равно общему их числу N(t) = N(0) = N, а число отказавших – n(t) = n(0) = 0,
поэтому P(t) = P(0) = 1,а Q(t) = Q(0) = 0;
б) при наработке t, возрастающей до бесконечности (t ∞), все объекты, поставленные на испытания, откажут, т. е.
N(∞) = 0, а n(∞) = N, поэтому P(t) = P(∞) = 0,а Q(t) = Q(∞) = 1.
Вероятность безотказной работы есть количественная мера того, что случайная величина наработки до отказа T окажется не меньше некоторой заданной наработки t, если t ≥0:
P(t) = P{T ≥ t}. (3.3)
Очевидно, что Q(t) является функцией распределения случайной величины T и представляет собой вероятность того, что наработка до отказа окажется меньше некоторой заданной наработки t:
Q(t) = P{T < t}. (3.4)
Пример 3.1. Найти P(t) в интервале наработки [t, t + ∆t] при условии, что объект безотказно проработал до начала t интервала.
Решение:
Вероятность определяется посредством использования теоремы умножения вероятностей и выделения следующих событий:
A = {безотказная работа объекта до момента t};
B = {безотказная работа объекта в интервале ∆t};
C = A·B = {безотказная работа объекта до момента t + ∆t}.
Очевидно, что P(C) = P(A·B) = P(A)·P(B/A), поскольку события A и B будут зависимыми.
Условная вероятность P(B/A)представляет P(t, t + ∆t) в интервале [t, t + ∆t], поэтому
P(B / A) = P(t, t + ∆t) = P(C) / P(A) = P(t + ∆t) / P(t). (3.5)
Q(t) в интервале наработки [t, t + ∆t], с учётом (3.5), равна:
Q(t, t + ∆t) = 1 – P(t, t + ∆t) = [P(t ) – P(t + ∆t)] / P(t). (3.6)
Все изделия являются либо невосстанавливаемыми, либо восстанавливаемыми.
3.2. Показатели безотказности невосстанавливаемых объектов
Невосстанавливаемыми называются такие объекты, для которых восстановление работоспособного состояния не предусмотрено в нормативно-технической и (или) конструкторской (проектной) документации [7].
Если происходит отказ такого изделия, то выполняемая операция будет сорвана, и ее необходимо начинать вновь в том случае, если возможно устранение отказа.
К таким изделиям относятся как изделия однократного действия (ракеты, управляемые снаряды, искусственные спутники Земли, усилители системы подводной межконтинентальной связи и т. п.), так и изделия многократного действия (некоторые системы навигационного комплекса судового оборудования, системы ПВО, системы управления воздушным движением, системы управления химическими, металлургическими и другими ответственными производственными процессами и т. д.).
Для невосстанавливаемых объектов применяется понятие наработка до отказа (он же является и последним отказом).
В расчетах пользуются средней наработкой до отказа, определяемой в [7] как математическое ожидание наработки объекта до первого отказа.
Средняя наработка до отказа Т1 вычисляется по формуле
, (3.7)
где F(t) – функция распределения наработки до отказа;
Р(t) – вероятность безотказной работы;
f(t) – плотность распределения наработки до отказа.
Статистически средняя наработка до отказа определяется по формуле
, (3.8)
где N – число работоспособных объектов при t = 0;
– наработка до первого отказа каждого из объектов.
Длядифференцируемых функций распределения случайной величины определяется первая производная, называемая плотностью распределения (законом распределения) времени работы объекта до отказа:
. (3.9)
Другим важным показателем надежности является интенсивность отказов, котораясообщает, какая часть объектов выходит из строя в единицу времени относительно среднего числа исправно работающих объектов.
Интенсивность отказов как статистический параметр – отношение числа отказавших объектов в единицу времени к числу объектов, продолжающих безотказно работать в данный промежуток времени:
, (3.10)
где Δn(Δt)– число отказавших объектов за промежуток времени от (t –Δt / 2)до (t +Δt / 2),
, (3.11)
где Ni – 1 – число исправно работающих объектов в начале интервала Δt;
Ni – число исправно работающих объектов в конце интервала Δt.
Интенсивность отказов как вероятностный параметр – условная плотность вероятности возникновения отказа изделия при условии, что до рассматриваемого момента времени t отказ не возник [7]:
, (3.12)
где функции f(t) и λ(t) измеряются в часах в минус первой степени.
При интегрировании (3.12) получается:
. (3.13)
Величина λ(t)dt есть вероятность того, что элемент, безотказно проработавший в интервале наработки [0, t], откажет в интервале [t, t + dt].
Выражение (3.12), называемое основным законом надежности, позволяет установить временное изменение вероятности безотказной работы при любом характере изменения интенсивности отказов во времени.
В частном случае постоянства интенсивности отказов λ(t) = = const выражение (3.12) преобразуется в известное в теории вероятностей экспоненциальное распределение
Таким образом, для невосстанавливаемых объектов применяют показатели Р(t), Т1, f(t), λ(t).
F(t) – функция распределения наработки до отказа;
Р(t) – вероятность безотказной работы;
f(t) – плотность распределения наработки до отказа.
3.3. Показатели безотказности восстанавливаемых объектов
Восстанавливаемыми называются изделия, которые в процессе выполнения своих функций допускают ремонт. Если произойдет отказ такого изделия, то он вызовет прекращение функционирования изделия только на период устранения отказа. К таким изделиям относятся: телевизор, агрегат питания, станок, автомобиль, трактор и т. п.
Величина λ(t)dt есть вероятность того, что элемент, безотказно проработавший в интервале наработки [0, t], откажет в интервале [t, t + dt].
Для восстанавливаемых объектов применяется понятие наработка на отказ (наработка между двумя соседними во времени отказами). После каждого отказа производится восстановление работоспособного состояния.
Характеристикой безотказности случайной наработки Т является математическое ожидание, которое называется средней наработкой на отказ (между отказами) [7].
, (3.14)
где t – суммарная наработка; r(t) – число отказов, наступивших в течение этой наработки; М{r(t)} – математическое ожидание этого числа. В общем случае средняя наработка на отказ оказывается функцией t.
Статистическая оценка средней наработки на отказ Тесть величина, рассчитываемая по формуле
. (3.15)
В отличие от формулы (3.9) здесь r(t) – число отказов, фактически происшедших за суммарную наработку t.
Статистическая вероятность отказов
, (3.16)
где n(Dt) – количество отказов;
N – число взятых на испытания объектов.
Статистическая частота отказов
, (3.17)
где Dt – данный интервал времени.
Параметры работоспособности:
– вероятность безотказной работы Р(t);
– средняя наработка на отказ Т;
– параметр потока отказов μ(t);
– среднее время восстановления ТВ.
Параметр потока отказовμ(t)есть отношение математического ожидания числа отказов восстанавливаемого объекта за достаточно малую его наработку к значению этой наработки:
, (3.18)
где – математическое ожидание; – малый отрезок наработки; r(t) –число отказов, наступивших от начального момента времени до достижения наработки t; –число отказов на отрезке .
При расчетах и обработке экспериментальных данных применяют осредненный параметр потока отказов
,(3.19)
здесь – конечный отрезок времени, на котором определяется число отказов, причем . Для стационарного потока отказов параметры, определяемые по формулам, не зависят от t .
Cтатистическая оценка параметра потока отказов делается по формуле, которая аналогична формуле (3.19):
. (3.20)
Параметр потока отказов представляет собой плотность вероятности возникновения отказа восстанавливаемого объекта. Отказы объектов возникают в случайные моменты времени, и в течение заданного периода эксплуатации наблюдается поток отказов.
Существует множество математических моделей потоков отказов. Наиболее часто при решении задач надежности электроустановок используют простейший поток отказов – пуассоновский поток. Простейший поток отказов удовлетворяет одновременно трем условиям: стационарности, ординарности, отсутствия последствия.
Стационарность случайного процесса (времени возникновения отказов) означает, что на любом промежутке времени Δti вероятность возникновения n отказов зависит только от n и величины промежутка Δti, но не зависит от сдвига Δti по оси времени. Следовательно, при вероятность появления n отказов по всем интервалам составит
. (3.21)
Ординарностьслучайного процесса означает, что отказы являются событиями случайными и независимыми. Ординарность потока означает невозможность появления в один и тот же момент времени более одного отказа, т. е.
при n >1 . (3.22)
Отсутствие последствия означает, что вероятность наступления n отказов в течение промежутка Δti не зависит от того, сколько было отказов и как они распределялись до этого промежутка. Следовательно, факт отказа любого элемента в системе не приведет к изменению характеристик (работоспособности) других элементов системы, если даже система и отказала из-за какого-то элемента.
Опыт эксплуатации сложных технических систем показывает, что отказы элементов происходят мгновенно, и если старение элементов отсутствует (l = const), то поток отказов в системе можно считать простейшим.
Случайные события, образующие простейший поток, распределены по закону Пуассона:
при nі ³ 0, (3.23)
где – вероятность возникновения в течение времени t ровно n событий (отказов); l – параметр распределения, совпадающий с параметром потока событий.
Если в выражении (3.23) принять n = 0, то получится – вероятность безотказной работы объекта за время t при интенсивности отказов l = const. Нетрудно доказать, что если восстанавливаемый объект при отсутствии восстановления имеет характеристику l = const, то, придавая объекту восстанавливаемость, следует написать μ(t) = const; l = μ .
Это свойство широко используется в расчётах надёжности ремонтируемых устройств. Например, важнейшие показатели надежности оборудования электроустановок даются в предположении, что потоки отказов и восстановлений являются простейшими, когда и, соответственно,
. (3.24)
Среднее время восстановления :
, (3.25)
где n – число отказов объекта;
– время, затраченное на отыскание и устранение одного отказа.
Функция распределения:
, (3.26)
где – интенсивность восстановления работоспособности объекта; характеризует среднее число восстановлений ремонтируемого объекта в единицу времени,
. (3.27)
Интенсивность восстановления работоспособности объекта:
, (3.28)
, (3.29)
, (3.30)
, (3.31)
где n(t) – число восстановленных за время t объектов;
N – общее число отказавших объектов.
Вероятность безотказной работы восстанавливаемого объекта:
Pr (t) – количественная мера того, что объект в заданный момент времени будет работоспособен.
Событие А: объект работоспособен до момента времени t и работоспособен на участке времени Dt. Выражение для события А:
Р(t, t + Dt) = Р(t)Р(Dt) = Р(t)е –lt.
Событие В: объект вышел из строя к моменту времени t, но был восстановлен за период D t. Выражение для события В:
Р(t, t + Dt) = (1 – Р(t))(1 – е –lDt),
Р(t, t + Dt) = P(t) е –lDt + (1 – P(t))(1 – е –lDt) . (3.32)
Согласно формулам (3.9)–(3.13)
е –lDt = 1 – lВDt
преобразуется к виду:
1 – е –lDt = lВDt,
P(t, t + Dt) = P(t)(1 – lDt) + (1 – Р(t)),
lВ Dt = 1,
1 = P(t) – P(t)lDt + lВ Dt – P(t) lВ Dt,
,
,
.
Решение этого дифференциального уравнения имеет вид:
. (3.33)
Изображение функции Pr(t) восстанавливаемого изделия и функции P(t) невосстанавливаемого изделия представлено на рис. 3.2.
Надёжность восстанавливаемого Pr(t) изделия всегда выше надёжности невосстанавливаемого изделия P(t).
Пример 3.2. В результате наблюдения за работой редуктора было зарегистрировано 8 отказов, наработки ti составляют в сутках:18, 9, 14, 27, 16, 8, 14, 22.
P(t)
1
рис. 3.2. графики функции Pr(t)и P(t)
Определить наработку на отказ и вероятность его безотказной работы в пределах наработки Dt = 20 ч.
Решение:
суток,
,
.
|