Числовые характеристики случайных величин

1. Математическое ожидание – характеристика центра группирования случайных величин:

– для дискретных случайных величин

; (2.27)

– для непрерывных случайных величин

. (2.28)

2. Модой непрерывной случайной величины называется то её значение,
в котором плотность вероятности наибольшая (т. М на рис. 2.4), М является точкой перегиба кривой.Модойдискретной случайной величины называется ее наиболее вероятное значение.

3. Медианой случайной величины Х называется такое её значение, для которого ограниченная кривой распределения площадь делится пополам (т. Ме на рис. 2.4). Площади справа и слева от медианы равны.Можно также определить медиану случайной величины X как такое ее значение Me, для которого
P(X < Me) = P(X > Me). В случае симметричного модального распределения медиана совпадает с математическим ожиданием и модой.

4. Значение случайной величины, соответствующее заданной вероятности, называется квантилью. Квантиль при вероятности, равной 0,5, называется медианой.

5. Дисперсия есть сумма произведений квадратов разностей случайных величин и математических ожиданий:

– для дискретных случайных величин

; (2.29)

– для непрерывных случайных величин:

. (2.30)

6. Среднее квадратическое отклонение

. (2.31)

7. Коэффициент вариации:

, (2.32)

n (х) < 0,1 – малое значение коэффициента;

n (х) = 0,1…0,33 – среднее значение коэффициента;

n (х) > 0,33 – большое значение коэффициента.

Свойства математического ожидания:

М(ах) = аМ(х), а = const;

М(а + х) = а + М(х);

М(х ± у) = М(х)± М(у);

М(ху) = М(х) × М(у);

М(х²) = (М(х))² + D(х).

Свойства дисперсии:

D(ах) = а²D(х), а = const;

D(а + х) = D(х);

D(х ± у) = D(х)± D(у);

D(х²) = М(х⁴) – [(М(х))² + d(х)²].

Пример 2.1. Закон распределения случайной величины задан в виде таблицы:

Определить числовые характеристики случайных величин.

Решение:

М(х) = 1 · 0,3 + 2 · 0,5 + 5 · 0,2 = 2,3

D(х) = (1 – 2,3)²· 0,3 + (2 – 2,3)² · 0,5 + (5 – 2,3)² · 0,2 » 2

.

Пример 2.2. Функция распределения имеет вид:

Оценить количественно, что вероятность примет значение из диапазона (0,5; 1). Какова вероятность попадания случайной величины в диапазон (0,5; 1) при условии, что событие не появится?

Решение:

,

.

Контрольные вопросы и задачи

1. Почему надёжность необходимо рассматривать в вероятностном аспекте?

2. Как можно подсчитать вероятность безотказной работы через число отказавших объектов и общее число объектов?

3. Какими способами задаются случайные величины?

4. Перечислите и поясните основные теоремы вероятности.

5. Назовите следствия основных теорем теории вероятностей.

6. Закон распределения случайной величины задан в виде таблицы:

Известно, что M(x) = 0.

Найти D(x), (x), ν(x), M(x²).

7. Функция распределения имеет вид:

Найти вероятность того, что вероятность примет значение из диапазона

(¹/₃; ²/₃).

8. Прибор работает в двух режимах: «1» и «2». Режим «1» наблюдается в 60 % случаев, режим «2» – в 40 % случаев за время работы T. В режиме «1» прибор отказывает с вероятностью, равной 0,3, а в режиме «2» – с вероятностью 0,5. Определить вероятность отказа прибора за время T. Ответ: 0,38.

9. Прибор (рис. 2.5) состоит из трех блоков, которые независимо друг от друга могут отказать. Отказ каждого из блоков приводит к отказу всего прибора. Вероятность того, что за время T работы прибора откажет первый блок, равна 0,15, второй – 0,25, третий – 0,1. Найти вероятность того, что время T прибор проработает безотказно.

Ответ: 0,57375.

Рис. 2.5. Схема прибора

10. Прибор (рис. 2.6) состоит из двух блоков, дублирующих друг друга. Вероятность того, что время T каждый из блоков проработает безотказно, равна 0,9. Отказ прибора произойдет при отказе обоих блоков. Найти вероятность того, что время T прибор проработает безотказно.

Ответ: 0,99.

Рис. 2.6. Схема прибора

Показатели безотказности объекта

Предварительные сведения

Безотказность и другие свойства надёжности проявляются через случайные величины: наработку до отказа (наработку между отказами) и количество отказов за заданное время. Поэтому количественными характеристиками здесь выступают вероятностные переменные.

Наработка – продолжительность (объём) работы объекта. Измеряется в любых неубывающих величинах (единица времени, число циклов нагружений, километры пробега и т. п.). Объект может работать непрерывно (с учётом перерывов на ремонт) или с перерывами, не зависящими от технического состояния (в этом случае различают непрерывную и суммарную наработки).

Появление отказов не предопределено заранее, т. е. случайно, поэтому теория надежности основана на математическом аппарате теории вероятностей и математической статистики.

Для оценки надёжности проводятся эксплуатационные испытания значительного числа N элементов в течение времени t. Пусть к концу испытаний остается N_р работоспособных элементов и n отказавших.

Тогда относительное количество отказов:

. (3.1)

Вероятность безотказной работы оценивается относительным количеством работоспособных элементов:

. (3.2)

Вероятность безотказной работы (ВБР) означает, что в пределах заданной наработки отказ объекта не возникнет.

Так как безотказная работа и отказ – взаимно противоположные события, то сумма их вероятностей равна единице:

P(T) + Q(t) = 1,

=F(t).

F(t) есть интегральная функция распределения случайной наработки t.

Так как события, заключающиеся в том, что наступил или не наступил отказ к моменту наработки t, являются противоположными, то нетрудно убедиться, что P(t) является убывающей, а Q(t) – возрастающей функцией наработки (рис. 3.1).

Рис. 3.1. Изображения функций P(t) и Q(t)

Действительно: а) в момент начала испытаний (t = 0) число работоспособных объектов равно общему их числу N(t) = N(0) = N,
а число отказавших – n(t) = n(0) = 0,

поэтому P(t) = P(0) = 1,а Q(t) = Q(0) = 0;

б) при наработке t, возрастающей до бесконечности (t ∞), все объекты, поставленные на испытания, откажут, т. е.

N(∞) = 0, а n(∞) = N, поэтому P(t) = P(∞) = 0,а Q(t) = Q(∞) = 1.

Вероятность безотказной работы есть количественная мера того, что случайная величина наработки до отказа T окажется не меньше некоторой заданной наработки t, если t ≥0:

P(t) = P{T ≥ t}. (3.3)

Очевидно, что Q(t) является функцией распределения случайной величины T и представляет собой вероятность того, что наработка до отказа окажется меньше некоторой заданной наработки t:

Q(t) = P{T < t}. (3.4)

Пример 3.1. Найти P(t) в интервале наработки [t, t + ∆t] при условии, что объект безотказно проработал до начала t интервала.

Решение:

Вероятность определяется посредством использования теоремы умножения вероятностей и выделения следующих событий:

A = {безотказная работа объекта до момента t};

B = {безотказная работа объекта в интервале ∆t};

C = A·B = {безотказная работа объекта до момента t + ∆t}.

Очевидно, что P(C) = P(A·B) = P(A)·P(B/A), поскольку события A и B будут зависимыми.

Условная вероятность P(B/A)представляет P(t, t + ∆t) в интервале
[t, t + ∆t], поэтому

P(B / A) = P(t, t + ∆t) = P(C) / P(A) = P(t + ∆t) / P(t). (3.5)

Q(t) в интервале наработки [t, t + ∆t], с учётом (3.5), равна:

Q(t, t + ∆t) = 1 – P(t, t + ∆t) = [P(t ) – P(t + ∆t)] / P(t). (3.6)

Все изделия являются либо невосстанавливаемыми, либо восстанавливаемыми.

3.2. Показатели безотказности
невосстанавливаемых объектов

Невосстанавливаемыми называются такие объекты, для которых восстановление работоспособного состояния не предусмотрено в нормативно-техни­ческой и (или) конструкторской (проектной) документации [7].

Если происходит отказ такого изделия, то выполняемая операция будет сорвана, и ее необходи­мо начинать вновь в том случае, если возможно устранение отказа.

К таким изделиям относятся как изделия однократного действия (ракеты, управляемые снаряды, искусственные спутники Земли, усилители системы под­водной межконтинентальной связи и т. п.), так и изделия многократного действия (некоторые системы навигацион­ного комплекса судового оборудования, системы ПВО, системы управления воздушным движением, системы управления химическими, металлургическими и другими ответственными производственными процессами и т. д.).

Для невосстанавливаемых объектов применяется понятие наработка до отказа (он же является и последним отказом).

В расчетах пользуются средней наработкой до отказа, определяемой в [7] как математическое ожидание наработки объекта до первого отказа.

Средняя наработка до отказа Т₁ вычисляется по формуле

, (3.7)

где F(t) – функция распределения наработки до отказа;

Р(t) – вероятность безотказной работы;

f(t) – плотность распределения наработки до отказа.

Статистически средняя наработка до отказа определяется по формуле

, (3.8)

где N – число работоспособных объектов при t = 0;

– наработка до первого отказа каждого из объектов.

Длядифференцируемых функций распределения случайной величины определяется первая производная, называемая плотностью распределения
(законом распределения) времени работы объекта до отказа:

. (3.9)

Другим важным показателем надежности является интенсивность отказов, котораясообщает, какая часть объектов выходит из строя в единицу времени относительно среднего числа исправно работающих объектов.

Интенсивность отказов как статистический параметр – отношение числа отказавших объектов в единицу времени к числу объектов, продолжающих безотказно работать в данный промежуток времени:

, (3.10)

где Δn(Δt)– число отказавших объектов за промежуток времени от (t –Δt / 2)до (t +Δt / 2),

, (3.11)

где N_{i – 1} – число исправно работающих объектов в начале интервала Δt;

N_i – число исправно работающих объектов в конце интервала Δt.

Интенсивность отказов как вероятностный параметр – условная плотность вероятности возникновения отказа изделия при условии, что до рассматриваемого момента времени t отказ не возник [7]:

, (3.12)

где функции f(t) и λ(t) измеряются в часах в минус первой степени.

При интегрировании (3.12) получается:

. (3.13)

Величина λ(t)dt есть вероятность того, что элемент, безотказно проработавший в интервале наработки [0, t], откажет в интервале [t, t + dt].

Выражение (3.12), называемое основным законом надежности, позволяет установить временное изменение вероятности безотказной работы при любом характере изменения интенсивности отказов во времени.

В частном случае постоянства интенсивности отказов λ(t) = = const выражение (3.12) преобразуется в известное в теории вероятностей экспоненциальное распределение

Таким образом, для невосстанавливаемых объектов применяют показатели Р(t), Т₁, f(t), λ(t).

F(t) – функция распределения наработки до отказа;

Р(t) – вероятность безотказной работы;

f(t) – плотность распределения наработки до отказа.

3.3. Показатели безотказности
восстанавливаемых объектов

Восстанавливаемыми называются изделия, ко­торые в процессе выполнения своих функций допускают ремонт. Если произойдет отказ такого изделия, то он вы­зовет прекращение функционирования изделия только на период устранения отказа. К таким изделиям относятся: телевизор, агрегат питания, станок, автомобиль, трактор и т. п.

Величина λ(t)dt есть вероятность того, что элемент, безотказно проработавший в интервале наработки [0, t], откажет в интервале [t, t + dt].

Для восстанавливаемых объектов применяется понятие наработка на отказ (наработка между двумя соседними во времени отказами). После каждого отказа производится восстановление работоспособного состояния.

Характеристикой безотказности случайной наработки Т является математическое ожидание, которое называется средней наработкой на отказ (между отказами) [7].

, (3.14)

где t – суммарная наработка; r(t) – число отказов, наступивших в течение этой наработки; М{r(t)} – математическое ожидание этого числа. В общем случае средняя наработка на отказ оказывается функцией t.

Статистическая оценка средней наработки на отказ Тесть величина, рассчитываемая по формуле

. (3.15)

В отличие от формулы (3.9) здесь r(t) – число отказов, фактически происшедших за суммарную наработку t.

Статистическая вероятность отказов

, (3.16)

где n(Dt) – количество отказов;

N – число взятых на испытания объектов.

Статистическая частота отказов

, (3.17)

где Dt – данный интервал времени.

Параметры работоспособности:

– вероятность безотказной работы Р(t);

– средняя наработка на отказ Т;

– параметр потока отказов μ(t);

– среднее время восстановления Т_В.

Параметр потока отказовμ(t)есть отношение математического ожидания числа отказов восстанавливаемого объекта за достаточно малую его наработку к значению этой наработки:

, (3.18)

где – математическое ожидание; – малый отрезок наработки; r(t) –число отказов, наступивших от начального момента времени до достижения наработки t; –число отказов на отрезке .

При расчетах и обработке экспериментальных данных применяют осредненный параметр потока отказов

,(3.19)

здесь – конечный отрезок времени, на котором определяется число отказов, причем . Для стационарного потока отказов параметры, определяемые по формулам, не зависят от t .

Cтатистическая оценка параметра потока отказов делается по формуле, которая аналогична формуле (3.19):

. (3.20)

Параметр потока отказов представляет собой плотность вероятности возникновения отказа восстанавливаемого объекта. Отказы объектов возникают в случайные моменты времени, и в течение заданного периода эксплуатации наблюдается поток отказов.

Существует множество математических моделей потоков отказов. Наиболее часто при решении задач надежности электроустановок используют простейший поток отказов – пуассоновский поток. Простейший поток отказов удовлетворяет одновременно трем условиям: стационарности, ординарности, отсутствия последствия.

Стационарность случайного процесса (времени возникновения отказов) означает, что на любом промежутке времени Δt_i вероятность возникновения n отказов зависит только от n и величины промежутка Δt_i, но не зависит от сдвига Δt_i по оси времени. Следовательно, при вероятность появления n отказов по всем интервалам составит

. (3.21)

Ординарностьслучайного процесса означает, что отказы являются событиями случайными и независимыми. Ординарность потока означает невозможность появления в один и тот же момент времени более одного отказа, т. е.

при n >1 . (3.22)

Отсутствие последствия означает, что вероятность наступления n отказов в течение промежутка Δt_i не зависит от того, сколько было отказов и как они распределялись до этого промежутка. Следовательно, факт отказа любого элемента в системе не приведет к изменению характеристик (работоспособности) других элементов системы, если даже система и отказала из-за какого-то элемента.

Опыт эксплуатации сложных технических систем показывает, что отказы элементов происходят мгновенно, и если старение элементов отсутствует
(l = const), то поток отказов в системе можно считать простейшим.

Случайные события, образующие простейший поток, распределены по закону Пуассона:

при n_і ³ 0, (3.23)

где – вероятность возникновения в течение времени t ровно n событий (отказов); l – параметр распределения, совпадающий с параметром потока событий.

Если в выражении (3.23) принять n = 0, то получится – вероятность безотказной работы объекта за время t при интенсивности отказов
l = const. Нетрудно доказать, что если восстанавливаемый объект при отсутствии восстановления имеет характеристику l = const, то, придавая объекту восстанавливаемость, следует написать μ(t) = const; l = μ .

Это свойство широко используется в расчётах надёжности ремонтируемых устройств. Например, важнейшие показатели надежности оборудования электроустановок даются в предположении, что потоки отказов и восстановлений являются простейшими, когда и, соответственно,

. (3.24)

Среднее время восстановления :

, (3.25)

где n – число отказов объекта;

– время, затраченное на отыскание и устранение одного отказа.

Функция распределения:

, (3.26)

где – интенсивность восстановления работоспособности объекта; характеризует среднее число восстановлений ремонтируемого объекта в единицу времени,

. (3.27)

Интенсивность восстановления работоспособности объекта:

, (3.28)

, (3.29)

, (3.30)

, (3.31)

где n(t) – число восстановленных за время t объектов;

N – общее число отказавших объектов.

Вероятность безотказной работы восстанавливаемого объекта:

P_r (t) – количественная мера того, что объект в заданный момент времени будет работоспособен.

Событие А: объект работоспособен до момента времени t и работоспособен на участке времени Dt. Выражение для события А:

Р(t, t + Dt) = Р(t)Р(Dt) = Р(t)е ^–lt.

Событие В: объект вышел из строя к моменту времени t, но был восстановлен за период D t. Выражение для события В:

Р(t, t + Dt) = (1 – Р(t))(1 – е ^–lDt),

Р(t, t + Dt) = P(t) е ^–lDt + (1 – P(t))(1 – е ^–lDt) . (3.32)

Согласно формулам (3.9)–(3.13)

е ^–lDt = 1 – l_ВDt

преобразуется к виду:

1 – е ^–lDt = l_ВDt,

P(t, t + Dt) = P(t)(1 – lDt) + (1 – Р(t)),

l_В Dt = 1,

1 = P(t) – P(t)lDt + l_В Dt – P(t) l_В Dt,

,

,

.

Решение этого дифференциального уравнения имеет вид:

. (3.33)

Изображение функции P_r(t) восстанавливаемого изделия и функции P(t) невосстанавливаемого изделия представлено на рис. 3.2.

Надёжность восстанавливаемого P_r(t) изделия всегда выше надёжности невосстанавливаемого изделия P(t).

Пример 3.2. В результате наблюдения за работой редуктора было зарегистрировано 8 отказов, наработки t_i составляют в сутках:18, 9, 14, 27, 16, 8, 14, 22.

P(t)

рис. 3.2. графики функции P_r(t)и P(t)

Определить наработку на отказ и вероятность его безотказной работы в пределах наработки Dt = 20 ч.

Решение:

суток,

,