Роль русских ученых в развитии физической химии.

ФИЗИЧЕСКАЯ ХИМИЯ

ВВЕДЕНИЕ

Физическая химия — наука, объясняющая химические явления на основании физических принципов и зако­нов. В настоящее время она определилась как самостоятельная отрасль науки, обладающая специфическими методами исследова­ния. Физическая химия занимается многосторонним исследованием различных химических реакций и сопутствующих им физических процессов. Как пограничная наука, она изучает объект с несколь­ких сторон, учитывая диалектический характер взаимосвязи и взаимодействия сложных явлений материального мира.

Химические реакции тесно связаны с такими физическими про­цессами, как электрические явления, теплопередача, поглощение или излучение электромагнитных колебаний. Например, химические реакции, протекающие в гальванических элементах и аккумулято­рах, являются причиной возникновения электрического тока. Мно­гие химические реакции сопровождаются выделением или поглоще­нием энергии в виде теплоты, а возникновение других реакций обусловлено действием света. Так, поглощение солнечного света зе­леными растениями вызывает сложные реакции фотосинтеза, в результате которых из двуокиси углерода и воды образуются раз­личные органические соединения. Таким образом, физическая хи­мия решает наиболее общие вопросы химии, опираясь на физиче­ские законы и методы исследования.

Физическая химия включает несколько основных разделов.

Строение вещества. Этот раздел физической химии изучает связь между строением веществ и их физическими и химическими свойствами, а также агрегатные состояния веществ. Благодаря достижениям физики и квантовой механики при изучении атомов и молекул в этой области в последние годы наблюдаются значитель­ные успехи. Применение в экспериментальных работах новейших методов молекулярной спектроскопии (включая радиоспектроско­пию), а также рентгеноструктурного, электроннографического, электронномикроскопического и других методов исследования дало возможность получить новые данные о строении атомов и молекул, о природе сил, действующих между ними.

В учении об агрегатных состояниях рассматриваются вопро­сы взаимодействия молекул и важнейшие свойства веществ в га­зообразном, жидком и кристаллическом состояниях. Это учение получило свое развитие на базе кинетической теории материи и статистической физики.

Химическая термодинамика. На основе законов термодинамики осуществляются энергетические расчеты химических реакций и химического равновесия, а также определяется возможность и на­правление самопроизвольного течения того или иного химического процесса. Химическая термодинамика изучает фазовые переходы (растворение, испарение, кристаллизацию и др.), адсорбцию и т. п. Важным разделом химической термодинамики является термохи­мия, которая изучает тепловые эффекты химических реакций. Этот раздел физической химии имеет большое значение в народном хо­зяйстве, особенно в области промышленного синтеза.

Учение о растворах. В этом разделе изучаются молекулярные структуры растворов, различные их свойства, процессы образова­ния растворов и особенности протекающих в них реакций, а также вопросы растворимости.

Электрохимия. Рассматривает важнейшие процессы взаимного превращения электрической и химической форм движения материи, а также свойства и строение растворов электролитов, процессы электролиза, работу гальванических элементов, электрохимическую коррозию металлов, электросинтез веществ и др. В настоящее вре­мя электрохимические методы исследования и анализа приобрета­ют все большее значение в практике заводских, агрохимических, почвенных и других лабораторий.

Химическая кинетика. Она изучает скорости химических реак­ций и их зависимости от температуры, давления, концентрации, среды, перемешивания и т. д., а также вопросы катализа гомоген­ных и гетерогенных химических реакций и способы, позволяющие регулировать и направлять течение различных химических процес­сов и выход продуктов реакции. В этом разделе физической химии рассматривается также механизм действия биологических катали­заторов — ферментов.

Фотохимия. Фотохимия изучает процессы воздействия электро­магнитных излучений на ход химических превращений. Важными фотохимическими реакциями являются фотосинтез, люминесценция, фотографические и многие другие процессы. Фотохимия тесно свя­зана с учением о строении молекул, а также с химической кине­тикой.

Таковы основные разделы физической химии. Приведенное де­ление условно, поскольку каждый физико-химический процесс не только многогранен, но и тесно связан с целым рядом других яв­лений. Марксистско-ленинский диалектический метод учит, что любое явление материального мира необходимо рассматривать в его тесной и неразрывной связи с окружающими явлениями. Этим объясняется и возникновение физической химии и тесная взаимо­связь различных ее разделов.

Необходимо учесть, что всякое реальное движение материи сложно и едино, а разделение его на отдельные формы движения условно и относительно. В силу этого границы между основными разделами физической химии также приблизительны и условны.

Перечисленные разделы не охватывают всех областей физиче­ской химии. В последние годы в самостоятельные разделы выделе­ны магнетохимия, радиационная химия, физикохимия высокомоле­кулярных соединений и др.

Физическая химия не только всесторонне изучает и обобщает материал по различным разделам химии, она объединяет его, ана­лизирует и выводит общие закономерности развития вечно дви­жущейся материи. В этом заключается общенаучное значение фи­зической химии. Законы, открываемые ею, широко используются общей химией, биологией, геологией, агрохимией, почвоведением и многими прикладными науками.

Велико значение физической химии и методов ее исследования в развитии химической технологии. Знание физической химии дает инженеру возможность не только глубоко понять сущность хими­ческого процесса, лежащего в основе производства, но и созна­тельно выбирать и регулировать условия, наиболее благоприят­ные для проведения нужных процессов. Физическая химия позволя­ет предвидеть направление химической реакции, а также рассчи­тать теоретически выход ее продуктов.

. Производство новых и высокоэффективных удобрений, разработка и внед­рение химических способов борьбы с вредителями и болезнями рас­тений, улучшение водно-физических свойств почвы — эти вопросы могут быть успешно решены лишь на основе знания физической химии. Это убедительно доказали работы советских агрохимиков К. К. Гедройца и Д. Н. Прянишникова. На основании их обшир­ных и разносторонних исследований с применением методов физи­ческой химии было создано учение о почвенном поглощающем комп­лексе, которое получило широкое признание в нашей стране и за рубежом.

В настоящее время все большее распространение получают та­кие физико-химические методы исследования, как термический, рентгенографический, электронномикроскопический, инфракрасно-спектроскопический и многие другие, с помощью которых были получены весьма ценные данные о природе и строении почвенного поглощающего комплекса. Методы электрической проводимости, потенциометрии, криоскопии, фотометрии, эмиссионного анализа и другие также широко применяются в решении основных проблем агрономии.

Изучение с помощью физической химии фотохимических реак­ций позволяет глубже вникать в сущность сложных процессов фо­тосинтеза.

Как известно, из всей солнечной энергии, доходящей до поверх­ности Земли, энергия, усваиваемая в процессе фотосинтеза всей растительностью земного шара, составляет в среднем только 0,3%. Культурные растения используют солнечную энергию полнее, чем дикие. Используемая ими доля солнечной энергии составляет при­мерно 0,5—1,5%, а для таких культур, как рис, соевые бобы, сахарная свекла, сахарный тростник, кукуруза и некоторых других, 4— 5% от общего количества солнечной энергии, попадающей на посе­вы за вегетационный период. Есть основание считать, что полное раскрытие наукой механизма процесса фотосинтеза и овладение управлением им даст возможность повысить коэффициент исполь­зования солнечной энергии растениями в два-три раза и более.

Такие дисциплины, как агрохимия, почвоведение, физиология растений, микробиология, биохимия, земледелие, защита растений и многие другие, широко используют методы и основные теоретиче­ские положения физической химии.

Преподавание физической химии в сельскохозяйственных выс­ших учебных заведениях имеет свою специфику. Основной задачей курса является изучение теоретических основ этой науки, знаком­ство с физико-химическими методами исследования с целью их применения в решении основных вопросов сельского хозяйства.

Роль русских ученых в развитии физической химии.

Основателем физической химии является великий русский ученый М. В. Ло­моносов (1711 —1765). Ему принадлежит сам термин «физическая химия»; опре­деление задач этой науки было дано им еще в 1752 г., когда он приступил к чте­нию систематического курса физической химии для студентов Академии наук. Ломо­носовым было написано первое учебное пособие «Введение в истинную физическую химию», а также составлена программа экспериментальных работ — «Опыт физи­ческой химии» (1754).

Задачи, которые должна решать физическая химия, Ломоносов сформулиро­вал следующим образом: «Физическая химия есть наука, объясняющая на осно­вании положений и опытов физики то, что происходит в смешанных телах при химических операциях». Это определение очень близко к современному.

Ломоносов выдвинул и обосновал целый ряд положений, которые легли в ос­нову физической химии. Им впервые был открыт закон сохранения материи и движения — один из величайших законов природы.

Ломоносов создал стройную кинетическую теорию материи и объяснил тепло­ту как проявление движения молекул. Он первым указал на невозможность пере­хода теплоты от холодного тела к горячему и тем самым вплотную подошел к фор­мулировке второго закона термодинамики. Ломоносов впервые ввел в науку представление о молекулах и установил четкое различие между молекулами и атомами. Он объяснил природу газового состояния, высказал мысль о существо­вании абсолютного нуля температуры, дал правильное толкование процесса рас­творения как проявления взаимодействия молекул растворенного вещества с. мо­лекулами растворителя, выполнил целый ряд обстоятельных работ по изучению растворов.

Русский ученый Г. И. Гесс (1802—1850), профессор Горного института в Пе­тербурге, впервые сформулировал основной закон термохимии «о постоянстве сумм тепла» при химических реакциях. Этот закон, впоследствии названный его именем, следует рассматривать как одно из выражений открытого позднее перво­го закона термодинамики применительно к химическим реакциям.

Большая заслуга в развитии физической химии принадлежит русскому учено­му Н. Н. Бекетову (1826—1911), который с 1865 г. возобновил после Ломоносо­ва чтение курса физической химии; он впервые (1865) дал частную формулиров­ку закона действующих масс. Ему принадлежат работы по изучению восстанав­ливающей способности одних металлов по отношению к другим.

Первый в мире учебник по физической химии также был создан в России Н. Н. Любавиным (1845—1918).

Ценный вклад в развитие представлений о строении вещества внес основопо­ложник теории химического строения органических соединений А. М. Бутлеров (1828—1886).

Для развития химической науки вообще и для физической химии в частности огромное значение имело открытие Д. И. Менделеевым (1834—1907) периодиче­ского закона химических элементов (1869), впоследствии названного его именем. Этот закон позволил на основании знания химических свойств одних элементов предвидеть свойства других. Оценивая это открытие Д. И. Менделеева, Ф. Эн­гельс писал: «Менделеев, применив бессознательно гегелевский закон о переходе количества в качество, совершил научный подвиг, который смело можно поставить рядом с открытием Леверье, вычислившего орбиту еще не известной планеты — Нептуна». Менделеев является также автором гидратной теории растворов, на которой основаны современные исследования в области растворов.

Большое значение для развития сельского хозяйства в России имели труды Д. И. Менделеева в области агрохимии. Он впервые поставил задачу широкого ис­пользования химии для подъема отечественного сельского хозяйства. Если бы Мен­делеев не открыл и не разработал периодический закон химических элементов, его имя вошло бы в историю науки и народного хозяйства благодаря фундаменталь­ным трудам в области сельского хозяйства, особенно в области удобрений.

Известный русский ученый К. А. Тимирязев проходил сельскохозяйственную практику под руководством Д. И. Менделеева, а Д. Н. Прянишников был учени­ком и последователем К. А. Тимирязева. Благодаря такой преемственности воз­никло целое направление в отечественной агрохимии, которое сыграло выдающую­ся роль в широком творческом проникновении химии в сельское хозяйство, в его всесторонней химизации (выражение Д. Н. Прянишникова).

Большое значение для развития физической химии имели работы И. А. Каблукова (1857—1942), который, исходя из гидратной теории Д. И. Менделеева, ус­тановил явление гидратации ионов электролитов в водных растворах и сущность химического взаимодействия в процессах электролитической диссоциации (1891). Им впервые были выполнены работы по исследованию поведения электролитов в неводных растворах. Каблуков организовал первую кафедру физической химии в сельскохозяйственном вузе и начал читать систематический курс физической хи­мии будущим агрономам.

Работы Н. С. Курнакова — создателя физико-химического анализа, Н. Д. Зе­линского — основателя научной школы органического катализа, Н. А. Шилова, В. А. Кистяковского, Н. А. Изгарышева, а также других ученых заложили проч­ный фундамент в развитии физической химии. Крупный вклад в развитие физиче­ской химии внесли исследования Н. Н. Семенова, разработавшего теорию цепных разветвленных реакций, П. А. Ребиндера, А. Н. Фрумкина, М. М. Дубинина и дру­гих ученых, охватывающие область поверхностных и капиллярных яв­лений. В развитии коллоидной химии большое значение имеют исследования В. А. Каргина, С. М. Липатова, М. М. Дубинина, А. В. Думанского и Н. П. Пес­кова. Огромное практическое значение для повышения плодородия почв имели ис­следования К. К. Гедройца — создателя учения о почвенном коллоидно-химиче­ском комплексе, а также Д. Н. Прянишникова, основателя русской школы агрохимиков.

Изучение курса физической и коллоидной химии дает теоретическую основу для понимания таких дисциплин, как биохимия, микробиология, агрохимия, почвоведение и др., а знакомство с физико-химическими методами исследования позволяет шире использовать их для решения многих вопросов сельскохозяйственного производства.

Настоящее пособие включает в себя описание лабораторных работ по наиболее важным разделам курса физической и коллоидной химии. Кроме того, изучение физической и коллоидной химии дает богатейший материал для формирования научного мировоззрения студентов.

Перед выполнением лабораторных работ студенту необходимо изучить основные теоретические положения темы (руководствуясь вопросами самоподготовки), а также ознакомиться с методикой выполнения работы.

На занятиях, рассчитанных на 4 часа, осуществляется контроль знаний студентов, после чего дается индивидуальное задание. Составление отчета по выполненной работе делается по следующей форме:

1. Тема, название раздела.

2. Сущность и краткое описание теоретических положений (см. вопросы самоподготовки).

3. Задание. Название лабораторной работы.

4. Цель работы.

5. Методика выполнения работы, зарисовка схем установки и приборов.

6. Результаты экспериментальных измерений в таблицах.

7. Расчеты и, если требуется, графические построения.

8. Анализ результатов наблюдений.

9. Выводы согласно цели задания.

При работе в лабораториях физической и коллоидной химии необходимо соблюдать правила.

ПРАВИЛА РАБОТЫ В ЛАБОРАТОРИЯХ ФИЗИЧЕСКОЙ И КОЛЛОИДНОЙ ХИМИИ

В лаборатории необходимо находиться в халате, во время работы соблюдать чистоту и правила техники безопасности (см. плакаты и инструкции по технике безопасности).

Концентрированные кислоты и щелочи содержатся в склянках, снабженных капельницами.

Растворы разбавленных кислот и щелочей, аммиака и других вредных веществ следует отбирать цилиндрами или пипетками, непременно снабженными грушами.

Перед включением устройств и приборов необходимо проверить правильность составления схемы, исправность приборов, розеток и выключателей. Строго выполнять указания преподавателя.

Оборудование, детали к приборам и методические указания для выполнения работ получает дежурный группы у лаборанта или сам студент под студенческий билет или зачетную книжку.

По всем вопросам отсутствия на рабочих местах реактивов, посуды, а также неисправности приборов обращаться к дежурному лаборанту.

Бережно относиться к лабораторному оборудованию, приборам и посуде. Экономно расходовать реактивы, дистиллированную воду, фильтровальную бумагу и т.п. Экономить электроэнергию, холодную и горячую воду. По окончании работ не забывать выключать приборы, вымыть посуду, убрать рабочее место и сдать его лаборанту.

Математические понятия.

Цель этого приложения — дать общее представление о ма­тематических понятиях, используемых при изучении курса, а также для расчетов при выполнении лабораторных работ.

Логарифмы

Определение 1. Пусть а и b — положительные действитель­ные числа (b ≠ 1). Показатель степени р, в которую нужно возвести b, чтобы получить а, называется логарифмом числа а по основанию b. Символ log_ba = p означает, что b^р = а.

Пример А. 1. Поскольку 2³ = 8, 1оg₂ 8 = 3.

Пример А.2. Поскольку 8⅔ = 4, 1оg₈ 4 =⅔.

Пример А.З. Поскольку 10 ^{– 2} =0,01, lоg₁₀ 0,01 =-2.

Пример А.4. Найдем b, если 1оg_b 9 = 2.

Решение:

Из определения 1 следует, что b² = 9, поэтому b = 3.

(Замечание: b = – 3 тоже является решением уравнения b² = 9, но по определению основание должно быть положительным.)

Пример А.5. Найдем х, если 1оg₁₀ x = – ¹/₂.

Решение:

x = 10 ^–1/2 = 1/ √10

Требование отличия основания логарифма от 1 необходимо в определении, потому что 1 в любой степени есть 1. Кроме того, поскольку любая степень положительного числа есть поло­жительное число, логарифм отрицательных чисел не определен. Логарифм нуля также не определен.

На практике обычно используются две системы логариф­мов — натуральные логарифмы и десятичные логарифмы. Деся­тичные логарифмы имеют основание 10, а натуральные — число е. (Число е — это иррациональное число, приблизительно равное 2,718). Для того чтобы каждый раз не указы­вать величину основания логарифмов, мы не будем пользоваться индексами и будем обозначать, как принято,

log_e х и 1оg₁₀x соответственно 1n х и lg х.

Свойства логарифмов

1. log_b x + log_by = log_b(xy).

2. log_b x – log_by = log_b(x/y).

3. k log_b x = log_b(x^k).

4. b^log_b^x = x.

5. log_ax = (log_ab) ∙ log_bx.

Поскольку 1n10 ≈2,3026 (т.е. натуральный логарифм 10 приблизительно равен 2,3026), по свойству 5 имеем:

ln x ≈ 2,3026 1g х.

Любое число, выраженное в виде десятичной дроби, может быть записано в «стандартной» форме как произведение целой степени 10 и числа между 1 и 10. Так, например, 0,002 = 2 ∙ 10 ^{– 3}; 352 = 3,52 ∙ 10²; 4,32 = 4,32 ∙ 10⁰.

Благодаря свойству логарифмов 1 :

1g 0,002 = 1g 2 + 1g 10 ^{– 3} = 1g 2 – 3;

lg 352 = lg 3,52 + lg 10² = lg 3,52 + 2;

lg 4,32 = lg 4,32 + lg 10⁰ = lg 4,32 + 0.

Эти замечания иллюстрируют общее положение, согласно которому всякий десятичный логарифм можно выразить в виде суммы целого числа и логарифма числа, заключенного между 1 и 10. Последний логарифм сам является числом, заключенным между 0 и 1, и поэтому приближенно может быть выражен положительной десятичной дробью. Эта десятичная дробь на­зывается мантиссой, причем таблицы десятичных логарифмов и представляют собой таблицы мантисс. Показатель степени 10, который входит в стандартную форму числа, называется характеристикой. Таким образом, характеристика числа 0,002 есть – 3, характеристика 352 есть 2, а характеристика 4,32 есть 0.

В вычислениях с логарифмами принято писать отрицатель­ные характеристики в так называемой форме 9 – 10. В этой форме 1g 0,002 = 7,3010 – 10. Данное выражение можно записать также в виде 1g 0,002 = ,3010, где черта над 3 означает, что характеристика равна – 3, а десятичная часть + 0,3010. Оба равенства означают, что 1g 0,002 = 0,3010 – 3 = – 2,6990.

Пример А.6. Найдем 1g 352.

Решение:

352 = 3,52 ∙ 10²;

1g 352 = 1g 3,52 + 1g 10².

Из таблиц 1g 3,52 = 0,5464, а по определению 1g 10² = 2. Таким образом,

1g 352 = 2 + 0,5464 = 2,5464.

Пример А.7. Найдем 1g 0,002.

Решение:

1g 0,002 = 1g (2 ∙ 10 ^{– 3}) = 1g 2 + lg 10 ^{– 3} = 0,3010 + (–3) = – 2,6990.

Пример А. 8. рН раствора представляет собой отрица­тельный десятичный логарифм [Н⁺], где [Н⁺] — активность ионов водорода (приблизительно равная концентрации ионов водорода, выраженной в г–ион/л), т.е. рН = – 1g[Н⁺]. Найдем, чему равен рН раствора, если [Н⁺] = 0,000243.

Решение:

рН = – 1g (0,000243) = – 1g (2,43 ∙ 10 ^{– 4}) = – (0,386 – 4) = 3,614.

Для того чтобы найти число по известному логарифму, можно использовать аналогичный подход.

Пример А. 9. Найдем [Н⁺], если рН = 2,602.

Решение:

– lg [Н⁺] = 2,602

1g [Н⁺] = – 2,602 = 0,398 – 3.

Из таблиц находим, что 0,398 = 1g 2,5, поэтому

[Н⁺]=2,5 ∙ 10 ^{– 3} = 0,0025.

Перед тем как обратиться к таблицам, мы выразили – 2,602 в виде суммы положительной десятичной дроби и целого числа – 3, поскольку таблицы содержат только положительные десятичные дроби.

Пример А. 10. Для того чтобы найти рН, с помощью рН – метра измеряют электрическое напряжение ξ и по формуле рН = ξ – 0,336/ 0,059 получают величину рН.

Найдем [Н⁺], если ξ = 0,525.

Решение:

ξ = 0,525 – 0,336/0,059 = 3,20.

–lg[Н⁺] = 3,20,

lg[Н⁺] = – 3,20 = 0,80 – 4,

[Н⁺] = 6,3 ∙ 10^-4.

Пример А. 11. Для того же рН – метра, что и в преды­дущем примере, определим, какое значение ξ соответство­вало бы концентрации ионов водорода 2,3 ∙ 10 ^{– 7}.

Решение:

рН = – 1g [Н⁺] = – 1g (2,3 ∙ 10 ^{– 7}) = – (0,3617 – 7) = –(– 6,6383) = 6,6383.

Подставляя полученное значение рН в формулу, приведен­ную в примере А. 10, находим ξ :

ξ – 0,336/0,059 = 6,638;

ξ = 0,059 ∙ 6,638 + 0,336 = 0,728.

Логарифмические графики

Выражение концентрации водородных ионов в логарифми­ческой форме (рН) может служить примером того, как лога­рифмы могут упростить проблему графического представления соотношений между физическими величинами. Если вдоль одной из осей откладывать [Н⁺], то построить график для области зна­чений [Н⁺] в пределах от 10 ^{– 4} до 10⁴ практически невозможно. Если же откладывать величину –1g[Н⁺], то этот же интервал концентраций ионов водорода займет всего лишь область от –4 до +4.

При графическом представлении физических величин часто желательно получать графики в виде прямых линий. Иногда это достигается откладыванием логарифма одной или обеих переменных.

Рис.А.1.

Рис. А.2.

Рис.А3

Рис. А.4.

Пример А. 12. На рис. А. 1 представлен график соот­ветствующий уравнению у = а∙b^x, где а и b — положитель­ные константы. На рис. А.2 приведен график, который получается, если по одной оси отложить Y, а по другой х, где Y=lg y. Поскольку зависимость lg y = lg а + x lg b линейна для х, уравнение Y =lg а + х lg b дает на гра­фике прямую линию. (Этот способ называют изображением зависимости y от x в полулогарифмическом масштабе.).

Пример А. 13. График, соответствующий уравнению у = k∙x^a, где а и k – константы, показан на рис. А. 3. Лога­рифмируя обе части уравнения, получаем lg y = lg k + a lg x. Если обозначить Y = lg у и Х = lg x, то уравнение окажется линейным по X и Y. График, выра­жающий зависимость Y от X, имеющий вид прямой линии, представлен на рис. А. 4. (Этот способ называют изобра­жением зависимости у от х в логарифмическом мас­штабе.)

Формулы для интегрирования

1.∫ c du = c ∫ du, (с — постоянная).

2.∫ (u + υ) dх =∫u dх + ∫ υ dх.

Пример: ∫ (x² + 4) dх =∫ х² dх + ∫ 4 dx = x³/3 + 4x + c.

3. Если n ≠ – 1, то ∫ uⁿ du = u^{n + 1}/n + 1 + c.

Пример: ∫ dx/x³ = ∫ x ^–3 dx = x ^–2/–2 + c = –1/(2x² + c).

4. ∫ u ^{– 1} du = ∫ du/u = ln |u| + c, u ≠ 0.

Пример: ∫ dp/(p – 4) = ln | p – 4 | + c.

Замечание. Символ |u| читается: «абсолютное значение u». Вер­тикальные черточки означают, что мы должны использовать u, если u ≥ 0, и – u, если u < 0. Если мы встречаемся с множест­вом значений р > 4, то ln | р – 4 | = ln (р – 4) . Но если значения р < 4, то ln | р – 4 | = ln (4 – р) .

5. ∫ e^u du = e^u + c.

Пример: ∫ e^3x dx = ¹/₃ ∫ e^3x d(3x) = ¹/₃e^3x + c.

Определенный интеграл

_b

Числа а и b в символе ∫_а

называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования.

^b

Пример. Вычислим ∫ х dх.

^a

Решение.

Поскольку ∫ x dх = х²/2 + С, исходя из теоремы, имеем

_b

∫ x dx = (b²/2 + C) – (a²/2 + C) = (b² – a²)/2.

^a

¹

Пример .Вычислим ∫ (1/ x + 1) dx

Решение. ₁

Поскольку ∫ (1/ x + 1) dx = ln (x + 1) + C, получаем ∫ (1/ x + 1) dx = [ln (x + 1)] = ln 2 – ln 1 = ln 2. ⁰

ТЕМА I