Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел.

Множества. Операции над множествами. Алгебра множеств. Множества с заданными на них операциями. Алгебраические структуры: группа, кольцо, поле. Поле комплексных чисел.

Множество - это совокупность, набор элементов, объединенных общими свойствами. Множества обозначаются заглавными латинскими буквами , а элементы множества строчными латинскими буквами .

Количество элементов конечного множества называется его мощностью. Мощность множества А обозначается как |A|.

Мощность множества — это обобщение понятия количества (числа элементов множества), которое имеет смысл для всех множеств, включая бесконечные. Существуют бо́льшие, есть ме́ньшие бесконечные множества, среди них счётное множество является самым маленьким.

Множества, состоящие из конечного числа элементов, называются конечными множествами. Если же число элементов множества неограниченно, то такое множество называется бесконечным. Например, множество всех натуральных чисел бесконечно.

Основные операции:

1. Принадлежность и непринадлежность элемента множеству: ,

2. Объединение множеств: .

Объединением двух множеств и называется множество , состоящее из элементов множеств и , т.е. или

3. Пересечение множеств: .

Пересечением двух множеств и называется множество , состоящее из общих элементов множеств и , т.е. и

4. Разность множеств: .

Разностью двух множеств и называется множество , состоящее из элементов множества , которых нет в множестве , т.е.

и

5. Дополнение множества: .

Если множество является подмножеством некоторого универсального множества , тогда определяется операция дополнения:

и

6. Вхождение одного множества в другое множество: .

Если любой элемент множества является элементом множества , то говорят, что множество входит в множество .

7. Не вхождение одного множества в другое множество: .

Пусть и — произвольные множества.

1. Под универсумом понимают множество, включающее в себя все множества в данном контексте.

2. Пересечением множеств и называется множество всех таких элементов , которые лежат как в множестве , так и в множестве , то есть .

3. Объединением множеств и называется множество всех таких элементов , которые лежат в множестве или , то есть .

4. Свойства операций объединения и пересечения.

а) Коммутативность: для любых множеств A и B верны равенства: АВ=ВА; АВ=ВА.

б) Ассоциативность: для любых множеств А, В, С верны равенства: (АВ)С=A(ВС); (AB)С=A(ВС).

в) Дистрибутивность: для любых множеств А, B и С справедливы равенства: A(BC)=(AB)(AC); A(BC)=(AB)(AC). Разностью множеств и называется множество всех таких элементов , которые лежат в множестве , но не лежат в , то есть .

4. Дополнением множества называется множество всех таких элементов из универсума, которые не лежат в множестве , то есть .

Группа, кольцо, поле.

1.Множество с алгебраической операцией называется группой, если выполняются следующие условия:

1)операция в ассоциативна: ;

2)в существует нейтральный элемент ;

3)для каждого элемента существует обратный ему элемент . Если операция коммутативна, то группа называется коммутативной.

2.Множество , на котором заданы две операции — сложение и умножение , называется кольцом, если выполняются следующие условия:

1) относительно операции сложения множество — коммутативная группа, т.е.

а) операция сложения коммутативна: ;

б) операция сложения ассоциативна: ;

в) существует нулевой элемент ;

г) для каждого элемента существует противоположный ему элемент ;

2) операция умножения в множестве ассоциативна:

3) операции сложения и умножения связаны законами дистрибутивности:

Если операция умножения коммутативна: , то кольцо называется коммутативным, в противном случае кольцо называется некоммутативным. Если для операции умножения существует единичный элемент , то говорят, что кольцо — есть кольцо с единицей.

Кольцами являются множества целых, рациональных, действительных чисел, причем все они — коммутативные кольца с единицей. Как видим, кольцо— это множество, в котором определены три операции: сложение, умножение и вычитание.

3.Множество , на котором заданы две операции: сложение и умножение , называется полем, если выполняются следующие условия:

1) — коммутативное кольцо с единицей ;

2) для каждого элемента , отличного от нулевого , существует обратный элемент .

Поле — это множество, в котором определены четыре операции: сложение, умножение, вычитание и деление. Полями, например, являются множества рациональных и действительных чисел.

Поле комплексных чисел.

Комплексным числомназывается упорядоченная пара вещественных чисел .

Два комплексных числа и называются равными: тогда и только тогда, когда и . В противном случае они называются неравными.

Множество всех комплексных чисел обозначается .

Пусть — комплексное число, где и — вещественные числа. Числа или и или называются соответственно вещественной и мнимой частями .

Если , то называется мнимым или чисто мнимым числом.

Если , то является действительным (вещественным) числом.

Мнимая единица i — обычно комплексное число, квадрат которого равен отрицательной единице.

и т.д.

Аксиомы:

1. – коммутативность;

2. – ассоциативность;

3. – коммутативность;

4. – ассоциативность;

5. – дистрибутивность;

Все указанные равенства должны выполняться для произвольных чисел .

Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел.

1) Сложитьдва комплексных числа ,

Чтобы сложить два комплексных числа, нужно сложить их действительные и мнимые части:

2) Найти разности комплексных чисел и , если ,

Действие аналогично сложению, единственная особенность состоит в том, что вычитаемое нужно взять в скобки, а затем – стандартно раскрыть эти скобки со сменой знака:

3) Найти произведение комплексных чисел ,

Произведение следует записать так:

Помня, что , считаем знакомыми нам алгебраическими действиями:

4) Даны комплексные числа , . Найти частное .

Составим частное:

Деление чисел осуществляется методом умножения знаменателя и числителя на сопряженное знаменателю выражение:

Геометрическая интерпретация:

Если на плоскости задана декартова прямоугольная система координат, то задание точки ее координатами однозначно определяет вектор, имеющий начало в начале координат ( ), а конец — в точке . Такое соответствие

позволяет дать интерпретацию комплексного числа как вектора на плоскости. Сама эта плоскость называется комплексной плоскостью, ось абсцисс на ней — вещественной осью, ось ординат мнимой осью.

Тригонометрическая интерпретация:

Для числа его модулем называется неотрицательное вещественное число обозначаемое , определяемое как

при этом корень квадратный в правой части понимается как корень арифметический, т.е. как единственное неотрицательное вещественное число, квадрат которого равен .

Аргументом комплексного числа называется величина угла, образованного на комплексной плоскости вектором с вещественной осью. При этом угол будет отсчитываться от вещественной оси в положительном направлении, т.е. против часовой стрелки, и что он будет находиться в интервале если вычисляется в радианах. Аргумент комплексного числа не определяется. Обозначим аргумент числа через . Для определения мы имеем две формулы:

которые позволяют однозначно восстановить5) угол в интервале .

Итак, комплексное число , наряду со своей нормальной формой , может быть представлено еще и в форме

Последняя называется тригонометрической формой комплексного числа.

Формула Муавра

Если комплексное число нужно возвести в n-ую степень, на помощь приходит формула Муавра: если комплексное число представлено в тригонометрической форме , то при его возведении в натуральную степень справедлива формула:

Справедливо неравенство треугольника:

Корень n-степени из комплексного числа:

Уравнение вида имеет ровно корней , которые можно найти по формуле:
, где – это модуль комплексного числа , – его аргумент, а параметр принимает значения: .