Критерии совместности системы. Теорема о совместности Кронекера-Капелли

Теорема Кронекера-Капелли – критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений:

Определение

Доказательство

Необходимость

Пусть система совместна. Тогда существуют числа такие, что . Следовательно, столбец является линейной комбинацией столбцов матрицы . Из того, что ранг матрицы не изменится, если из системы его строк (столбцов) вычеркнуть или приписать строку (столбец), которая является линейной комбинацией других строк (столбцов) следует, что .

Достаточность

Пусть . Возьмем в матрице какой-нибудь базисный минор. Так как , то он же и будет базисным минором и матрицы . Тогда, согласно теореме о базисном миноре, последний столбец матрицы будет линейной комбинацией базисных столбцов, то есть столбцов матрицы . Следовательно, столбец свободных членов системы является линейной комбинацией столбцов матрицы .

Метод Гаусса

Сущность метода в том, что расширенная матрица системы с помощью элементарных преобразований над ее строками приводится к ступенчатому виду. Далее последовательно находятся все неизвестные, начиная снизу вверх.

Метод Гаусса - наиболее универсальный метод для нахождения решения любой системы линейных уравнений, он работает в случае, когда система не являются квадратной, имеет бесконечно много решений или несовместна.

Метод Гаусса включает в себя прямой (приведение расширенной матрицы к ступенчатому виду, то есть получение нулей под главной диагональю) и обратный (получение нулей над главной диагональю расширенной матрицы) ходы. Прямой ход и называется методом Гаусса, обратный - методом Гаусса-Жордана, который отличается от первого только последовательностью исключения переменных.

Линейное пространство. Базис ЛП. Определение базисов ЛП. Размерность ЛП. Разложение по базису. Две теории о проекциях.

Определение линейного пространства

Непустое множество называют линейным пространством (или векторным пространством), если выполняются следующие условия:

· Для любых двух элементов однозначно определён элемент , который называется суммой этих элементов и обозначается , причём

1. Коммутативность: ,

2. Ассоциативность: ,

3. Существование нуля: существует такой элемент , что ,

4. Существование противоположного элемента: для каждого существует такой , что .

· Для любого числа и любого элемента определён элемент (произведение элемента на число), причём

1. ,

2. ,

3. ,

4. .

В зависимости от того, какие числа используются для построения линейного пространства, различают действительные и комплексные линейные пространства. Можно также рассматривать линейные пространства, построенные над произвольным полем.

Элементы линейного пространства часто называют векторами.

Базис линейного пространства

Упорядоченная система векторов называется базисом в X , если

• система векторов e₁, e₂, … , e_n линейно независима;
• любой вектор x пространства X может быть представлен в видеx = ξ₁e₁ + ξ₂e₂ + … + ξ_ne_n.
• Выражение x = ξ₁e₁ + ξ₂e₂ + … + ξ_ne_n называется разложением вектора x по базису e₁, e₂, … , e_n .
• Коэффициенты ξ₁, ξ₂, … , ξ_n в разложении вектора по данному базису определяются однозначно.

Размерность линейного пространства

Если существует натуральное число n такое, что X содержит линейно независимую систему из n векторов, а любая система из n + 1 вектора линейно зависима, то X называется n –мерным линейным пространством, а число n – его размерностью.

Будем обозначать n –мерное линейное пространство X_n , где n — размерность пространства X_n .

Из определения следует, что размерность линейного пространства равна максимальному количеству линейно независимых векторов.

Евклидовы пространства.

Евклидовым вещественным пространством называют линейное вещественное пространство в котором введена операция скалярного умножения элементов, которая подчиняется следующим аксиомам:

x, y,z є L и число a є R

1. (x, y) = (y,x);

2. (x + y,z) = ((x,z) + (y,z));

3. (ax, y) = (x,ay) = a(x, y);

4. (x,x) > 0 для всех x є L;

5. (x,x) = 0 , если x = 0.

x, y – элементы линейного пространства.

Примеры Евклидовых пространств:

1)

{ī, ῑ}= е- базис

-двумерноеЕвклидово вещественноепространство

{ī, ῑ, k} = е- базис

над R

надR

n- мерноеЕвклидово пространство

над R- бесконечномерные

Длина вектора:

X є E

П1.

П2.

П3.

О.

Длина суммы 2х сторон не превышает суммы длин этих сторон.

Базис евклидова пространства называется ортогональным, если все образующие его векторы попарно ортогональны, т.е.

при

Базис евклидова пространства называется ортонормированным, если его векторыпопарно ортогональны и длина каждого из них равна единице:

Основные понятия аналитической геометрии. Векторная алгебра. Скалярное произведение. Векторное произведение. Смешанное произведение.

Основные понятия аналитической геометрии.

Аналитическая геометрия — раздел геометрии, в котором геометрические фигуры и их свойства исследуются средствами алгебры.

Основные понятия геометрии (точки, прямые линии и плоско­сти) относятся к числу так называемых начальных понятий. Эти понятия можно описать, но всякая попытка дать определение каж­дого их этих понятий неизбежно сведется к замене определяемого понятия ему эквивалентным.

В основе этого метода лежит так называемый метод координат, впервые применённый Декартом. Каждому геометрическому соотношению этот метод ставит в соответствие некоторое уравнение, связывающее координаты фигуры или тела.

Векторная алгебра.

Векторная алгебра - раздел векторного исчисления, в к-ром изучаются простейшие операции над (свободными) векторами. К числу этих операций относятся линейные операции над векторами: операция сложения векторов и умножения вектора на число.

Скалярное произведение.

Скалярным произведением векторов a и b называется число, равное , где - угол между векторами a и b.

Если один из векторов нулевой, то угол не определен. Скалярное произведение в этом случае считается равным нулю.

Скалярное произведение обозначается , или , или . Скалярное произведение вектора на себя, aa, обозначается .

Для любых векторов a и b выполнены следующие соотношения:
1) , свойство коммутативности;
2) , свойство дистрибутивности;
3) ;
4) при ;
5) ;
6) Если - угол между векторами a и b, то ;
7) , если ;
8) тогда и только тогда, когда векторы a и b ортогональны.

Векторное произведение.

Векторным произведением двух векторов называют третий вектор, который обладает свойствами:

– образуют правую тройку

Алгебраические свойства векторного произведения:

Представление	Описание
	свойство антикоммутативности
	свойство ассоциативности относительно умножения на скаляр
	свойство дистрибутивности по сложению
	тождество Якоби, выполняется в и нарушается в
	формула «БАЦ минус ЦАБ», тождество Лагранжа
	Это частный случай мультипликативности нормы кватернионов
	значение этого выражения называют смешанным произведением векторов , , и обозначают либо

Результатом векторного произведения является вектор.

Смешанное произведение.

Смешанным произведением трёх векторов называют число, которое равно скалярному произведению двух векторов. Первый из них - , а второй - .

Результатом смешанного произведения является число.

Геометрический смысл: Модуль смешанного произведения численно равен объёму параллелепипеда, образованного векторами .