Обзор основных элементарных функций

(область определения, возрастание, убывание, нули).

1. Область определения функции — множество, на котором задаётся функция.

Если задана функция, которая действует из одного множества в другое, то множество, из которого действует данная функция, называется областью определения.

Более формально, пусть задано отображение , которое отображает множество в , то есть: ; тогда

множество называется областью определения функции

и обозначается , или (от англ. domain «область»).

2. Нахождение промежутков возрастания и убывания функции, точек экстремума.

Промежутки возрастания и убывания являются решениями неравенств и соответственно.

Точки, в которых производная обращается в ноль, называют стационарными.

Критическими точками функции называют внутренние точки области определения, в которых производная функции равна нулю или не существует.

Мы будем включать критические точки в промежутки возрастания и убывания, если они принадлежат области определения функции.

Таким образом, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции

o во-первых, находим производную;

o во-вторых, находим критические точки;

o в-третьих, разбиваем область определения критическими точками на интервалы;

o в-четвертых, определяем знак производной на каждом из промежутков. Знак «плюс» будет соответствовать промежутку возрастания, знак «минус» - промежутку убывания.

Пределы функций. Теоремы о пределах функций

Понятие предел функции является обобщением понятия предел последовательности, так как предел последовательности можно рассматривать как предел функции xn = f(n) целочисленного аргумента n.

Определения пределов функций

Определение 1. Постоянное число А называется предел функции f(x) при x→a, если для всякой последовательности {xn} значений аргумента, стремящейся к а, соответствующие им последовательности {f(xn)} имеют один и тот же предел А.Это определение называют определением предел функции по Гейне, или “на языке последовательностей”.

Определение 2. Постоянное число А называется предел функции f(x) при x→a, если, задав произвольное как угодно малое положительное число ε, можно найти такое δ >0 (зависящее от ε), что для всех x, лежащих в ε-окрестности числа а, т.е. дляx, удовлетворяющих неравенству
0 < x-a < ε, значения функции f(x) будут лежать в ε-окрестности числа А, т.е. |f(x)-A| < ε. Это определение называют определением предел функции по Коши, или “на языке ε - δ“.

Теорема 1. Если существует каждый предел

Замечание. Выражения вида 0/0, ∞/∞, ∞-∞, 0*∞, - являются неопределенными, например, отношение двух бесконечно малых или бесконечно больших величин, и найти предел такого вида носит название “раскрытие неопределенностей”.

Теорема 2.

т.е. можно переходить к пределу в основании степени при постоянном показателе, в частности, ;

Теорема 3.

Формулы 1,2 замеч. Предела

Первый и второй замечательные пределы.

Первый замечательный предел:

Рассмотрим следующий предел: пробуем подставить ноль в функцию: в числителе у нас получается ноль (синус нуля равен нулю), в знаменателе тоже ноль. Таким образом, мы сталкиваемся с неопределенностью вида

В курсе математического анализа, доказывается, что:

Данный математический факт носит название Первого замечательного предела.

Нередко в практических заданиях функции могут быть расположены по-другому, это ничего не меняет:

– тот же самый первый замечательный предел.

! Но самостоятельно переставлять числитель и знаменатель нельзя! Если дан предел в виде , то и решать его нужно в таком же виде, ничего не переставляя.

Примеры :

Здесь , , ,

Но!

не правильно, т.к многочлен не стремится к нулю, он стремится к пятерке.

Примеры решения:

Второй замечательный предел

В теории математического анализа доказано, что:

Данный факт носит название второго замечательного предела.

В качестве параметра может выступать не только переменная x , но и сложная функция. Важно лишь, чтобы она стремилась к бесконечности.

Пример:

Когда выражение под знаком предела находится в степени – это первый признак того, что нужно попытаться применить второй замечательный предел.

Но сначала, как всегда, пробуем подставить бесконечно большое число в выражение Нетрудно заметить, что при основание степени , а показатель – , то есть имеется, неопределенность вида :

Данная неопределенность как раз и раскрывается с помощью второго замечательного предела.