Прямая линия в пространстве и на плоскости.

Прямая линия в пространстве.

Линия в пространстве задается двумя поверхностями, т.е. является результатом пересечения этих поверхностей.

( L) ϕ (x, y, z)=0 ( )

(задана линия

в пр-ве)ψ(x, y, z)=0 ( )

1. 1.Прямая линия.

(L)( I )

| |

( I )- общие уравнения

1. 2 ( I )

( L )

M(x, y, z) ( II ) = t , t-всевозможные значения

( II )-векторное уравнение

1. 3. Если перейти от векторной формы к координатной, то:

( III ) x-

y- t

z-

( III )- параметрические уравнения

1. 4 Если исключить параметр t из всех строк, то:

(L) ( l )-число

( IV ) Каноническое уравнение

(Плоскость расположена || оси Z)

(Плоскость расположена || оси X)

2.1 Как перейти от общих( I ) ур-ий к каноническим ( IV )

Если дана система (I), то посмотрев алгебраическим глазом, то надо решить A= (из координат нормальных векторов)

Найдем ранг матрицы

Пусть δ(базисный минор) = = 0

Методом Краммера, задав произвольно , найдем какую-то точку.

Направляющий вектор равен векторному произведению и

= =

Пучок плоскостей

Совокупность плоскостей, проходящих через одну и ту же прямую

Если задано (П1)пересекает (П2) см.(I)-общие ур-ия прямой(L)

П2

П1

(L)

П3

Задача: найти П3(ур-ие)

На пл-ти П3 возьмем точку (М*)

М*(x*, y*, z*) П3

Пусть М*не принадлежит ( П2)

1) найдем две любые точки на прямой l ( решив систему (I)), взяв М* т эти точки, напишем ур-ие пл-ти, проходящей через эти точки.

Пишем определитель 3-го порядка приравниваем к 0, получается уравнение.

2) а)запишем ур-ие пучка. Для этого умножим левую часть второго ур-ия системы(I) на множитель λ и составим комбинацию указанного вида для левых частей и приравниваем к 0.

(V) ( )+λ( )=0

Докажем, что (V)-это ур-ие, а не тождество.

Док-во:

λ =0

λ =0 (предположим, все коэф. Равны 0)

λ =0

Выразив λ из равенств, получаем:

, ,

Посмотрев на полученный результат рассуждения от противного, получаем, что: = = , это значит, что || (кол.), а это противоречит утверждению, что плоскости П1 и П2 пересекаются.

Значит,( V)-это уравнение

b)Это не просто ур-ие, а ур-ие первой степени, линейное, а всякое линейное ур-ие дает какую-то пл-ть.

c) нужна точка М*(нужна пл-ть, проходящая через М*). Подставим в ( V )М*, получаем:

( )+λ( )=0 (не равно 0, не принадлежит П2)

Если точка принадлежит, то ее корд. Удовлетворяет ур-ию это пл-ти

λ* = -

Вывод: чтобы получить ур-ие пл-ти пучка пл-ти П3, надо взять ур-ие (V) и в него подставить λ* и получили ур-ие пл-ти:

)=0 это П3

Пл-ть П3 можно задать и так: искомая П3 ортоганальна (перпендикулярна) пл-ти П1

4. Прямая линия на пл-ти.

Теория такая же как и в пр-ве.

Теорема: Всякое уравнение 1. –ой степени вида (vI) Ax+By+C=0 на пл-ти задает прямую линию (ф) и обратно.

Док-во

Теорема состоит из двух частей.

А) уравнение вида задает прямую на плоскости.

Пусть координаты точки удовлетворяют уравнению , то есть, . Вычтем из левой и правой частей уравнения соответственно левую и правую части равенства , при этом получаем уравнение вида , которое эквивалентно .

Уравнение представляет собой необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов и . То есть, множество всех точек определяет в прямоугольной системе координат Oxy прямую линию, перпендикулярную направлению вектора . Если бы это было не так, то векторы и не были бы перпендикулярными и равенство не выполнялось бы.

Таким образом, уравнение задает прямую линию в прямоугольной декартовой системе координат Oxy на плоскости, следовательно, эквивалентное ему уравнение вида задает эту же прямую. На

Б) Всякая прямая в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости определяется уравнением первой степени вида .

Пусть в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости задана прямая a, проходящая через точку , - нормальный вектор прямой a, и пусть - плавающая точка этой прямой. Тогда векторы и перпендикулярны, следовательно, их скалярное произведениеравно нулю, то есть, . Полученное равенство можно переписать в виде . Если принять , то получим уравнение , которое соответствует прямой a.