ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ

МАТЕРИАЛЫ ЗАДАЧНИКА

ГЛАВА I.

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ

§1. Сложение векторов и умножение вектора на число.

Вектором называется множество всех направленных отрезков пространства, любые два из которых сонаправлены и имеют равные длины, эти направленные отрезки будем называть представителями вектора а. Векторы будем обозначать жирными буквами, например, вектор а. Если направленный отрезок а, то вектор а можно обозначать . Множество всех нулевых направленных отрезков образует нулевой вектор, который будем обозначать так: 0.

Длиной вектора называется длина любого его представителя.

Векторы а и b называются сонаправленными, если любые два их представителя сонаправленны, будем обозначать сонаправленные векторы так: а ↑↑b. Будем считать, что нулевой вектор сонаправлен с любым вектором. Векторы а и b называются противоположно направленными, если любые два их представителя противоположно направлены, будем обозначать противоположно направленные векторы так: а ↑↓b.

Два вектора а и b называются коллинеарными, если они либо сонаправлены, либо противоположно направлены.Коллинеарные векторы будем обозначать так а││ b.

Вектор называется параллельным плоскости, если любой его представитель либо параллелен плоскости, либо лежит в этой плоскости. Три и более векторов называются компланарными, если они параллельны одной плоскости. (Любые два вектора компланарны)

Если дан вектор а и точка О, то существует единственная точка А, такая, что = а, будем в этом случае говорить, что вектор а отложен от точке А. Договоримся под словами «построить вектор а» будем понимать откладывание вектора а от какой либо точки О, т.е. построение такой точки А, что а = .

Противоположными векторами называются такие два вектора, которые противоположно направлены и длины которых равны. Вектор, противоположный вектору а, обозначается так (- а).

Суммой векторов а иb называется вектор с, который получается следующим образом: от произвольной точки А отложим вектор = а, от точка В отложим вектор = b, тогда с = а +b = . Указанное в этом определении правило сложения векторов называется правилом треугольника. (Рис.1.1 а) Если векторы а и b не коллинеарны, то можно от произвольной точки О отложит векторы = а и = b, построить параллелограмм ОАСВ, тогда вектор = а + b. Сложение векторов по этому правилу называется правилом параллелограмма (Рис. 1.1 b)

Рис. 1.1а.Рис. 1.1 b.

Сложение векторов обладает следующими свойствами:

1°. Для любого вектора а а +0 = 0 + а.

2°. Для любого вектора а а +(- а)=(- а)+ а =0.

3°. Для любых векторов а и ba + b = b + a (свойство коммутативности).

4°. Для любых трех векторов a, b, c (a + b)+c = a + (b + c) (свойство ассоциативности).

Произведением числоλ на вектор а(или произведением вектора а на число λ )будем называть вектор b = λ а, удовлетворяющий двум условиям:

1) длина вектора b равна произведению модуля числа λ и длины вектора а

│b│= │λ││а│, 2) если λ 0, то вектор b сонаправлен с вектором а, если λ < 0, то векторb противоположно направлен с вектором а(рис.1.2).

- с

Рис. 1.2

Произведение вектора на число обладает следующими свойствами:

1°. Для любого вектора а 1 а = а.

2°. Для любого вектора а 0 а = а.

3°. Для любого вектора а и любых чисел λ и β (λ β) а = λ (β а).

4°. Для любого вектора а и любых чисел λ и β (λ+ β) а = λ а + β а.

5°. Для любых векторов а и b любого числа λ λ(a + b) = λa + λb.

Для решения задач данного раздела целесообразно придерживаться следующих рекомендаций: а) если надо построить алгебраическую сумму векторов, то все векторы со знаками минус заменяем на противоположные векторы со знаками плюс, б) сумма n векторов не изменится, если поменять местами любые два вектора, в) для построения суммы n векторов строим эту сумму по правилу n-угольника, т.е. сначала выбираем направленный отрезок из первого вектора, затем от его конца откладываем направленный отрезок из второго вектора, затем от конца этого отрезка откладываем направленный отрезок из третьего вектора и так далее, тогда соединив начало первого направленного отрезка с концом последнего направленного отрезка, получим направленный отрезок из искомой суммы.

ПРИМЕР 1.1

Дан правильный шестиугольник АВСDEF с центром О. Построить вектор

– +2 .

РЕШЕНИЕ

Рис. 1.3

1) – +2 = + +2 .(Рис. 1.3)

2) Рассмотрим направленный отрезок , от точки В отложим направленный отрезок из вектора ,затем от точки С отложим направленный отрезок из вектора 2 .

Тогда – +2 = .

ОТВЕТ. Искомая сумма равна вектору .

ПРИМЕР 1.2

АВСDА₁В₁С₁D₁ – параллелепипед. Построить вектор

- +– + (– )

РЕШЕНИЕ

Рис. 1.4

Первый способ.

1) – +– + (– ) = ++ + + . (Рис. 1.4)

2) Поменяем местами слагаемые ++ + + =

+ + + + .

3) Откладываем направленные отрезки из данных векторов следующим образом:

, , , , ,где М – середина АD, О = АС ВD.

+ + + + = .

Второй способ.

– + – + (– ) = + + + (+ ) = + + + ( + ) = + + + = + + + = + + + = + + =

= .

Существуют и другие пути построения искомого вектора.

ОТВЕТ. Искомая сумма равна вектору .

Решить следующие задачи.

1.1. Дан параллелограмм АВСD . Построить векторы: а) - ,

б) , в) + , г) + – – ,

д) + – – .

1.2. Дан правильный шестиугольник АВСDEF с центром О. Построить векторы: а) + – ;б) + – + .

1.3. Дан параллелепипед АВСDА₁В₁С₁D₁. N, К, М – середины ребер D₁С₁, ВС, СС₁. Построить векторы: а) + – – ;

б) + + – – ;в) + – + .

1.4. АМ – медиана треугольника АВС Доказать, что = ( + ).

1.5. Дан тетраэдр АВСD. К – точка пересечения медиан грани ВСD. M, N, S – середины ребер СD, ВD, АС. Построить векторы

а) + – + , б) – – + .

1.6. Дан параллелепипед АВСDА₁В₁С₁D₁. М и N – середины ребер D₁С₁ и АD, О = В₁С ВС₁. Построить векторы: а) + – ;

б) + – - + ( + );

в) + – + – – .

1.7. Пустьаиb –произвольные векторы. Показать, что: 1) |а + b | |а| + |b |. При каком условии в этом соотношении имеет место знак равенства;

2) |а - b | | а | +| b |. При каком условии в этом соотношении имеет место знак равенства; 3) Существуют ли векторы а и b,для которых

|а + b | < | а | и |а + b | < |b |; 4) Существуют ли векторы а и b,для которых

|а + b | > | а | и |а + b | > |b |.

а _

1.8. Доказать, что если вектор а 0,то вектор | а | единичной длины и сонаправлен с вектором а.

1. 9. М – точка пересечения медиан треугольника АВС, Р – середина АВ. Доказать, что для любой точке О пространства: 1) = ( + ) , в частности, =

( ); 2) = ( + + ).

1.10. О – точка пересечения медиан треугольника АВС. Доказать, что

+ + = 0.

ЗАМЕЧАНИЕ. Из этого свойства следует, что точка О является центром тяжести треугольника АВС. Поэтому точку пересечения медиан треугольника называют центром тяжести этого треугольника.

1.11. Основанием пирамиды МАВСD является параллелограмм АВСD, диагонали которого пересекаются в точке О. Доказать, что

1.12. В тетраэдре АВСD М, К, Р – середины ребер ВС, СD, DВ. Доказать, что + .

1.13. В треугольной призме АВСА₁ В₁С₁ М и М₁ – точки пересечения медиан оснований АВС и А₁В₁С₁. Доказать, что .

1.14. АВСD параллелограмм, О – произвольная точка пространства. Доказать, что + = + .

1.15. Доказать, что если для некоторого четырехугольника АВСD и некоторой точки О пространства выполняется векторное равенство

+ = + ,то АВСD – параллелограмм.

ЗАМЕЧАНИЕ.

1) Даны векторы с₁, с₂, . . .с_n и числа α₁,α₂, …α_n .Вектор

α₁с₁ +α₂с₂ + … +α_n с_n называется линейной комбинациейвекторов

с₁ , с₂ , … с_n , а числаα₁,α₂, …α_n называются коэффициентами этой линейной комбинации.

Если вектор аявляется линейной комбинацией векторов с₁, с₂, . . .с_n, т.е.

а = α₁с₁ +α₂с₂ + … +α_n с_n, то будем говорить, что вектор а выражен через векторыс₁, с₂, …с_nили что вектора разложен по векторамс₁, с₂, …с_n .

2) Если некоторый вектор надо выразить через данные векторы, то сначала вектор амы представляем как сумму некоторых векторов или как произведение некоторого вектора на число. Затем с каждым полученным таким образом вектором поступаем аналогично, пока не получим линейную комбинацию данных векторов. Проиллюстрируем это, решая ПРИМЕР1.3.

ПРИМЕР 1.3

Дан тетраэдр АВСD. К – середина ребра ВС, точка М принадлежит ребру АD и DМ = DА. = а, = b, = с. Выразить вектор через векторы а, в, с.

РЕШЕНИЕ.

Рис.1.5

1) Представим вектор (Рис.1.5) как сумму двух векторов: = . (1)

2) Теперь вектор представим в виде линейной комбинации векторов а, b, с.

=2 =2( ) =2 ( -с - b)(2).

3) Теперь выразим вектор как линейную комбинацию векторов а, b, с.

= = b +3 = b –3а.(3)

4) В равенство (1) подставит разложения векторов и из равенств (2) и (3). =2 ( -с - b) + b –3а = -3а – b –2с.

ОТВЕТ. = -3а - b –2с.

1.16. Дан правильный шестиугольник АВСDEF с центром О.

а) Выразить векторы , , через векторы и ;

б) выразить векторы , , через векторы и.

1.17. АВСD – тетраэдр. М, N, Р, Q – середины ребер АD, АВ, ВС, СD.

а) Выразить векторы и через векторы , , ;

б) выразить векторы и через векторы , , .

1.18. АВСDА₁В₁С₁D₁ – куб. О = В₁С ВС₁, М – середина АВ.

а) Выразить вектор через векторы , , ;

б) выразить векторы через векторы , , .

ПРИМЕР 1.4

Дан угол АОВ, выразить через векторы икакой либо вектор, параллельный биссектрисе этого угла

РЕШЕНИЕ

Рис.1.6

Построим параллелограмм ОАСВ (рис.1.6). По правилу параллелограмма вектор = + . Если длины векторов и не равны, то ОС не является биссектрисой угла АОВ. Если же длины этих векторов равны, то ОАСВ – ромб, а т.к. диагонали ромба делят его углы пополам, то ОС будет биссектрисой угла АОВ. По задаче 1.8 векторы и сонаправлены с векторами и и каждый из них имеет длину единица, обозначим эти векторы через аи b, сумма векторов а+ b = будет параллельна биссектрисе угла АОВ, поэтому = +

ОТВЕТ. Вектор + параллелен биссектрисе угла АОВ.