Формулы преобразования координат в пространстве.

В пространстве даны две системы координат I = ( О, е₁, е₂. е₃ ) и

II = ( О, е₁', е₂'^, е₃'), координаты точки О′ в системе координат I О’(х_о, у_о, z_о ) и координаты векторов е₁', е₂'^, е₃'в базисе{е₁', е₂'^, е₃' }: е₁′ (а₁,а ₂,а₃) , е₂' (b₁,b₂, b₃),

е₃'(с₁,с ₂, с₃). Если любая точка плоскости М имеет в первой системе координат координаты М(х, у, z), а во второй системе координат координаты М(х', у', z'), то формулы, связывающие координаты точки М в первой и во второй системах координат, имеют вид

х = а₁ х' + b₁ у' + с₁ z' + х_о,

у = а₂ х' + b₂ у' + с₂ z' + у_о (*)

z = а₃ х' + b₃ у' + с₃ z' + z_о

Эти формулы называются формулами преобразования координат.

Отметим, что в этих формулах столбец из коэффициентов при х'- это координаты вектора е'₁, столбец из коэффициентов при у'- это координаты вектора е'₂, столбец из коэффициентов при z' - это координаты векторае₃',а столбец из свободных членов – это координаты точки О' в первой системе координат. Из этого следует, что определитель, составленный из коэффициентов при х', у', z' в формулах (*), отличен от нуля.

6.37. Написать формулы преобразования аффинной системы координат в пространстве, если даны координаты нового начала координат и новых координатных векторов в старой системе:

а) е₁'(1,0,0), е'₂(2,4,0), е'₃(-3,1, ), О'(0,0,0);

б) е₁'(-1,1,0), е'₂(2,-1,0), е'₃(0,0, 5), О'(5,0,-2);

в) е₁'(-1,0,0), е'₂(0,1,0), е'₃(0,0, -1 ), О'(1,1,2);

г) е₁'(1,0,0), е'₂(0,1,0), е'₃(0,0, 1), О'(2,5,-1).

ПРИМЕР 6.6

Дан параллелепипед АВСDА₁В₁С₁D₁ и две системы координат

I =(А, , , ) и I I =(В, , , ). а) Выяснить, существуют ли точки, имеющие одинаковые координаты в этих системах координат; б) зная координаты точки М (1,-2,3) в I системе координат, найти координаты этой точки во I I системе координат.

РЕШЕНИЕ

а) 1. Составим формулы преобразования координат при переходе от системы координат I к системе координат I I. Для этого найдем координаты точки В в I системе координат и координаты векторов , , в базисе { , , }(Рис.6.2).

Рис. 6.2

В(1,0,0), (-1,0,1), (-2,0,1), (0,1,0).

Формулы преобразования координат имеют вид:

х = -1 х' +(-2)у' +0z' +1, х = - х'-2у' +1,

у = 0 х' + 0 у' + 1z' +0, или у = z', (*)

z = 1 х' + 1 у' + 0z' +0, z=х' + у' .

2. Выясним, существует ли точка, имеющая одинаковые координаты в обеих системах координат, для этого в формулах (*) отбросим штрихи. Получим систему

х = - х-2у+1

у = z

z=х+ у

Эта система имеет единственное решение х = 0, у = , z = .

Следовательно, существует единственная точка, имеющая

одинаковые координаты и в I и во I I системах координат, это

точка N(0, , )

б). Найдем координаты точки М (1,-2,3) во I I системе координат, для этого в формулы (*) подставим х = 1, у = -2, z = 3.

Получим систему

1 = - х'-2у' +1

-2 = z'

3 = х' + у' ,которое имеет решение х' =6,у'= -3, z'= -2.

Следовательно, точка М в системе координат I I имеет координаты М(6, -3,-2)_l .

ОТВЕТ. а) (0, , ), б) М(6, -3,-2)_.

6.38. Диагонали куба АВСDА₁В₁С₁D₁ пересекаются в точке О. Составить формулы преобразования координат точек при переходе от системы координат (А, , , ) к системе координат

(О, , , ).

6.39. Дан тетраэдр ОАВС. Составить формулы преобразования координат точек при переходе от системы координат (О, , , ) к системе координат (А, ).

6.40. Диагонали параллелепипеда АВСDА₁В₁С₁D₁ пересекаются в точке О, а диагонали граней АDD₁А₁, АВВ₁А₁, АВСD – соответственно в точках О₁, О₂, О₃. Составить формулы преобразования координат точек при переходе от системы координат (А, , , ) к системе координат (О, ).

6.41. Составить формулы преобразования координат точек при переходе от системы координат I = (О, е₁, е₂, е₃) к системе координат

а) (О', е₁, е₂, е₃) , где точка О'имеет координаты О'( 3,-4,8) в системе координатI;

б) (О, е₁', е₂', е₃'), где е₁' =4е₁ +3е₂ -6е₃, е₂'= -е₁ + е₂, е₃' = - е₁ - е₂ -5е₃.

6.42. Могут ли следующие формулы служить формулы преобразования координат:

а) х = х' -3у' +z',б)х' = х+1,в) х = у',

у = х' +у',у' = у – 3, у = х',

z = х' + 1; z' = z; z = х' + у' + z' + 1;

г) х = 3х' - у' + z', д) х = х' - у' + z' + 1,

у = 4х' - у' + 3, у = - х' - у' + 2z' + 2,

z = 7х' - 2у' + z' + 4; z = z' – 3.

6.43. Дан куб АВСDА₁В₁С₁D₁, сторона которого имеет длину а. Существует ли точка, имеющая одинаковые координаты в двух системах координат (А, i, j, k) и (С, i', j', k'), где векторы i, j, k сонаправлены соответственно с векторами , , а векторы i', j', k' сонаправлены соответственно с векторами , , .

6.44. В прямоугольном параллелепипеде АВСDА₁В₁С₁D₁ АВ = АD = а, АА₁ = b. Точка М – середина ребра СС₁. В системе координат (А, i, j, k) известны координаты точки Х(-10а,12а,3b). найти координаты точки Х с системе координат (М,i', j', k'), если векторы i, j, k сонаправлены соответственно с векторами , , , а векторы i', j', k' сонаправлены соответственно с векторами .