Пиши Дома Нужные Работы

Обратная связь

Ориентация плоскости. Угол между векторами на ориентированной плоскости.

В двумерном векторном подпространстве Ẁ2 даны два базиса

I = {е1, е2} и II = {е′1, е′2 }. Известны координаты базисных векторов второго базиса в первом базисе: е′1(а, b)I , е′2(c, d)I. Определителем перехода от базиса I ={е1, е2} к базису II ={е′1, е′2 } называется определитель ∆, составленный из координат векторов е′1, ′е′2 в базисее1, е2.

∆ = .

Определитель перехода от базиса I ={е1, е2} к базису II ={е′1, е′2} будем обозначать так: I / II.

Пусть даны любые три базиса I, II, III. Определители перехода обладают следующими свойствами:

1°) I / II 0,

2°) I / I = 1,

3°) (I / II) ( II / III) = I / III ,

4°) I / II = 1 : (II / I).

Если на множестве Ω всех базисов двумерного векторного подпространства задано бинарное отношение ρ так, что А ρ В, если определитель перехода от базиса А к базису В положителен А / В >0, то это бинарное отношение является отношением эквивалентности. При этом множество всех базисов Ω разбивается на два класса эквивалентности, каждый из которых называется ориентацией двумерного векторного подпространства.

Для любых двух базисов из одной ориентации определитель перехода от одного из этих базисов к другому положителен, а для любых двух базисов из разных ориентаций определитель перехода от одного из этих базисов к другом отрицателен. Двумерное векторное подпространство называется ориентированным, если зафиксирована одна из его ориентацией и названа положительной, а все базисы из неё правыми, тогда вторая ориентация называется отрицательной, а все базисы из неё левыми.

Если на плоскости выбрать две точки О1 и О2 и отложить от О1 векторы = е1 и = е2 ,а отО2 векторы = е′1и =е′2 ,то если данные базисы принадлежат одной ориентации, то повороты от вектора к вектору и от вектора к вектору происходят в одном направлении (либо по часовой стрелке, либо против часовой стрелки) , а если базисы принадлежат разным ориентациям, то эти повороты происходят в разных направлениях.



Е′1
е1
е2
е1  
е2
О1
О2
Е1
Е2
Е′2

Рис. 2.2

На рисунке 2.2 изображены базисы из одной ориентации

Е′2
е1
е2
е2  
е1
О1
О2
Е1
Е2
Е′1

Рис. 2.3

На рисунке 2.3 изображены базисы из разных ориентаций.

Плоскость называется ориентированной, если соответствующее векторное двумерное подпространство (т.е. множество всех векторов, параллельных этой плоскости) ориентировано. Тогда, если базис{ е1, е2 }правые (левый) , то и система координат (О, е1, е2) правая (левая).

Направленным углом между неколлинеарными векторами аиb на ориентированной плоскости называется угол между этими векторами, взятый со знаком плюс, если базис {а,b} - правый и со знаком минус, если базис {а,b} – левый. Направленный угол между ненулевыми сонаправленными векторами считается равным 0º, а направленный углом между противоположно направленными векторами считается равным 180º.

Если в правом ортонормированном базисе даны координаты векторов а1, а2) и b(b1,b2) и φ – направленный угол между ними, то

___а1b1 + a2b2_____

cos φ = ,

___а1b2 - a2b1_____

sin φ =

2.34. М – точка пересечения диагоналей параллелограмма АВСD . Базис { , } принадлежит положительной ориентации. Какой ориентации принадлежат базисы : а) { }; б) { }; в) { } ?

2.35. О – точка пересечения медиан треугольника АВС. Базис { } – правый. Перечислить все правые и все левые базисы, связанные с этим треугольником.

2.36. Дан базис {е1, е2} и векторы а(1,-1),b(2,3), с(0,4), d(-5,1)

Вычислить определители перехода: а) от базиса {е1, е2} к базису {а, b};

б) от базиса {а, b} к базису {с,d}.

2.37. Зная координаты векторов а и b в правом базисе {е1, е2}, определить является ли базис {а, b } правым или левым: а) а(2,3), b (4,-1); б) а(-1,0), b (0,-1);

в) а(3,1), b (2,1); г) а(2,8), b (3,-2).

2.38. Дан квадрат АВСD и базисы Ι = { }, Ι Ι = { },

Ι Ι Ι = { }. Вычислить определители перехода от базиса Ι к базису

Ι Ι и от базиса Ι к базису Ι Ι Ι. Зная, что базис Ι правый, определить какими будут базисы Ι Ι и Ι Ι Ι.

2.39. АВСDEF – правильный шестиугольник. Даны базисы Ι = { , },

Ι Ι ={ }, Ι Ι Ι = { }. Проверить, что определители перехода удовлетворяют условию (Ι│Ι Ι) (Ι Ι│Ι Ι Ι) = (Ι Ι Ι Ι).

2.40. Найти направленный угол между векторами а иb, зная их координаты в ортонормированном правом базисе: а) а(-1,2), b (-1,-3); б) а(-1,2), b (1,3);

в) а(- , 3), b (0,1).

2.41. Зная координаты вершин треугольника АВС в ортонормированном правом базисе, найти наибольший направленный угол этого треугольника: а) А(5,2), В(1,-1), С(-6,3); б) А(4,8), В(10,6), С(-2,1).

2.42. Найти координаты вектора а в ортонормированном правом базисе

(i, j), если: а)│а│ = 3, направленный угол (i, а) равен 30°; б) │а│ = 5, направленный угол (i, а) равен 135°; в) │а│ = 1, направленный угол (i, а) равен -60°.

 

 






ТОП 5 статей:
Экономическая сущность инвестиций - Экономическая сущность инвестиций – долгосрочные вложения экономических ресурсов сроком более 1 года для получения прибыли путем...
Тема: Федеральный закон от 26.07.2006 N 135-ФЗ - На основании изучения ФЗ № 135, дайте максимально короткое определение следующих понятий с указанием статей и пунктов закона...
Сущность, функции и виды управления в телекоммуникациях - Цели достигаются с помощью различных принципов, функций и методов социально-экономического менеджмента...
Схема построения базисных индексов - Индекс (лат. INDEX – указатель, показатель) - относительная величина, показывающая, во сколько раз уровень изучаемого явления...
Тема 11. Международное космическое право - Правовой режим космического пространства и небесных тел. Принципы деятельности государств по исследованию...



©2015- 2024 pdnr.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.