Скалярное произведение векторов.

Скалярным произведениемвекторов а и b называется число, равное произведения длин этих векторов и косинуса угла между ними

а b = │а││b│cos (аb).

Скалярное произведение векторов обладает следующими свойствами: для любых векторов а,b, c и любого числа λ

1) а b = b a, 2) (a + b)c = a c + b c, 3) (λ a) b = a (λ b) = λ (a b).

Если известны координаты векторов а и b в ортонормированном базисе {i, j, k } а(а₁,а₂,а₃), b(b₁,b₂,b₃), то имеют место формулы

a b = а₁ b₁ + а₂ b₂ + а₃ b₃, │а│=

cos (а,b) =

1.42. АВСD – ромб с углом А равным 60° и стороной АВ равной 4. Найти скалярное произведение .

1.43. М – точка пересечения медиан равностороннего треугольника АВС со стороной равной 2. Найти скалярное произведение .

1.44. АВСD – квадрат стороной равной 5. Найти скалярное произведение .

ПРИМЕР 1.9

Даны неколлинеарные векторы аиb.Дать геометрическое истолкование формулы (а + b)² + (а – b)² = 2(а²+ b ² )

РЕШЕНИЕ

Рис.1.9

От произвольной точки А отложим векторы = а, = b и построим параллелограмм АВСД (Рис.1.9). Тогда = = а, = = b , = а + b, = а – b. Так как скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины, то (а + b)² =

|а + b |² = | |² =| АС |², (а – b)² = |а - b |² = | |² = | DВ |² ,

а² =| а|² = | |² =| |² = | АВ |² =| DС |², b ² =|b |² = | |² =| |² =

| АD |² =| ВС |².

Следовательно, данное равенство(а + b)² + (а – b)² = 2(а²+ b ² )

можно переписать в виде | АС |² + | DВ |² = | АВ |² + | АС |² +| АD |² +| ВС |².

Таким образом, данное в условии равенство имеет следующее геометрическое истолкование: в параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон. ■

1.45. Даны неколлинеарные векторы аиb . Дать геометрическое истолкование формул 1) (а + b)² - (а – b)² = 4а b, 2) (а + b) (а – b) = а²- b ² .

1.46. Какие из следующих равенств являются верными для любых входящих в них векторов 1) | а| а = а², 2) (а + b)² = а²+ 2а b + b ² ,

3) (а b)² = а²b ² ?

ПРИМЕР 1.10

Дан базис {е₁,е₂,е₃}. Зная координаты векторов а(а₁,а₂,а₃), b (b ₁, b ₂, b ₃), длины базисных векторов и углы между базисными векторами, выразить скалярное произведение векторов а и b.

РЕШЕНИЕ

Так как а(а₁,а₂,а₃), b (b₁, b ₂, b ₃), то по определению координат вектора, получим: а = а₁ е₁ + а₂ е₂ + а₃ е₃,b = b ₁ е₁ + b ₂ е₂ + b ₃ е₃. Тогда, подставив в скалярное произведение а bвместо векторов а и b их разложение по базисным вектора и используя свойства скалярного произведения, получим

а b = (а₁ е₁ + а₂ е₂ + а₃ е₃)( b ₁ е₁ + b₂ е₂ + b₃ е₃) = а₁ b ₁ (е₁ е₁) + а₂ b₂ (е₂ е₂) + а₃ b₃( е₃ е₃) +

(а₁ b₂ + а₂ b₁)(е₁ е₂) + (а₁ b₃ + а₃ b₁)(е₁ е₃) + (а₂ b₃ + а₃ b₂)(е₂ е₃) = а₁ b₁│е₁│² + а₂ b₂│е₂│² + а₃ b₃│е₃│² + (а₁ b₂ + а₂ b₁)│е₁││е₂│Соs (е₁,е₂) + (а₁ b₃ + а₃ b₁)│е₁││е₃│Соs (е₁,е₃) +(а₂ b₃ + а₃ b₂)│е₂││е₃│Соs (е₂,е₃).

ОТВЕТ.

а b= а₁ b₁│е₁│² + а₂ b₂│е₂│² + а₃ b₃│е₃│² + (а₁ b₂ + а₂ b₁) │е₁││е₂│Соs (е₁,е₂) +

(а₁b₃ + а₃ b₁)│е₁││е₃│Соs (е₁,е₃) +(а₂ b₃ + а₃ b₂)│е₂││е₃│Соs (е₂,е₃).

Таким образом, чтобы найти скалярное произведение векторов, зная их координаты в произвольном базисе, надо знать еще длины базисных векторов и углы между ними.

ЗАМЕЧАНИЕ Во всех задачах этого пункта будем считать, что дан ортонормированный базис

1.47. а(1,-1,3), b (2,4,-5), с(1,-2,1). Найти: 1) а b, 2) | с |, 3) Соs ( b, с).

4) (а + b + 5с) · (2b - 4с), 5) (а – b) ·(с – а).

ПРИМЕР 1.11

Дан треугольник АВС и ортонормированный базис. М ВС и ВМ : МС = 1 : 2, Р АС и АР : РС = 1 : 3. АМ ВР = АD . Найти Соs МDР, если (0,9,12), (12,24,36).

РЕШЕНИЕ

Рис.1.10

Угол МDР равен углу между векторами и или углу между сонаправленными с ними векторами и (Рис.1.10).Поэтому Соs МDР = Соs ( , ) =

( ) : | || |.

Найдем координаты векторов и . = = + .

Поэтому (3, -3, -3). = + = + = + ( + ) = + . Поэтому (4, 14,20).

Соs ( , ) = (12 - 52 – 60) : = - .

ОТВЕТ. Соs МDР = - .

1.48.В параллелограмме АВСD (-8,0,6), (-3,-4,0). Найти ВАD.

1.49. Дан базис{i, j, k}.Найти косинусы углов, образованных вектором а(5, - , 3) с базисными векторами i, j, k.

1.50. Дан тетраэдр АВСD. (1,4,1), (2,-3,-2), (0,5,0). Найти Соs ВАМ, где М – середина СD.

1.51. МАВСD – четырехугольная пирамида, основание которой – параллелограмм АВСD. К и Р – середины сторон АВ и ВС. (6,0,-4), (4,4,10), (1,-2,3). Найти: 1) | АС |; 2) Соs КМР.

1.52. В пространственном четырехугольнике АВСD (1,6,-2),

(5,3,-1), (1,-7,-1). Доказать, что диагонали четырехугольника перпендикуляры.

1.53. Дан четырехугольник АВСD. (6,0,-8), (0,10,0), (-6,0,8). Доказать, что этот четырехугольник является квадратом.

1.54. Найти длину медианы АМ треугольника АВС и угол АМВ, если (1,-1,2), (3,5,-4).

1.55. Объяснить, почему для любых векторов а, b, с не выполняется равенство

(а b) с = а (b с) ? Найти все векторыа, b, сдля которых это равенство выполняется.

ПРИМЕР 1.12

АD – биссектриса треугольника АВС. Выразить вектор через векторы и .

РЕШЕНИЕ.

Рис. 1.11

1) = + = + х = + х ( – ) (Рис. 1.11)или

= + х ( - ) (1)

2) Найдем коэффициент х, для которого= х .Так как векторы

и сонаправлены, то коэффициент х положителен. Из определения произведения вектора на число получим, что || =│х│ | | = х | |, а отсюда следует, что

х = (2)

3) Так как АD – биссектриса треугольника АВС, то по свойству биссектрисы треугольника получаем, что

= (3)

= = - 1 или

= + 1 (4)

Из (3) и (4) следует, что = + 1 = , отсюда и из (2) получаем, что х = . Поставляем это значение х в (1) и получаем

= + . ( - ) = ( 1 - ) + или

= + (5)

ОТВЕТ. Если АД - биссектриса треугольника АВС, то

= + .

ПРИМЕР 1.13

АН – высота треугольника АВС. Выразить вектор через векторы и .

РЕШЕНИЕ.

Рис.1.12

1) = + = + х = + х ( – ) (Рис. 1.12) или

= + х ( - ) (1)

2) Найдем коэффициент х, для которого= х .

Так какАН – высота треугольника АВС, то АН ВС, значит ,поэтому скалярное произведение =0. Подставим в это соотношение вместо его выражение из (1), получим

( + х ( - )) = 0 , по свойству скалярного произведения можно раскрыть квадратные скобки + х ( - ) = 0, отсюда

x= илиx = - (2)

Подставим это значение х в формулу (1), получим

( (3)

ОТВЕТ.Если АН –высота треугольника АВС, то

(

ЗАМЕЧАНИЕ.

1) Упростить формулу (2), нельзя, т.к если числитель и знаменатель дроби есть скалярные произведения а в и в в,то это числа, равные произведению длин векторов на косинус угла между ними, кроме того в векторной алгебре нет действия деления вектор на вектор.

2) Упростить формулу (3), нельзя, т.к второе слагаемое можно переписать так:

но для скалярного произведения (а b) с а (b с), поэтому квадратные скобки во втором слагаемом формулы (3) переставить нельзя.

ПРИМЕР 1.14

Дан ортонормированный базис. В треугольнике АВС (3,0,4), (8,0,-6) Найти : а ) длину высоты АН; б) угол между медианой АМ и биссектрисой АD.

РЕШЕНИЕ

1) Найдем координаты вектора и его длину. По ПРИМЕРУ 1.3

( . Сначала найдем, чему равно число

х=

Так как (3,0, 4) (8, 0,-6), то ( – )(5,0,-10) и

х = = = .

Тогда = + ( – ), отсюда найдем координаты вектора .

(4, 0, 2), тогда │ │= = 2

2) Воспользуемся формулой Соs МАD =

3) Найдем координаты вектора и его длину.Так как = ( + ), то

( , 0, -1) и | | =

4) Найдем координаты вектора и его длину .

По задаче 12 = + .

Так как (3,0,4) (8, 0,-6), поэтому АВ =│ │= = 5, АС=│ │= =10, тогда = + ,поэтому

( , 0, )

и ││= =

5) Соs МАД = = = .

ОТВЕТ. |АМ| = , Соs МАD = .

1.56. Найти длины медианы АD и высоты АН треугольника АВС, если (0,4,0), (-3, 0,0).

1.57. В треугольнике АВС (2,1,3), (0,1,1) Найти косинус угла между медианой АМ и высотой АН.

1.58. АМ и АD медиана и биссектриса треугольника АВС. Найти косинус угла МАD, если (0,4,0), (-3, 0,0).

1.59. В треугольнике АВС АМ - медиана, АD –биссектриса, АН – высота. Найти длину АМ и косинус угла НАD, если (2,0,0), (0,0,4).

ЗАМЕЧАНИЕ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 1.60 – 1.65

Если дан многогранник, в котором известны длины трех некомпланарных ребер, выходящих из одной вершины, и углы между ними, то надо рассмотреть базис {а, b, с}, который порождается этими ребрам

ПРИМЕР 1.15

АВСD – правильный тетраэдр, длина ребра которого равна 2. М – середина медианы СN грани АВС. К – середина ребра DА. Найти угол между векторами и .

РЕШЕНИЕ.

1) Рассмотрим базис {а, b, с}, где а = , b = , с = .Так как данный тетраэдр правильный с ребром 2, то (а,b) = (а,с) = (с,b) =60° и значит

|а| =|b| =|с| = 2, а b = а с = b с = 2· 2 Cos 60° = 2. (*)

Рис.1.13

2) Разложим векторы и по базисным векторам (Рис.1.13).

= + = с + ( ) = с + (b – с + а – с) = а + b + с.

= = -b + а.

3) Для нахождения косинуса угла между векторами и найдем скалярное произведение этих векторов и их длины.

а) =( а + b + с) ( а – b) = (а + b +2с)(а -2b) =

(а² – аb -2b² +2ас –4сb).

Используя (*) получаем = (4 - 2 - 8 + 4 – 8) = - .

б) | |² = (а + b +2с)² = (а² + b² +4с² +2аb +4ас +4bс) = .

| |² = ( а -2b)² = (а² –4аb +4b²) =3.

Cos ( , ) = .

ОТВЕТ. Cos ( , ) = - .

1.60. В параллелепипеде АВСDА₁В₁С₁D₁ |АВ|= 2, |АD|= |АА₁| = 1, А₁АВ = А₁АD = 60°, ВАD = 30°. Найти длину ВD₁.

1.61. В прямоугольном параллелепипеде АВСDА₁В₁С₁D₁ |АВ|= а, |АD|=в, |АА₁| = с. Найти угол между прямыми АС₁ и В₁D₁.

1.62. В тетраэдре АВСД |АВ|= |АС|= |АD| = 3, ВАD = САD = 90°,

САВ = 60°. Найти длину ВМ, где М – середина DС.

1.63. В тетраэдре АВСD |DА| = 1, |DВ|= |DС| = 2, АDВ = АDС = 90°,

СДВ = 60°. Найти длину DМ, где М – точка пересечения медиан грани АВС.

1.64. В тетраэдре АВСD |DА|=1, |DВ|= 2, |DС| = 3, АDС = ВDС =

АDВ = 60°. Найти угол между DМ и ВС, где М – середина АВ.

1.65. В правильном тетраэдре АВСD, в котором |АВ| = 3, М – точка пересечения медиан грани АВС, Р – середина АD. Найти длину МР.