К решению задач элементарной геометрии

Применение теории прямой при решении задач элементарной геометрии состоит в следующем:

1) Удобным образом вводится система координат, если возможно – прямоугольная декартова;

2) Рассматриваемым точкам присваиваются координаты, составляются уравнения необходимых прямых; данные соотношения записываются в аналитическом виде;

3) С помощью соответствующих формул проводятся вычисления или доказательство;

4) Полученный результат формулируется в терминах элементарной геометрии.

ПРИМЕР 3.6.

Доказать, что в трапеции точка пересечения прямых, содержащих боковые стороны, точка пересечения диагоналей и середины оснований принадлежат одной прямой.

РЕШЕНИЕ.

Пусть АВСD – трапеция (АВ CD, АВ<CD), E и F – середины оснований АВ и CD, G- точка пересечения диагоналей, H - точка пересечения прямых, содержащих боковые стороны.

Введём аффинную систему координат : = , = (рис. 3.5).

Рис.3.5

Найдём координаты вершин трапеции и точек Е и F:

А(0, 1), В(b, 1), С(1, 0), D(0, 0) (заметим, что b<1, так как АВ<CD), E( , F .

Составим уравнения боковых сторон и найдём координаты их точки пересечения:

(AD): ; (BC): , или .

Координаты точки Н: , , т.е. Н .

Составим уравнения диагоналей и найдём координаты их точки пересечения:

(BD): =0, ,

(AC): =0, ,

G: , , , т.е. G .

Составим уравнение прямой (EF):

=0, , или =0.

Убедимся, что точки G и H принадлежат прямой (EF), для этого подставим координаты этих точек в уравнение прямой:

Для G: 2 , т.е. G (EF) ;

Для H: 2 0 – (b-1) , т.е. H (EF).

Итак, точки E, F, G и H лежат на одной прямой.

ПРИМЕР 3.7.

Доказать, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.

РЕШЕНИЕ.

Пусть АА₁, ВВ₁, СС₁ – прямые, содержащие высоты треугольника АВС, точки А₁, В₁, С₁ – основания высот.

Пусть АА₁ и ВВ₁ пересекаются в точке Н.

Рис.3.6

Введём прямоугольную декартову систему координат : , (рис.3.6).

Пусть А(α, 0), В(0, β), С(γ, 0). Заметим, что β≠0. Составим уравнение прямой (СС₁). Так как (СС₁) (АВ), то используем вектор нормали (-α, β):

или (СС₁): .

Аналогично составляем уравнение прямой (АА₁) :

или (АА₁):

Уравнение прямой : .

Найдём координаты точки Н=( ) :

, . Итак, Н .

Проверим принадлежность точки Н прямой ( ):

α , то есть Н .

Итак, высоты пересекаются в одной точке.

ПРИМЕР 3.8.

Вычислить расстояние между прямыми, содержащими противолежащие стороны ромба, если длины его диагоналей равны а и b.

РЕШЕНИЕ.

Пусть АВСD – ромб, О – точка пересечения его диагоналей.

Введём прямоугольную декартову систему координат : так, чтобы ∣∣OC, j ∣∣ OB (рис. 3.7).

Тогда А(- , C( , 0), B(0, ), D(0, - ). Найдём расстояние от точки А до прямой (СD) по формуле

Для этого запишем уравнение прямой (СD),

например, в отрезках:

+

или . Рис. 3.7

Тогда ρ(A, (DC)) = = .

.

ОТВЕТ: .

ПРИМЕР 3.9.

Пусть ВВ₁ – биссектриса треугольника АВС. Докажите, что = .

РЕШЕНИЕ.

Пусть О – основание высоты, проведённой из вершины В к стороне АС треугольника АВС (возможно, точки О и А совпадают).

Рис. 3.8

Введём прямоугольную декартову систему координат следующим образом: ∣∣OC, j ∣∣ OB (рис. 3.8). Зададим координаты вершин: А(а,0), В(0,b), С(с,0). Обозначим длины сторон АВ и ВС через m и n. Найдём координаты точки В₁ как точки пересечения биссектрисы угла АВС и прямой АС.

Найдём какой-нибудь вектор, направленный по биссектрисе угла АВС. В примере 1.4 доказано, что таким вектором является вектор

(a, -b), = = m;

(c, -b), = = n;

или

Для того чтобы составить уравнение биссектрисы, можно взять вектор, коллинеарный вектору , например ( , ).

Составим уравнение прямой ( ):

или

Найдем координаты точки : прямая (АС) в данном случае является осью абсцисс, поэтому ордината точки равна нулю:

откуда

Итак, . Тогда найдём длины отрезков и :

,

, или в координатах , откуда .

Значит, = = .

3.61. Докажите, что центр S описанной окружности, ортоцентр Н и центр тяжести (G) произвольного треугольника лежат на одной прямой (прямая Эйлера).

3.62. Даны длины сторон остроугольного треугольника АВС: АВ=5, АС=7 и длина высоты ВВ₁ = 4. Найти длину перпендикуляра, проведенного из вершины В к медиане АМ.

3.63. Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершин.

3.64. В плоскости треугольника АВС дана произвольная точка М. Построены точки Р, N, К, симметричные точке М относительно середин сторон ВС, СА, АВ треугольника. Докажите, что прямые АР, ВN, СК пересекаются в одной точке.

3.65. Пусть ВВ₂ – биссектриса внешнего угла треугольника АВС. Докажите, что = .

ОТВЕТЫ

3.1.Для оси Оу общее уравнение: ; параметрические уравнения: , .

3.2.а) б) .

3.3.а) М , N ; б) 4; в) 1; г) ( , 0) и (0, -5); д) (1, 2), (-2, -4); е) х=2+t, y= - 2+2t; ж) y = 2х – 5 ; з) + =1; и ) 2х – у – 9 =0.

3.4.а) (4, -1); б) (11, -1), (-1, 2), (-9, 4), (-5, 3); в) с Ох: t = 2, с Oy: t = ; г) М₂, М₃.

3.5.а) , (0, -5); б)(-4, 0), (0, -2); в) (-3, 0), (0,2); г) , ; д) , ; е) , (0, 0); ж) (3, 0), ; з) ; (0, -5).

3.6.а) 3х – 2у + 7 =0, у – 2 =0, 3х + 2у – 13=0; б) у – 5 = 0, 3х + 2у – 1 =0, 3х – 2у – 5 =0.

3.7. 2х – 5у + 2 = 0, х + 3у + 12 = 0, 3х – 2у – 8 = 0.

3.8.а) у – 5 = 0; б) х + 1 = 0.

3.9.а) х = - 2 + 5t, y = 3 + 2t; б) х = 3t, y = - 2 – 2t ; в) х= 1 + t, y = - 3.

3.10. а) 2х – у – 1 = 0; б) х + 2у – 3 = 0.

3.11. 2х + у – 7 = 0.

3.12. + = 1.

3.13. х – у – 7 = 0, х – 2у – 10 = 0.

3.14. а) ; б) .

3.15. 3х + 2у – 3 = 0.

3.16. х – 1 = 0, 2х – 3у + 8 = 0, 2х + 3у – 12 = 0.

3.17. 2 х – 5у + 29 = 0.

3.18. а) х + 2у – 5 = 0; б) 2х – 3у – 14 = 0.

3.19. (- , ).

3.20. (0, -8), ( , 0).

3.21. 3х + 4у – 17 = 0, 2х – 5у + 27 = 0, 3х – 4у – 1 = 0.

3.22. (5, 7).

3.23. а) х + 7у – 11 = 0; б) 7х – у – 27 = 0; в) 18х + у + 2 = 0; г) 3х – 4у – 8 = 0.

3.24. (0, - 4), (-4, 4), (2, 2), (-6, -2).

3.25. а) у= - 3х +2; б) у = х – 3; в) у= 3х – 1; г) у = - 2х; д) у = 4.

3.26. а) k = -2, b = -5; б) k = , b=2; в) k = -1, b=0; г) k = 0, b = - ; д) не является уравнением с угловым коэффициентом.

3.27. а) - 45 ; б) 45 ; в) - 60 .

3.28. а) проходит через начало координат; б) пересекает оси Ох и Оу;

в) параллельна оси Оу; г) параллельна оси Ох; д) проходит через начало координат; е) совпадает с осью Оу.

3.29. 2 и - .

3.30. а) б) в) .

3.31. Пересекаются: а), в), е), ж); параллельны: б); совпадают: г), д).

3.32. 2х – 7у + 1 > 0.

3.33. x – 3у – 1 > 0.

3.34. а), г).

3.35. АС и ВС.

3.36. Указание. 1-й способ. Отрезки пересекаются, только если точки А и В лежат по разные стороны от прямой (CD) и точки C и D лежат по разные стороны от прямой (АВ). 2-й способ. Отрезки пересекаются, только если (АВ, М) 0 и (CD, М) , где М - точка пересечения прямых (АВ) и (CD). а) имеют; б) имеют.

3.37. М₁, М₃, М₄.

3.38.

3.39.

3.40. а) ; б) .

3.41. а) (2х-у-5)(х+3у+7)>0; б) ; в) М₁ и М₂.

3.42. а) 5; б) ; в) ; г) .

3.43. Расстояние между параллельными прямыми – это расстояние от точки, принадлежащей одной из этих прямых, до другой прямой. а) , , 3 ; б) .

3.44. а) 5; б) 2; в) 3 .

3.45. и

3.46. 2х – у + 5 = 0 и х + 2у – 5 = 0. Указание. Пусть уравнение касательной l имеет вид Ах+Ву+С=0. Так как точка М , то С = А – 3В и l: Ах+Ву+А-3В=0. Так как расстояние от центра окружности до касательной равно , то , откуда при В=1 (В не может быть равно 0) получаем А₁= -2 и А₂ = .

3.47. х – у + 2 + 2 = 0 и х – у + 2 – 2 = 0.

3.48. а) х – 7у + 6 = 0 и 7х + у + 4 = 0; б) 12х + 8у – 7 = 0. Указание. а) Пусть каждая точка искомого множества имеет координаты (х, у). Тогда из равенства расстояний от каждой из этих точек до данных прямых получаем: , откуда 3х+4у – 1 = 4х – 3у+5 или 3х + 4у – 1 = - 4х + 3у – 5. б) Аналогично.

3.49. а) 9х – 9у + 13 = 0. Указание. Область того угла между прямыми 2х – у + 7 = 0 и 3х – 6у – 8 = 0, в котором лежит точка М(1, 2) , аналитически задаётся системой неравенств . Это надо учесть, раскрывая модули в равенстве = . Аналогично: б) 2х + 4у – 3=0; в) 6х – 13 = 0.

3.50. 2х – 2у + 17 = 0.

3.51. Центр (10, 0), радиус равен 5.

3.52. а) (х – 3,5)² + (у + 1)² = ; б) (х – 3,5)² + (у + 1,5)² = .

3.53. а) -0,5; б) 1; в) - ; г) -1.

3.54. 3х – 2у – 7 = 0 и 3х + 2у + 1 = 0.

3.55. х – 2у – 6 = 0 и 2х + у – 7 = 0.

3.56. Указание. Покажите, что в заданном треугольнике есть углы, тангенсы которых равны.

3.57.

3.58.

3.59.

3.60. Указание. Использовать свойство биссектрисы угла: стороны угла симметричны относительно его биссектрисы. Пусть АВС – треугольник, тогда данная прямая l – биссектриса угла при вершине С (так как точки А и В не принадлежат этой прямой). Если точку А отразить от прямой l, то получим точку А`, принадлежащую прямой ВС. Если отразить точку В от прямой l, то получим точку В`, принадлежащую прямой АС.

3.61.

ГЛАВА VI.