Расстояние от точки до плоскости Угол между двумя плоскостями

Пусть в прямоугольной декартовой системе координат заданы плоскость

a: A x + B y + C z + D = 0 и точка М₀(x₀,y₀,z₀). Расстояние от точки М₀ до плоскости a вычисляется по формуле

(7.10)

Две пересекающиеся плоскости образуют четыре двугранных угла. Любой из этих углов называется углом между данными плоскостями.

Если в прямоугольной декартовой системе координат плоскости заданы

уравнениями: a: A₁ x + B₁ y + C₁ z + D₁ = 0 и b: A₂ x + B₂ y + C₂ z + D₂ = 0, то

векторы и являются нормальными векторами этих плоскостей и угол между ними равен одному из углов, образованных плоскостями. Следовательно, уголмежду плоскостями a и b находится по формуле:

(7.11)

Равенство:

A₁ A₂ + B₁ B₂ + C₁ C₂ = 0 (7.12)

есть необходимое и достаточное условие перпендикулярности этих плоскостей.

ПРИМЕР 7.4Найти длину перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость 2 x – 2 y – z – 12 = 0. .(Система координат прямоугольная декартова).

РЕШЕНИЕ

Очевидно, длина перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость равна расстоянию от этой точки до плоскости, поэтому можно воспользоваться формулой (7.10) для данной точки и данной плоскости.

= 4.

ОТВЕТ. 4.

ПРИМЕР 7.5 Написать уравнение биссекторной плоскости двугранного угла, образованного плоскостями: 6 x – 4 y + z – 5 = 0 и 2 x + y – 2 z + 1 = 0, который содержит начало координат.

РЕШЕНИЕ.

Биссекторная плоскость двугранного угла состоит из точек, равноудаленных от указанных плоскостей. Следовательно, точки искомой плоскости удовлетворяют равенству:

Двугранный угол, образованный этими плоскостями, содержащий начало координат, определяется системой неравенств:

6 x – 4 y + z - 5 < 0

2 x + y – 2 z + 1 > 0.

Учитывая эти условия при раскрытии модулей, получим равенство:

-(6 x – 4 y + z - 5) = 2 x + y – 2 z + 1

ОТВЕТ 12x-y-5z-2=0.

ПРИМЕР 7.6Через точку М(3,7,-7) проведены две плоскости. Одна из них содержит координатную ось OZ, другая – ось OY. Вычислить косинус угла между этими плоскостями. (Система координат прямоугольная декартова).

РЕШЕНИЕ

. Т.к. точка О(0,0,0) принадлежит первой (и второй ) плоскости, а векторы и - базисный вектор оси OZ – ей параллельны, то каноническое уравнение первой плоскости будет:

.Это уравнение приводится к виду: 7 x – 3 y = 0

Следовательно, нормальный вектор этой плоскости есть вектор 7,-3,0)

Вторая плоскость также содержит точку О(0,0,0), а ее направляющие векторы и базисный вектор . Уравнение второй плоскости имеет вид:

. Это уравнение приводится к виду: 2 x + 3 z = 0.

Следовательно, нормальный вектор этой плоскости (2,3,0).

Согласно формуле (7.11) для угла j между этими плоскостями получим

О Т В Е Т j = .

7.34. Найти расстояния от точек М₁(-3,-1-5), М₂(1,-2,7), М₃(5,6,1), М₄(-1,-1,0) до плоскости 10 x – 11 y + 2 z – 1 = 0. .(Система координат прямоугольная декартова).

7.35. Вычислить расстояние от начала координат до плоскостей:

а) 10 x – 11 y + 2 z – 1 = 0; в) 2 x – y + 2 z – 6 = 0;

б) 3 x – 4 y + 15 = 0; г) z – 7 = 0.

(Система координат прямоугольная декартова).

7.36. Вычислить расстояние между параллельными плоскостями:

а) x – 3 y + 2 z + 1 = 0 и 2 x – 6 y + 4 z + 3 = 0;

б) 4 x – 6 y + 12 z – 21 = 0 и 2 x – 3 y + 6 z – 14 = 0;

в) x – y + 5 z + 27 = 0 и x – y + 5 z – 54 = 0;

г) x – 2 y + 2 z + 27 = 0 и x – 2 y + 2 z + 1 = 0.

(Система координат прямоугольная декартова).

7.37. Найти радиус сферы с центром в точке (1,1,1), касающейся плоскости

х – y + 2 z – 5 = 0. (Система координат прямоугольная декартова).

7.38. Даны вершины тетраэдра ABCD. Найти длину высоты, опущенной из вершины D в каждом из случаев.

а) А(1,0,0), В(0,1,0), С(0,0,1), D(0,0,0);

б) А(0,0,2), В(3,0,5), C(1,1,0), D(4,1,2).

в) A(-1,2,5), B(0,-4,5), C(-3,2,1), D(1,2,4).

(Система координат прямоугольная декартова).

7.39. Составить уравнение плоскости, параллельной данной плоскости и отстоящей от нее на расстояние 3 единиц для каждой из плоскостей:

а)2 x – y + 2 z + 1 = 0; в) 3 x – 4 y + 15 = 0;

б)10 x – 11 y + 2 z – 9 = 0; г) z – 7 = 0.

(Система координат прямоугольная декартова).

7.40. Две грани куба лежат в плоскостях x – 2 y + 2 z – 1 = 0 и 2 x – 4 y + 4 z -3 = 0. Вычислить объем куба. (Система координат прямоугольная декартова).

7.41.Написать уравнение плоскости, проходящей через точки М₁(1,1,2), М₂(-1,0,) и отстоящей от начала координат на . (Система координат прямоугольная декартова).

7.42.На оси ОХ найти точку, удаленную от плоскости x + 2 y – 2 z + 3 = 0 на расстояние d=5. (Система координат прямоугольная декартова).

7.43. На оси OZ найти точки равноудаленные от двух плоскостей: 5 x – 3 y + 5 z – 6 = 0 и

7 x – y – 3 z + 2 = 0 (Система координат прямоугольная декартова).

7.44. Написать уравнения плоскостей, делящих пополам двугранные углы между плоскостями:

а) 10 x – 11 y + 2 z = 0 и 5 x – 10 y + 10 z + 1 = 0;

б) 5 x – 3 y + 5 z – 7 = 0 и 7 x – y – 3 z + 2 = 0;

в) x + 3 y – 5 z – 15 = 0 и 5 x – y – 3 z – 7 = 0;

г) x – y + z + 1 = 0 и x + y – z – 3 = 0.

(Система координат прямоугольная декартова).

7.45.Составить уравнение плоскости, делящей пополам тот двугранный угол между плоскостями задачи 7.44, в котором лежит начало координат. (Система координат прямоугольная декартова).

7. 46. Известны координаты вершин тетраэдра ABCD. Вычислить объем тетраэдра в каждом из случаев:

а) А(1,0,0), В(0,1,0), С(0,0,1), D(0,0,0);

б) А(0,0,2), В(3,0,5), C(1,1,0), D(4,1,2);

в) A(-1,2,5), B(0,-4,5), C(-3,2,1), D(1,2,4).

(Система координат прямоугольная декартова).

7.47. Найти косинус угла между плоскостями:

а) x + y – z + 7 = 0 и x- y + z – 8 = 0;

б) 3 y – z + 6 = 0 и 2 x + z – 5 = 0;

в) 10 x +11 y -5 z + 3 = 0 и 2 x – y + 2 z – 6 = 0;

г) 3 x + y – 4 z – 11 = 0 и 2 x – 2 y + z + 4 = 0.

(Система координат прямоугольная декартова).

7.48. Определить, какие из следующих пар плоскостей перпендикулярны:

а) 2 x + 3 y – z + 11 = 0 и 9 x – y + 15 z – 6 = 0;

б) x + 5 y + 3 z – 4 = 0 и 5 x – 2 y + 2 z = 0;

в) 7 x – 5 y + z – 7 = 0 и 4 x – y – 33 z – 6 = 0;

г) 2 x – 5 y + 8 z + 5 = 0 и 5 x + 2 y - 9=0.

(Система координат прямоугольная декартова).

7.49.Определить, при каком значении l следующие плоскости будут перпендикулярными:

а) x + 2 y + 3 z – 7 = 0 и 3 x + l + 2 z – 5 = 0;

б) 3 x - l y + 2 z -11 = 0 и 3 x – y – 5 z – 7 = 0;

в) l x + y – 3 z + 7 = 0 и 7 x – 2 y – z – 5 = 0.

(Система координат прямоугольная декартова).

7.50. Найти косинусы углов, которые образуют данные плоскости с координатными плоскостями:

а) 2 x + y – 2 z – 6 = 0; в) 3 x – 6 y + 2 z – 7 = 0;

б) 11 x + 2 y – 10 z + 1 = 0; г) x - y + z – 8 = 0.

(Система координат прямоугольная декартова).

7.51. Найти направляющие косинусы следующих плоскостей:

а) x + y – z + 7 = 0; г) x- y + z – 8 = 0;

б) 10 x + 11 y – 2 z + 3 = 0; д) 2 x – y + 2 z – 6 =0.

в) 2 x – 3 y – 6 z + 5 = 0;

(Система координат прямоугольная декартова).

7.52. Проверить, что данные три плоскости взаимно перпендикулярны:

а) y – z + 6 = 0, x + y + z – 5 = 0 и 2 x – y – z + 8 = 0;

б) x + 2 y – z + 7 = 0, 2 x – y +4 = 0 и x + 2 y + 5 z – 3 = 0;

в) x + 9 = 0, x + 2 y + 3 z – 4 =0 и 4 x – 2 y + 7 = 0.

(Система координат прямоугольная декартова).

7.53.Через точки М(1,-2,-3) и N(0,-2,-4) провести плоскость, образующую угол с каждой из плоскостей:

а) x -1 = 0; в) x- y+z-8=0

б) x – 4 y + 8 z + 5 = 0;

(Система координат прямоугольная декартова).

7.54. Найти уравнение плоскости, которая проходит через ось OY и составляет угол с плоскостью x = y. (Система координат прямоугольная декартова).

7.55 Найти уравнение плоскости, которая проходит через ось OZ и составляет с плоскостью 2 x – 2 y + z – 8 = 0 угол, косинус которого равен (Система координат прямоугольная декартова).

7.56. Через точку (1,-2,-3) провести плоскость перпендикулярную плоскости

2 x – 5 y + 2 z – 1 = 0 и образующую с плоскостью x – 4 y + 8 z + 5 = 0 угол . (Система координат прямоугольная декартова).

7.57. Даны уравнения плоскостей, содержащих две грани куба: x – 2 y – 2 z + 4 = 0,

2 x + 2 y – z -13 = 0 и центр куба М(1,1,-2). Найти уравнения плоскостей остальных граней куба. (Система координат прямоугольная декартова).

7.58. Провести плоскость, проходящую через линию пересечения плоскостей

2 y – z = 0, x + y – z + 5 = 0 перпендикулярно плоскости 3 x – 2 y – z + 4 = 0. (Система координат прямоугольная декартова).

7.59. Провести плоскость перпендикулярно плоскости 2 x – 3 y + z – 4 = 0 и пересекающей ее по прямой, лежащей в плоскости YOZ. (Система координат прямоугольная декартова).

60. Перпендикулярно прямой x=t-2

y=-2t+5

z=2t-3

провести плоскость, касающуюся сферы x² + y² + z² = 49. (Система координат прямоугольная декартова).