Формулы преобразования координат.

На плоскости даны две системы координат Ι = (О, е₁, е₂) и Ι Ι = (О′, е′₁, е′₂).

О′ (х_о, у_о)_Ι, е′₁(а, b)_(е1,е2) , е′₂(c, d)_(е1,е2) .Если любая точка плоскости М имеет в первой системе координат координаты М(х, у), а во второй системе координат координаты М(х′, у′), то формулы, связывающие координаты точки М в первой и во второй системах координат, имеют вид

х = а х′ + с у′ + х_о,

у = bx′ + d у′ + у_о . (1)

Эти формулы называются формулами преобразования координатпри переходе от базисаΙ к базису Ι Ι.

Отметим, что в этих формулах столбец из коэффициентов при х′- это координаты вектора е′₁, столбец из коэффициентов при у′ - это координаты вектора е′₂, а столбец из свободных членов – это координаты точки О′.

Если даны две прямоугольные декартовы системы координат, принадлежащие одной ориентации, то формулы преобразования координат, при переходе от первой системы координат ко второй, имеют вид

х = х′ cos φ - y′ sin φ + х_о,

y = x′ sin φ + y′ cos φ + у_о . (2)

Если даны две прямоугольные декартовы системы координат, принадлежащие разным ориентациям, то формулы преобразования координат, при переходе от первой системы координат ко второй, имеют вид

х = х′ cos φ + y′ sin φ + х_о,

y = x′ sin φ - y′ cos φ + у_о. (3)

В формулах (2) и (3) φ – это направленный угол между векторами i и i′.

Формулы (2) и (3) называются формулами преобразования прямоугольных декартовых координат.

2.43. Составить формулы преобразования координат при переходе от системы координат Ι = (О, е₁, е₂) к системе координат Ι Ι = (О′, е′₁, е′₂):

а) О′ (0,2), е′₁(0,2), е′₂ (-7,0); б) О′ (1,1), е′₁(1,4), е′₂ (2,5).

2.44. Даны две системы координат Ι = (О, е₁, е₂) и Ι Ι = (М, е₁, е₂).Зная координаты точек А(2,3), В(-5,4), С(0,2), М(7,-1) в системе координат Ι, найти координаты точек А, В, С в системе координат Ι Ι.

2.45. АВСD – прямоугольник. Составить формулы преобразования координат при переходе от системы координат (А, , ) к системе координат (С, , ).

2.46. О – точка пересечения медиан треугольника АВС. Составить формулы преобразования координат при переходе от системы координат (О, , ) к системе координат (А, , ).

2.47. Составить формулы преобразования координат при переходе от системы координат Ι = (О, е₁, е₂) к системе координат Ι Ι = (О′, е′₁, е′₂ٰ), зная координаты точки О′ в Ι системе координат О(1,0) и координаты векторов е′₁, е′₂ в базисе (е₁, е₂) е′₁(1,1), е′₂(0,2).

2.48. Даны две системы координат Ι = (О, е₁, е₂) и Ι Ι = (О, е′₁, е′₂ٰ) с общим началом. Даны координаты е′₁(1,-1) ,е′₂(2,5) в базисе (е₁, е₂). Зная координаты точки М(-3,1) в системе координат Ι , найти координаты этой точки в системе координат Ι Ι .

2.49. Дан параллелограмм АВСD с центром О и две системы координат

Ι = (А, , ), Ι Ι = (О, , ). Составить формулы преобразования координат при переходе от системы координат Ι к системе координат Ι Ι.

2.50. Записать формулы преобразования координат при переходе от системы координат (О, i, j) к системе координат (Оٰ, i′, j′ٰ) в каждом из следующих случаев:

а)i′= i+ j,О′ (-3, ) и обе системы координат принадлежат одной ориентации; б) направленный угол между векторами i и i′равен30° , О′ (0,-2) и данные системы координат принадлежат разным ориентациям.

2.51. АВСD – квадрат с центром О и единичной стороной. Даны две системы координат Ι = (А, , ) и Ι Ι =(О, i , jٰ) , где i ↑↑ , jٰ↑↑ . Точка М имеет координаты М( ,3 ) во Ι Ι системе координат. Найти координаты точки М в Ι системе координат.

ПРИМЕР 2.5

АВСD – параллелограмм с центром М. Выяснить существуют ли точки, имеющие одинаковые координаты в двух системах координат

Ι =(В, , ) и Ι Ι =(М, , ).

РЕШЕНИЕ

Рис. 2.4

1) Найдем координаты точки М в первой системе координат. Так как

= , то М(0, ) _Ι

2) Найдем координаты векторов и в базисе ( , ) (Рис.2.4)

= = – , следовательно, (-1, ) _{Ι Ι}

= - , следовательно, (0, - ) _{Ι Ι}

3) Составим формулы преобразования координат при переходе от первой

системы координат ко второй

х = - х′ + 0 у′ + 0

у = х′ - у′ + (1)

4) Найдем точки, которые имеют одинаковые координаты в данных системах координат, т.е. точки, для которых х = х′, у = у′ . Для этого в формулах (1) подставим вместо х′ х, а вместо у′ у, получим систему уравнений

х = - х

у = х – у + .

Эта система имеет единственное решение х = 0, у = , Следовательно, существует единственная точка М(0, ), имеющая одинаковые координаты в двух данных системах координат.

ОТВЕТ. М(0, )

2.52.В треугольнике АВС О – точка пересечения медиан. Найти точки, имеющие одинаковые координаты в системах координат (А, , ) и (О, ).

2.53. АВСDEF – правильный шестиугольник. Зная координаты точки М(2,1) в системе координат (А, , ), найти координаты точки М в системе координат

(С, , ).

2.54. АВСDEF – правильный шестиугольник с центром О. Даны две системы координат Ι = (В, , ) и Ι Ι = (Е, ). Зная координаты точки М(4,3) во Ι Ι системе координат, найти координаты точки М в Ι системе координат.

2.55. АВСD – квадрат с центром О. Существуют ли точки, имеющие одинаковые координаты в системах координат (С, , ) и (О, , )?

2.56. ОС – высота прямоугольного треугольника ОАВ с катетами

ОА = 3, ОВ = 1. М – середина АВ. Составить формулы преобразования координат при переходе от систему координат (О, i, j) к системе координат (М, i′, j′ٰ), где , i ↑↑ , j ↑↑ , i′ ↑↑ , j′↑↑ .

Полярные координаты.

Полярной системой координат на ориентированной плоскости называется объединение точки О и единичного вектора i, (О,i).

Полярными координатами любой точки М О в полярной системе координат (О, i) называются два числа М(ρ, φ), где ρ = │ОМ│, φ – направленный угол между векторами и i.

ПРИМЕР 2.6

Дана полярная система координат и две точки А(ρ₁, φ₁), В(ρ₂,φ₂).

Найти расстояние между этими точками.

РЕШЕНИЕ.

Рассмотрим правую прямоугольную декартову систему координат

(О,i, j). Найдем прямоугольные декартовы координаты точек А и В, используя формулы х = ρ Cos φ, у = ρ Sin φ .Получим А(ρ₁ Cos φ₁, ρ₁ Sin φ₁),

В(ρ₂ Cos φ₂, ρ₂ Sin φ₂). Теперь найдем расстояние между точками А и В в системе координат (О,i, j).

│АВ│= =

= =

= .

ОТВЕТ │АВ│= .

2.64. Вычислить расстояние между точками А и В в полярное системе координат:

а) А(2, ), В(5, ); б) А(4, ), В(6, - ); в)А(3, ), В(4, ).

2.65.Зная полярные координаты вершин треугольника А(5, ),

В(8, ), С(3, - ), доказать, что треугольник равносторонний.

2.66. Зная полярные координаты вершин треугольника А(2 , ), В( , ),

С(4 + , ), доказать, что треугольник прямоугольный.

ПРИМЕР 2.7

Определить, какое множество в полярной системе координат задано уравнением Cos φ = Sin φ.

РЕШЕНИЕ

Перепишем данное уравнение в прямоугольных декартовых

координатах. Для этого используем формулы

Cos φ = , Sin φ = .

Тогда данное уравнении Cos φ = Sin φ в полярных координатах будет в прямоугольных декартовых координатах иметь вид

= , отсюда следует, что х = у.

Уравнение х = у в прямоугольных координатах задает прямую, содержащую биссектрису первого координатного угла между осями ОХ и ОУ.

ОТВЕТ. Уравнение Cos φ = Sin φ в полярной системе координат задает прямую, проходящую через начало полярной системы координат и составляющую угол с полярной осью [О, i). ■

2.67. В полярной системе координат составить уравнение окружности

с центром А(1, ) и радиуса 3.

2.68. Найти множество точек, уравнение которого в полярной системе координат, имеет вид: а) ρ Cos φ = 2; б) ρ = 10 Sin φ; в) ρ Sin φ = 1; г) Sin φ = .

ПРИМЕР 2.8

В правой прямоугольной декартовой системе координат (О,i, j), дано уравнение прямой х + 2у + 5 = 0. Найти уравнение этой прямой в полярной системе координат (О,i).

РЕШЕНИЕ

Используя формулы, связывающие прямоугольные координаты точки и ее полярные координаты х = ρ Cos φ, у = ρ Sin φ, запишем уравнение данной прямой в полярных координатах.

ρ Cos φ + 2ρ Sin φ + 5 = 0.

ОТВЕТ. ρ Cos φ + 2ρ Sin φ + 5 = 0.

2.69. Даны правая прямоугольная декартова система координат(О,i, j), и полярная система координат (О,i). Записать в полярной системе координат уравнения множеств точек, которые в прямоугольной декартовой системе координат имеют уравнения:

а) х – 3у = 0; б) у + 5 = 0; в) 2х² + у² = 5; г) 4х – у² = 0 .