Пиши Дома Нужные Работы

Обратная связь

Взаимное расположение двух прямых.

Если в l1: , l2: , то

1) прямые l1 и l2 совпадают Û = = ;

 

2) прямые l1 и l2 параллельны Û ¹ ;

 

3) прямые l1 и l2 пересекаются в одной точке Û .

 

В задачах этого раздела система координат аффинная, если не указано иначе.

ПРИМЕР 3.1.

Найти общие и параметрические уравнения координатной оси .

РЕШЕНИЕ.

Найдем общее уравнение оси . Эта ось задаётся вектором (1, 0) и проходит через точку – начало координат. Уравнение прямой будем искать в виде : , или , или .

Итак, (ординаты всех точек, принадлежащих оси , равны нулю).

Составим теперь параметрические уравнения этой оси.

или .

ОТВЕТ.Общее уравнение оси : .

Параметрические уравнения оси : .

 

3.1. Найти общее и параметрические уравнения координатной оси .

3.2. Найти уравнение прямой, а) проходящей через точку параллельно вектору б) проходящей через точки .

3.3. Дана прямая l: .

а) выяснить, принадлежат ли этой прямой точки М(1, 1) и N(2, -1);

б) найти абсциссу точки, имеющей ординату 3;

в) найти ординату точки, имеющей абсциссу 3;

г) найти координаты точек пересечения с осями координат;

д) найти координаты каких-нибудь двух направляющих векторов

этой прямой;

е) найти параметрические уравнения прямой l;

ж) найти уравнение прямой l с угловым коэффициентом;

з) Найти уравнение прямой l в отрезках;

и) Найти уравнение прямой, параллельной прямой l, и проходящей через точку

К(5, 1).

3.4. Прямая задана параметрическими уравнениями . Найти

а) направляющий вектор данной прямой;

б) координаты точек, имеющих параметры , ;

в) параметры точек пересечения данной прямой с осями координат;

г) среди точек М1(-3, 1), М2(3, 1), М3(15, -2), М4(2, 2) те, которые принадлежат



данной прямой.

3.5. Даны прямые: а) ; б) ; в) г) д) ; е) ; ж) з) . Найти координаты точек пересечения каждой из этих прямых с осями координат. Построить эти прямые, предварительно изобразив аффинную систему координат.

3.6. Даны вершины треугольника АВС: А(1, 5), В(-1, 2), С(3, 2). Найти уравнения:

а) сторон[1] треугольника;

б) прямых, проходящих через вершины треугольника параллельно противоположным

сторонам.

3.7. Даны середины сторон треугольника АВС: М(2, -1), К(-3, -3), Р(-1, 0). Найти уравнения его сторон.

3.8. Найти уравнение прямой:

а) проходящей через точку А(3, 5) параллельно оси ;

б) проходящей через точку В(-1, 2) параллельно оси .

3.9. Найти параметрические уравнения прямой:

а) проходящей через точку Р(-2,3) параллельно прямой ;

б) проходящей через точки (0, -2) и (3, - 4);

в) проходящей через точку (1, -3) параллельно оси .

3.10. Найти уравнение прямой, симметричной данной прямой относительно начала координат: а) б) .

3.11. По параметрическим уравнениям прямой l: Найти её общее уравнение.

3.12. Найти уравнение в отрезках прямой, проходящей через точки (3/2, -1),(6, 2).

3.13. Даны уравнения и смежных сторон параллелограмма и точка М(3, -1) пересечения его диагоналей. Найти уравнения двух других сторон.

3.14. Найти уравнения сторон ВС и СА треугольника АВС, если его вершины А, В и центр тяжести М заданы координатами: а) , ; б) , .

3.15. Найти уравнение прямой, проходящей через точку М(-1, 3) и перпендикулярной прямой .

3.16. Даны вершины треугольника АВС: А(1, 5), В(-1, 2), С(3, 2) в . Найти уравнения высот треугольника.

3.17. Точка Н(-2, 5) является основанием перпендикуляра, проведённого из начала координат к прямой l. Найти уравнение прямой l.

3.18. Найти уравнение серединного перпендикуляра отрезка с концами в точках А и В: а) А(0,0), В(2, 4); б) А(2,1), В(6, -5).

3.19. На прямой , заданной в , Найти точку, равноудалённую от точек А(-2, 5) и В(0, 1).

3.20. На осях координат найти точки, равноудалённые от точек (7, 1) и (-3, 3) .

3.21. Даны две вершины треугольника АВС А(-1, 5), В(3,2) и точка Н(5, -3) пересечения его высот в . Составить уравнения сторон этого треугольника.

 

ПРИМЕР 3.2.

Определите координаты точки, симметричной началу координат относительно прямой l: .

 

РЕШЕНИЕ.

Чтобы построить точку О`, симметричную точке О относительно прямой l, проведём через О прямую р, перпендикулярную l, найдём точку пересечения прямых р и l, а затем на прямой р найдём точку О` так, чтобы точка была серединой отрезка ОО`.

Теперь те же действия выполним аналитически.

1. Составим уравнение прямой р: вектор нормали (1, -4) прямой l будет направляющим для прямой р, поэтому

2. Найдем координаты точки . Для этого решим систему двух уравнений:

, откуда

3. Найдём точку О`, зная что – середина отрезка ОО`:

, =4, откуда

ОТВЕТ: О`(-2, 8).

ЗАМЕЧАНИЕ. Удобно составлять уравнение прямой р в параметрическом виде: . Тогда координаты точки вычисляются через параметр t:

 

откуда , а, значит, (-1, 4). Точку О` находим также, как в пункте 3 решения примера.

 

3.22. Определите координаты точки, симметричной точке М(2, -5) относительно прямой .

3.23. Даны вершины треугольника АВС: А(-4, -5), В(4, 1), С(- , 7) . Найти уравнения:

а) биссектрисы внутреннего угла при вершине В;

б) биссектрисы внешнего угла при вершине В;

в) медианы, проведенной к стороне АВ;

г) высоты, проведённой из вершины А.

3.24. Определите координаты вершин ромба, если известны уравнения двух его сторон и уравнение одной из его диагоналей .

3.25. Найти уравнение прямой:

a) отсекающей на оси Оу отрезок b =2 и имеющей угловой коэффициент k= -3;

б) отсекающей на оси Оу отрезок b =-3 и имеющей угловой коэффициент k=1;

в) проходящей через точку А(2, 5) и имеющей угловой коэффициент k=3;

г) проходящей через начало координат и имеющей угловой коэффициент k= -2;

д) проходящей через точку С(-1, 4) и имеющей угловой коэффициент k= 0.

3.26. Найти угловые коэффициенты и отрезки, отсекаемые на оси Оу каждой из следующих прямых: а) ; б) ; в) г) ; д)

3.27. Найти углы наклона к оси Ох прямых, заданных в уравнениями: а) ; б) ; в)

3.28. Определите расположение относительно осей координат следующих прямых: а) ; б) в) ; г) ; д) е) ; ж)

3.29. При каком значении l прямые и параллельны?

3.30. Можно ли подобрать коэффициенты a и b так, чтобы прямые и : а) совпадали; б) были параллельны; в) пересекались?

3.31. Исследуйте взаимное расположение следующих пар прямых:

a) б) в) и ; г) ; д) и ; е) ; ж)

 

15. Геометрический смысл знака трёхчлена Ах+Ву+С

В аффинной системе координат на плоскости p неравенство

определяет ту полуплоскость W1 с границей l: ( ), которой принадлежит конец вектора (А, В), отложенного от любой точки прямой l.

Неравенство определяет дополнительную полуплоскость W2.

3.32. Найти неравенство, определяющее ту полуплоскость с границей , которой принадлежит конец вектора (2, -7), отложенного от любой точки данной прямой.

3.33. Найти неравенство, определяющее ту полуплоскость с границей , которой не принадлежит конец вектора (-1;3), отложенного от любой точки данной прямой.

ПРИМЕР 3.3.

Найти неравенство, определяющее ту полуплоскость с границей , которой принадлежит точка М(-1, 2).

 

РЕШЕНИЕ.

Подставим координаты точки М в трёхчлен : -1-3.2+4=3>0, следовательно, необходимая полуплоскость задаётся неравенством .

ОТВЕТ. .

 

3.34. Дана прямая l: . Определить, какие пары точек не принадлежат одной полуплоскости: а) А1(1, 0) и А2(-5, 6); б) В1(0,11) и В2(-5, 0); в) О(0, 0) и Р(1, 1); г) С1(1, 4) и С2(-4, 2).

3.35. Даны вершины треугольника А(-6, 3), В(8, 10), С(2, -6) и прямая l: . Определите, какие стороны треугольника пересекает эта прямая.

3.36. По координатам концов двух отрезков [AB] и [CD] выяснить, имеют ли они общую точку: а) А(3, 1), В(-2, 0), С(0, 1), D(-3, 2); б) А(1, 0), В(2, 4), С(3, 0), D (0, 6).

3.37. А(4, 6), В(0, -5), С(-2, 2). Выяснить, какие из следующих точек лежат внутри угла АСВ: М1(2, 0), М2(-2, 5), М3(6, 4), М4(7,0), М5(-6, 5).

Замечание. Внутренняя область угла АСВ – это пересечение двух полуплоскостей W 1 и W 2 , где W 1 – это полуплоскость с границей (АС), содержащая точку В, W 2 - полуплоскость с границей (ВС), содержащая точку А. Тогда аналитически внутренняя область угла задаётся системой двух неравенств, каждое из которых определяет W 1 и W 2 (рис.3.1)

 

Рис. 3.1

3.38. Треугольник задан уравнениями своих сторон: (АВ): ; (АС): ; (ВС): . Найти аналитические условия, определяющие внутреннюю область этого треугольника.

3.39. Даны пересекающиеся прямые и . Найти систему неравенств, определяющих внутреннюю область того угла между этими прямыми, которой принадлежит точка М(-4, 15).

3.40. Найти аналитические условия, определяющие полосу, образованную прямыми: а) и ; б) и .

 

ПРИМЕР 3.4.

Пусть прямые l1 и l2, заданные в уравнениями и , пересекаются, но не перпендикулярны. Доказать, что внутренние области двух вертикальных острых углов, образованных этими прямыми, характеризуются неравенством

( )( )( ) 0, ( )

а внутренние области двух вертикальных тупых углов - неравенством

( )( )( ( ).

 

РЕШЕНИЕ.

Заметим, что в неравенствах ( ) и ( ) величина А1А2 + В1В2 - постоянная, равная скалярному произведению векторов нормали и данных прямых. Пусть прямые l1 и l2 пересекаются в точке Р. Обозначим α острый угол между данными прямыми. Отложим векторы = , = .Пусть F1 и - области острых углов, F2 и - области тупых углов между данными прямыми. Точки N1 иN2 не могут попасть в область острого угла. Рассмотрим два случая.

1-й случай. Точки N1 иN2 попали в одну область тупого угла, например, в F2 (рис. 3.2).

Рис. 3.2

 

Тогда угол между векторами и равен α. Поэтому величина А1А2+В1 В2 >0 (поскольку А1А2+В1 В2 = ). Найдём аналитическое задание областей F1 и , F2 и .

Например, область F1 является пересечением полуплоскости с границей l1, не содержащей точку N1 , иполуплоскости с границей l2 ,содержащей точку N2 . Тогда аналитически область F1 задаётся системой неравенств:

Область F2 является пересечением полуплоскости с границей l1, содержащей точку N1, иполуплоскости с границей l2 ,содержащей точку N2. Тогда аналитически область F2 задаётся системой неравенств: .

Аналогично получаем аналитические задания областей и :

: , : .

Очевидно, неравенства ( ) и ( ) выполняются.

2-й случай. Пусть точки N1 иN2 попали в разные области F2 и тупых углов (см. рис.3.3)

 

Рис.3.3

В этом случае угол между векторами и равен 180 - α и А1А2 + В1 В2 0. Пусть N1 F2 , N2 . Составляем системы неравенств, определяющие области F1 и , F2 и и убеждаемся в справедливости неравенств( ) и ( ).

Случаи, когда N1 иN2 попадают в или N1 , а N2 F2 аналогичны рассмотренным.

3.41. В даны прямые l1: и l2: .

а) Найти аналитическое условие, определяющее области острых углов между l1 и l2;

б) найти косинус того угла между этими прямыми, в котором лежит точка М0(4, 1);

в) определить, какие из точек М1(3, 2), М2(0, 0), М3(8,0), М4(10, 6), М5(0, -5) и М6(-4, 3)

попадают в области тупых углов между прямыми.

 

16. Расстояние от точки до прямой

 

Расстояние от точки до прямой l: в вычисляется по формуле:

 

Во всех задачах этого раздела предполагается, что дана прямоугольная декартова система координат

 

3.42. Вычислить расстояние от точки М до прямой l:

а) М(2, 4), l: ;

б) М(1, 0), l: ;

в) М(-4, 5), l:

г) М(0, -1), l: , .

3.43. Даны вершины треугольника А(2, 5), В(1, 3), С(7, 0). а) Найти длины его высот; б) определить площадь треугольника.

3.44. Доказать, что расстояние между параллельными прямыми и вычисляется по формуле

Используя эту формулу, определить расстояние между следующими прямыми:

а) и ;

б) и ;

в) и .

3.45. Дана прямая . Найти уравнение прямой, параллельной данной и удалённой от неё на расстояние, равное 4.

3.46. Найти уравнения касательных к окружности 5, проходящих через точку М(-1, 3).

3.47. Найти уравнения касательных к окружности + =4, параллельных прямой , .

3.48. Найти уравнения множества точек, равноудалённых от прямых

а) ;

б) .

3.49. Найти уравнение биссектрисы того угла между прямыми l1 и l2, в котором лежит точка М:

а) l1: , l2: , М(1, 2);

б) l1: , l2: , М(1, 0);

в) l1: , l2: , М(0, 0).

3.50. Найти уравнение биссектрисы тупого угла между прямыми и .

3.51. Найти координаты центра и радиус окружности, вписанной в треугольник, заданный уравнениями своих сторон: , и .

3.52. Даны уравнения сторон треугольника: , , . Найти уравнения а) описанной; б) вписанной окружностей.

 

17. Угол между прямыми

 

В задачах этого раздела предполагается, что плоскость π ориентирована при помощи прямоугольной декартовой системы координат

Пусть и - две пересекающиеся прямые в плоскости π. Выберем и так, чтобы , .

Направленным углом между прямыми и называется направленный угол между векторами и : = , .

Если в , : , φ = то

 

Если : , то φ =

 

3.53. Найти тангенс угла, образованного двумя прямыми, заданными в определённом порядке своими уравнениями :

а) , ;

б) , ;

в) , ;

г) ,

 

ПРИМЕР 3.5.Через точку N(-1, 5) проведены две прямые, наклоненные к прямой l: под углом, тангенс которого равен . Найти уравнения этих прямых.

РЕШЕНИЕ.

Пусть а и с - искомые прямые, имеющие уравнения и + соответственно.

Рис. 3.4

 

Уравнение прямой l также запишем в виде ( ).

Зададим на плоскости направление обхода вершин полученного пересечением прямых а, с и l треугольника, например, против часовой стрелки (рис. 3.4). Тогда в паре прямых l и а прямую l будем считать первой прямой, а в паре прямых l и с прямую l будем считать второй прямой. Запишем формулы φ = для данных пар прямых.

1) Для l и а: = , откуда 4;

 

2) Для с и l: = , откуда = .

 

Уравнения прямых принимают вид:

а: , c: .

Свободные члены и найдём из условия принадлежности этим прямым точки

N(-1, 5):

5 = 4.(-1)+ , 5 = .(-1)+ ,

= 9, = 5

 

Тогда а: , c: .

ОТВЕТ: а: , c: .

 

3.54. Через точку Р(1, -2) проведены прямые, наклоненные к прямой под углом, тангенс которого равен . Найти уравнения этих прямых.

3.55. Найти уравнения катетов равнобедренного прямоугольного треугольника, зная уравнение гипотенузы и вершину прямого угла С(4, -1).

3.56. Докажите, что треугольник, заданный уравнениями своих сторон, является равнобедренным:

а)

б) .

3.57. Луч света направлен по прямой Дойдя до прямой , луч отразился. Найти уравнение прямой, на которой лежит отраженный луч.

3.58. Даны уравнения и соответственно основания и боковой стороны равнобедренного треугольника. Найти уравнение второй боковой стороны, если она проходит через точку М(1, -3).

3.59. Точка А(8, 8) является вершиной квадрата, диагональ которого лежит на прямой . Найти уравнения сторон и второй диагонали этого квадрата.

3.60. Даны две вершины треугольника А(1, 2), В(-3, 1) и уравнение биссектрисы. Найти уравнения сторон треугольника.

18. Приложение теории прямой






ТОП 5 статей:
Экономическая сущность инвестиций - Экономическая сущность инвестиций – долгосрочные вложения экономических ресурсов сроком более 1 года для получения прибыли путем...
Тема: Федеральный закон от 26.07.2006 N 135-ФЗ - На основании изучения ФЗ № 135, дайте максимально короткое определение следующих понятий с указанием статей и пунктов закона...
Сущность, функции и виды управления в телекоммуникациях - Цели достигаются с помощью различных принципов, функций и методов социально-экономического менеджмента...
Схема построения базисных индексов - Индекс (лат. INDEX – указатель, показатель) - относительная величина, показывающая, во сколько раз уровень изучаемого явления...
Тема 11. Международное космическое право - Правовой режим космического пространства и небесных тел. Принципы деятельности государств по исследованию...



©2015- 2024 pdnr.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.