|
|
Взаимное расположение двух прямых.Если в 1) прямые l1 и l2 совпадают Û
2) прямые l1 и l2 параллельны Û
3) прямые l1 и l2 пересекаются в одной точке Û
В задачах этого раздела система координат ПРИМЕР 3.1. Найти общие и параметрические уравнения координатной оси РЕШЕНИЕ. Найдем общее уравнение оси Итак, Составим теперь параметрические уравнения этой оси.
ОТВЕТ.Общее уравнение оси Параметрические уравнения оси
3.1. Найти общее и параметрические уравнения координатной оси 3.2. Найти уравнение прямой, а) проходящей через точку 3.3. Дана прямая l: а) выяснить, принадлежат ли этой прямой точки М(1, 1) и N(2, -1); б) найти абсциссу точки, имеющей ординату 3; в) найти ординату точки, имеющей абсциссу 3; г) найти координаты точек пересечения с осями координат; д) найти координаты каких-нибудь двух направляющих векторов этой прямой; е) найти параметрические уравнения прямой l; ж) найти уравнение прямой l с угловым коэффициентом; з) Найти уравнение прямой l в отрезках; и) Найти уравнение прямой, параллельной прямой l, и проходящей через точку К(5, 1). 3.4. Прямая задана параметрическими уравнениями а) направляющий вектор данной прямой; б) координаты точек, имеющих параметры в) параметры точек пересечения данной прямой с осями координат; г) среди точек М1(-3, 1), М2(3, 1), М3(15, -2), М4(2, 2) те, которые принадлежат данной прямой. 3.5. Даны прямые: а) 3.6. Даны вершины треугольника АВС: А(1, 5), В(-1, 2), С(3, 2). Найти уравнения: а) сторон[1] треугольника; б) прямых, проходящих через вершины треугольника параллельно противоположным сторонам. 3.7. Даны середины сторон треугольника АВС: М(2, -1), К(-3, -3), Р(-1, 0). Найти уравнения его сторон. 3.8. Найти уравнение прямой: а) проходящей через точку А(3, 5) параллельно оси б) проходящей через точку В(-1, 2) параллельно оси 3.9. Найти параметрические уравнения прямой: а) проходящей через точку Р(-2,3) параллельно прямой б) проходящей через точки в) проходящей через точку 3.10. Найти уравнение прямой, симметричной данной прямой относительно начала координат: а) 3.11. По параметрическим уравнениям прямой l: 3.12. Найти уравнение в отрезках прямой, проходящей через точки (3/2, -1),(6, 2). 3.13. Даны уравнения 3.14. Найти уравнения сторон ВС и СА треугольника АВС, если его вершины А, В и центр тяжести М заданы координатами: а) 3.15. Найти уравнение прямой, проходящей через точку М(-1, 3) и перпендикулярной прямой 3.16. Даны вершины треугольника АВС: А(1, 5), В(-1, 2), С(3, 2) в 3.17. Точка Н(-2, 5) является основанием перпендикуляра, проведённого из начала координат к прямой l. Найти уравнение прямой l. 3.18. Найти уравнение серединного перпендикуляра отрезка с концами в точках А и В: а) А(0,0), В(2, 4); б) А(2,1), В(6, -5). 3.19. На прямой 3.20. На осях координат найти точки, равноудалённые от точек (7, 1) и (-3, 3) 3.21. Даны две вершины треугольника АВС А(-1, 5), В(3,2) и точка Н(5, -3) пересечения его высот в
ПРИМЕР 3.2. Определите координаты точки, симметричной началу координат относительно прямой l:
РЕШЕНИЕ. Чтобы построить точку О`, симметричную точке О относительно прямой l, проведём через О прямую р, перпендикулярную l, найдём точку Теперь те же действия выполним аналитически. 1. Составим уравнение прямой р: вектор нормали
2. Найдем координаты точки
3. Найдём точку О`, зная что
ОТВЕТ: О`(-2, 8). ЗАМЕЧАНИЕ. Удобно составлять уравнение прямой р в параметрическом виде:
откуда
3.22. Определите координаты точки, симметричной точке М(2, -5) относительно прямой 3.23. Даны вершины треугольника АВС: А(-4, -5), В(4, 1), С(- а) биссектрисы внутреннего угла при вершине В; б) биссектрисы внешнего угла при вершине В; в) медианы, проведенной к стороне АВ; г) высоты, проведённой из вершины А. 3.24. Определите координаты вершин ромба, если известны уравнения двух его сторон 3.25. Найти уравнение прямой: a) отсекающей на оси Оу отрезок b =2 и имеющей угловой коэффициент k= -3; б) отсекающей на оси Оу отрезок b =-3 и имеющей угловой коэффициент k=1; в) проходящей через точку А(2, 5) и имеющей угловой коэффициент k=3; г) проходящей через начало координат и имеющей угловой коэффициент k= -2; д) проходящей через точку С(-1, 4) и имеющей угловой коэффициент k= 0. 3.26. Найти угловые коэффициенты и отрезки, отсекаемые на оси Оу каждой из следующих прямых: а) 3.27. Найти углы наклона к оси Ох прямых, заданных в 3.28. Определите расположение относительно осей координат следующих прямых: а) 3.29. При каком значении l прямые 3.30. Можно ли подобрать коэффициенты a и b так, чтобы прямые 3.31. Исследуйте взаимное расположение следующих пар прямых: a)
В аффинной системе координат
определяет ту полуплоскость W1 с границей l: Неравенство 3.32. Найти неравенство, определяющее ту полуплоскость с границей 3.33. Найти неравенство, определяющее ту полуплоскость с границей ПРИМЕР 3.3. Найти неравенство, определяющее ту полуплоскость с границей
РЕШЕНИЕ. Подставим координаты точки М в трёхчлен ОТВЕТ.
3.34. Дана прямая l: 3.35. Даны вершины треугольника А(-6, 3), В(8, 10), С(2, -6) и прямая l: 3.36. По координатам концов двух отрезков [AB] и [CD] выяснить, имеют ли они общую точку: а) А(3, 1), В(-2, 0), С(0, 1), D(-3, 2); б) А(1, 0), В(2, 4), С(3, 0), D (0, 6). 3.37. А(4, 6), В(0, -5), С(-2, 2). Выяснить, какие из следующих точек лежат внутри угла АСВ: М1(2, 0), М2(-2, 5), М3(6, 4), М4(7,0), М5(-6, 5). Замечание. Внутренняя область угла АСВ – это пересечение двух полуплоскостей W 1 и W 2 , где W 1 – это полуплоскость с границей (АС), содержащая точку В, W 2 - полуплоскость с границей (ВС), содержащая точку А. Тогда аналитически внутренняя область угла задаётся системой двух неравенств, каждое из которых определяет W 1 и W 2 (рис.3.1)
Рис. 3.1 3.38. Треугольник задан уравнениями своих сторон: (АВ): 3.39. Даны пересекающиеся прямые 3.40. Найти аналитические условия, определяющие полосу, образованную прямыми: а)
ПРИМЕР 3.4. Пусть прямые l1 и l2, заданные в ( а внутренние области двух вертикальных тупых углов - неравенством (
РЕШЕНИЕ. Заметим, что в неравенствах ( 1-й случай. Точки N1 иN2 попали в одну область тупого угла, например, в F2 (рис. 3.2). Рис. 3.2
Тогда угол между векторами Например, область F1 Область F2 является пересечением полуплоскости с границей l1, содержащей точку N1, иполуплоскости с границей l2 ,содержащей точку N2. Тогда аналитически область F2 задаётся системой неравенств: Аналогично получаем аналитические задания областей
Очевидно, неравенства ( 2-й случай. Пусть точки N1 иN2 попали в разные области F2 и
Рис.3.3 В этом случае угол между векторами Случаи, когда N1 иN2 попадают в 3.41. В а) Найти аналитическое условие, определяющее области острых углов между l1 и l2; б) найти косинус того угла между этими прямыми, в котором лежит точка М0(4, 1); в) определить, какие из точек М1(3, 2), М2(0, 0), М3(8,0), М4(10, 6), М5(0, -5) и М6(-4, 3) попадают в области тупых углов между прямыми.
Расстояние от точки
Во всех задачах этого раздела предполагается, что дана прямоугольная декартова система координат
3.42. Вычислить расстояние от точки М до прямой l: а) М(2, 4), l: б) М(1, 0), l: в) М(-4, 5), l: г) М(0, -1), l: 3.43. Даны вершины треугольника А(2, 5), В(1, 3), С(7, 0). а) Найти длины его высот; б) определить площадь треугольника. 3.44. Доказать, что расстояние между параллельными прямыми
Используя эту формулу, определить расстояние между следующими прямыми: а) б) в) 3.45. Дана прямая 3.46. Найти уравнения касательных к окружности 3.47. Найти уравнения касательных к окружности 3.48. Найти уравнения множества точек, равноудалённых от прямых а) б) 3.49. Найти уравнение биссектрисы того угла между прямыми l1 и l2, в котором лежит точка М: а) l1: б) l1: в) l1: 3.50. Найти уравнение биссектрисы тупого угла между прямыми 3.51. Найти координаты центра и радиус окружности, вписанной в треугольник, заданный уравнениями своих сторон: 3.52. Даны уравнения сторон треугольника:
В задачах этого раздела предполагается, что плоскость π ориентирована при помощи прямоугольной декартовой системы координат Пусть Направленным углом между прямыми Если в
Если
3.53. Найти тангенс угла, образованного двумя прямыми, заданными в определённом порядке своими уравнениями а) б) в) г)
ПРИМЕР 3.5.Через точку N(-1, 5) проведены две прямые, наклоненные к прямой l: РЕШЕНИЕ. Пусть а и с - искомые прямые, имеющие уравнения
Рис. 3.4
Уравнение прямой l также запишем в виде Зададим на плоскости направление обхода вершин полученного пересечением прямых а, с и l треугольника, например, против часовой стрелки (рис. 3.4). Тогда в паре прямых l и а прямую l будем считать первой прямой, а в паре прямых l и с прямую l будем считать второй прямой. Запишем формулы 1) Для l и а:
2) Для с и l:
Уравнения прямых принимают вид: а: Свободные члены N(-1, 5): 5 = 4.(-1)+
Тогда а: ОТВЕТ: а:
3.54. Через точку Р(1, -2) проведены прямые, наклоненные к прямой 3.55. Найти уравнения катетов равнобедренного прямоугольного треугольника, зная уравнение гипотенузы 3.56. Докажите, что треугольник, заданный уравнениями своих сторон, является равнобедренным: а) б) 3.57. Луч света направлен по прямой 3.58. Даны уравнения 3.59. Точка А(8, 8) является вершиной квадрата, диагональ которого лежит на прямой 3.60. Даны две вершины треугольника А(1, 2), В(-3, 1) и уравнение
|
|
l1: 
, l2: 
, то 
= 
= 
;
¹ 
;
.
.
. Эта ось задаётся вектором 
(1, 0) и проходит через точку 
– начало координат. Уравнение прямой 
: 
, или 
, или 
.
(ординаты всех точек, принадлежащих оси 
или 
.
параллельно вектору 
б) проходящей через точки 
.
.
. Найти
, 
;
; б) 
; в) 
г) 
д) 
; е) 
; ж) 
з) 
. Найти координаты точек пересечения каждой из этих прямых с осями координат. Построить эти прямые, предварительно изобразив аффинную систему координат.
;
(0, -2) и 
(3, - 4);
(1, -3) параллельно оси 
б) 
.
Найти её общее уравнение.
и 
смежных сторон параллелограмма и точка М(3, -1) пересечения его диагоналей. Найти уравнения двух других сторон.
, 
; б) 
, 
.
. 
. Найти уравнения высот треугольника.
, заданной в 
(1, -4) прямой l будет направляющим для прямой р, поэтому
. Для этого решим систему двух уравнений:
, откуда 
, 
=4, откуда 
. Тогда координаты точки 
, а, значит, 
, 7) 
и уравнение одной из его диагоналей 
; б) 
; в) 
г) 
; д) 
; б) 
; в) 
; б) 
в) 
; г) 
; д) 
е) 
; ж) 
и 
параллельны?
и 
: а) совпадали; б) были параллельны; в) пересекались?
б) 
в) 
и 
; г) 
; д) 
и 
; е) 
; ж) 
15. Геометрический смысл знака трёхчлена Ах+Ву+С
на плоскости p неравенство 
( 
), которой принадлежит конец вектора 
(А, В), отложенного от любой точки прямой l.
определяет дополнительную полуплоскость W2.
, которой принадлежит конец вектора 
, которой не принадлежит конец вектора 
(-1;3), отложенного от любой точки данной прямой.
, которой принадлежит точка М(-1, 2).
: -1-3.2+4=3>0, следовательно, необходимая полуплоскость задаётся неравенством 
.
. Определить, какие пары точек не принадлежат одной полуплоскости: а) А1(1, 0) и А2(-5, 6); б) В1(0,11) и В2(-5, 0); в) О(0, 0) и Р(1, 1); г) С1(1, 4) и С2(-4, 2).
. Определите, какие стороны треугольника пересекает эта прямая.
; (АС): 
; (ВС): 
. Найти аналитические условия, определяющие внутреннюю область этого треугольника.
и 
. Найти систему неравенств, определяющих внутреннюю область того угла между этими прямыми, которой принадлежит точка М(-4, 15).
и 
; б) 
.
уравнениями 
, пересекаются, но не перпендикулярны. Доказать, что внутренние области двух вертикальных острых углов, образованных этими прямыми, характеризуются неравенством
)( 
)( 
) 
0, ( 
)
( 
).
и 
данных прямых. Пусть прямые l1 и l2 пересекаются в точке Р. Обозначим α острый угол между данными прямыми. Отложим векторы 
= 
, 
= 
и 
- области острых углов, F2 и 
- области тупых углов между данными прямыми. Точки N1 иN2 не могут попасть в область острого угла. Рассмотрим два случая.
). Найдём аналитическое задание областей F1 
.
, 
: 
.
тупых углов (см. рис.3.3)
и 
- α и А1А2 + В1 В2 
0. Пусть N1 
F2 , N2 
.
до прямой l: 
в 
вычисляется по формуле:
;
;
, 
.
и 
вычисляется по формуле
и 
;
и 
;
и 
.
. Найти уравнение прямой, параллельной данной и удалённой от неё на расстояние, равное 4.
5, проходящих через точку М(-1, 3).
+ 
=4, параллельных прямой 
, 
.
;
.
, l2: 
, М(1, 2);
, l2: 
, l2: 
, М(0, 0).
и 
.
, 
и 
.
, 
, 
. Найти уравнения а) описанной; б) вписанной окружностей.
и 
- две пересекающиеся прямые в плоскости π. Выберем 
и 
так, чтобы 
, 
.
и 
: 
= 
, 
, 
, то 
φ = 
, 
;
, 
;
, 
;
, 
под углом, тангенс которого равен 
. Найти уравнения этих прямых.
и 
+ 
соответственно.
( 
).
, откуда 
4;
, откуда 
= 
.
, c: 
.
и 
найдём из условия принадлежности этим прямым точки
, 5 = 
.(-1)+ 
, c: 
.
, c: 
.
под углом, тангенс которого равен 
. Найти уравнения этих прямых.
и вершину прямого угла С(4, -1).
.
Дойдя до прямой 
и 
соответственно основания и боковой стороны равнобедренного треугольника. Найти уравнение второй боковой стороны, если она проходит через точку М(1, -3).
. Найти уравнения сторон и второй диагонали этого квадрата.
биссектрисы. Найти уравнения сторон треугольника.