Пиши Дома Нужные Работы

Обратная связь

Применение метода координат к решению задач элементарной геометрии.

 

ПРИМЕР 2.11

Доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в ней в отношении 2 : 1, начиная от вершин.

 

РЕШЕНИЕ

Пусть АМ, ВN, СР медианы треугольника АВС (Рис.2.5). Рассмотрим систему координат (А, , ), тогда А(0,0), В(1,0), С(0,1). Так как М, N, Р – середины сторон ВС, АС, АВ, то М( , ), N( 0, ), Р( , 0).

А
В
С
М
Р
N

Рис. 2.5

Обозначим через Х, У, Z точки, которые делят соответственно медианы АМ, ВN, СР в отношении 2 : 1, начиная от вершин А, В, С., тогда простые отношения (АМ,Х) = (ВN,У) = (СР,Z) = 2.

Теперь используя формулы деления отрезка в данном отношении

х = , у = , найдем координаты точек Х, У, Z. Получим Х( , ), У( , ), Z( , ), следовательно точки Х, У, Z совпадают и значит медианы треугольника пересекаются в одной точке Х и делятся в ней в отношениях АХ : ХМ = ВХ: ХN = СХ : ХР = 2 : 1. ▄

 

 

ПРИМЕР 2.12

Доказать, что сумма квадратов диагоналей трапеции равна сумме квадратов ее боковых сторон, сложенной с удвоенным произведением оснований трапеции.

 

РЕШЕНИЕ

Пусть АВСD- произвольная трапеция с основаниями АВ и СD (Рис.2.6). Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат (А, i, j ), где

i↑↑ , тогдаА(0,0),В(а,0), С(с,m), D (d,m).

 

А(0,0)
В(а,0)
D (d,m)
C(c,m)
i
j

Рис. 2.6

АС2 + ВD2 = с2 + m2 + ( d – а)2 + m2 = а2 + с2 + d2 + 2m2 – 2ad.

АD2 + ВС2 + 2АВ DС = d2 + m2 + (с – а)2 + m2 + 2а (с – d) =

а2 + с2 + d2 + 2m2 – 2ad.

Из этого следует, что АС2 + ВD2 = АD2 + ВС2 + 2АВ DС. ▄

 

 

2.87. Доказать, что средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.

2.88. Доказать, что средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

2.89. Доказать, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен основаниям и равен их полуразности.



2.90. Доказать, что медиана равнобедренного треугольника проведенная к основанию является высотой и биссектрисой.

2.91. Доказать, что если диагонали трапеции равны, то трапеция равнобедренная.

2.92. Доказать, что в параллелограмме сумме квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон.

2.93. Через вершину А треугольника АВС и середину Е медианы СD проведена прямая, пересекающая сторону ВС в точке F. а) Доказать, что СF : FВ = 1 : 2.

б) Найти в каком отношении точка Е делит отрезок АF.

2 94. Точка пересечения диагоналей четырехугольника совпадает с точкой пересечения его средних линий. Доказать, что данный четырехугольник является параллелограммом.

2 95. Даны параллелограмм АВСD и точка М. Точка М1 симметрична точке М относительно вершины А. Точка М2 симметрична точке М1 относительно вершины В. Точка М3 симметрична точке М2 относительно вершины С. Точка М4 симметрична точке М3 относительно вершины D. Доказать, что точка М4 совпадает с точкой М.

2.96. Даны две окружности ω11,r1) и ω22,r2). Доказать, что сумма квадратов расстояний от концов любого диаметра первой окружности до концов любого диаметра второй окружности постоянна.

2.97. Дан треугольник АВС. Точки А1, В1, С1 принадлежат прямым ВС, АС, АВ. Доказать, что точки А1, В1, С1 принадлежат одной прямой тогда и только тогда, когда (АВ,С1) · (ВС, А1) · (СА, В1) = - 1. (Эта теорема называется теоремой Менелая)

 

 

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К ГЛАВЕ 2

2.3. (1,6), (1,-1), М(11,1), К(0,7).

2.4. (2,1), (2,-1), (-2,-1), (-2,1).

2.5. а) (-4,-4), (4,-4), (4,4), (-4,4);

б) С(4 ,0), В(0, 4 ), А(-4 ,0), D (0,- 4 );

в) А(-4,0), В(4,0), С(4,8), D (-4,8)

2.6. А(0,0), В(1,0), С( , ), D (1, ), Е(0, ), F(- , ), М( , ).

2.7. А(-5,0), В(-5 + 2 , 2), С(5 - 2 , 2), D (5,0).

2.10. D (1,-2)

2.11. а) 5; б) ; в)13.

2.12. а) ; б) 5; в) 13.

2.13. (14,0), (0, ).

2.14. (7,0), (-17,0), (0, 9 + 10 ), (0, 9 - 10 ).

2.15. а) равносторонний; б) равнобедренный; в) прямоугольный.

2.16. Существует два квадрата АВС1D1 и АВС2D2. С1(1,8), D1(-4,6),

С2(5,-2), D2(0,-4).

2.17. Существует два треугольника АВС1 и АВС2.

С1(-1 - , 3 + 2 ), С2(-1 + , 3 - 2 ).

2.18. (2,10). Указание. Так как ось ОХ касается окружности в точке В, то

х = 2, далее воспользоваться тем, что АМ = ВМ.

2.19. А(1,0), В( , ), С(- , ), D (-1,0), Е(- , - ), F( , - ).

2.20. а) ; б) С( , ).

2.21 .а) ; б) - ; в) – 4; г) - ; д) .

2.22. А( , ), М(- , )

2.23. А(7,11)

2.24. а) А1(2,-1), В1(1,-5), С1(3,1), б) Р(2,-2), в) М(2, - ).

2.25. С(-3,-5).

2.26. .

2.27. А(-2,-6), В(8,2), С(-6,10).

2.28.С( , 10), D (4,-3).

2.29. ( , ). Указание. Сначала найти координаты точки Д, для этого воспользоваться свойством биссектрисы АD треугольника АВС:

ВD : DС = АВ :АС и значит (ВС, D) = АВ : АС.

2.30. .

2.31. (2,-2).

2.32. . Указание. Пусть Н(х, у). Т.к. АН – высота треугольника АВС, то

= 0, а т.к. Н ВС, то ││ .

2.33. В( 6,5), D (0,-3).

2.34. а) и б) положительная ориентация, 3) отрицательная ориентация.

2.36.а) 5; б) - .

2.37. а), г) – левый базис, б), в) – правый базис.

2.38. Ι│ΙΙ = 1, ΙΙ – правый базис.

2.39. Ι│ΙΙ = -2, ΙΙ│ΙΙΙ = -1, Ι│ΙΙΙ = 2.

2.40. а) 135°; б) - 45°; в) -30°.

2.41. а) АВС; б) САВ.

2.42. а) ( , ); б) (- , ); в) ( , - ).

2.43. а) х = - 7у ′ , у = 2х ′ + 2;

б) х = х ′+ 2у ′+ 1, у = 4х′+ 3у ′ + 1.

 

2.44. А(-5,4), В(-12,5), С(-7,3).

2.45. х = - х ′+ 1, у = - х ′- у ′ + 1.

2.46. х = - х ′- 2у ′+ 1, у = х ′- у ′ .

2.47. х = х ′- 1, у = - х ′+ у ′ + . Указание. Сначала составить формулы преобразования координат при переходе от системы ΙΙ к системе Ι, а затем из этих формул выразить х и у.

2.48. (- , - ).

2.49. х = - х ′- у ′ + , у = х ′+ 1.

2.50. а) х = х ′- у ′- 3, у = х ′+ у ′ + ;

б) х = х ′+ у ′, у = х ′- у ′ – 2.

2.51. ( , ).

2.52. Все точки прямой х + у – 2 = 0.

2.53. (-2,-1).

2.54. (-2, -5).

2.55. (0, 1).

2.56. х = х′ - у′ + , у = - х′ - у′ + .

 

 

2.58. а) А1(1, - ), В1(3, - ), С1 ( , );

б) А2(1, - ), В2(3, - ), С2 ( , ).

 

2.59. а) А( , 0), В( , ), С( , - );

б) А: ρ = 0, φ не определен, В(1,0), С(1, ).

2.60. а) А( , ), В( , - ), С( , - ), D ( , );

б) А: : ρ = 0, φ не определен, В(3, ), С(3 , ), D (3,0).

2.61. а) А(2,0), В(2, ), С(2, ), D (2, π), Е(2, - ), F(2, - );

б) А: ρ = 0, φ не определен, В(2, ), С(2 , ), D (4,0),

Е(2 , - ), F(2, - ).

2.62. а)Окружность с центром О и радиусом 1;

б) Окружность с центром О и радиусом ;

в) Открытый луч с началом О, образующий с полярной осью

угол .

2.63. а) А( , ), В(0,1), С( - , );

б) М(6, ), Р( , ), К(2, ).

2.64. а) ; б) 10; в) 5.

2.65. ρ2 -2ρ Sinφ – 8 = 0

2.66. а) Прямая, перпендикулярная полярной оси и проходящая через

точку с полярными координатами (2,0);

б) Окружность радиуса 5 с центром (5, );

в) Прямая, параллельная полярной оси и проходящая через

точку (1, );

г) Две прямые, проходящие через начало полярной системы

координат и образующие с полярной осью углы и .

2.69. а) φ = arctg ;

б) ρ Sin φ + 5 = 0;

в) ρ2 (1 + Cos 2φ) = 5;

г) ρ2 Sin2φ - 4 ρ Cos φ = 0

2.70. (х + 1)2 + (у – 3)2 = 16.

2.71. х2 + у2 = 25.

2.72. а) М(3,0), r = 3; б) М(-3,4), r = 5; в) М(5, -12), r = 15;

г) М(-1, ), r = .

2.73. а) Окружность с центром (1, -2) и радиусом r = 5;

д) Окружность с центром (1, 0) и радиусом r = 1;

ж) Окружность с центром (2,1) и радиусом r = 2;

Остальные уравнения не определяют окружность.

2.74. Точки А, С, D лежат вне окружности, точка В на окружности.

2.75. а) Точки находятся вне или на окружности с центром (1,3) и

радиусом r = 5;

б) Точки расположены между двумя концентрическими

окружностями и на самих окружностях, радиусы которых

равны 4 и 5, а их общий центр (1, -3);

в) Точки принадлежат общей части двух кругов и границе кругов,

центры которых в точках (1,2) и (4,6) и радиусы равны 5 и 3.

2.76. (х -6)2 + (у – 5)2 = 25.

2.77. х2 + (у – )2 = 2, ≠ 0.

2.78. (х – 3)2 + (у + 4)2 = 25.

2.79. (х – 1)2 + (у + 3)2 = 68.

2.80. (х – 3)2 + (у – 2)2 = 26 и (х + 3)2 + (у – 6)2 = 26.

2.81. (х – 2)2 + (у – 3)2 = 1. Указание. Так как центр М окружности лежит на прямой

3х –у – 3 = 0, то М имеет координаты М(х, 3х – 3).

2.82. (х + 3)2 + у2 = 8.

2.83. Пусть │АВ│= 2а . а) Если с2 >2а2 , то искомое множество есть окружность с центром в середине АВ, б) если с2 = 2а2, то искомое множество есть одна точка – середина АВ, в) если с2< 2а2, то искомое множество есть пустое множество.

2.84. х2 + (у – 3)2 = 9.

2.85. Окружность с центром в точке пересечения данных прямых и радиусом 4. Указание. Рассмотреть прямоугольную декартову систему координат, оси которой совпадают с данными прямыми.

2.86. Прямая с уравнением 4х – 9 = 0.

2.87. Указание. Пусть МN средняя линия треугольника АВС. Рассмотреть систему координат (А, , ).

2.88. Указание. Пусть АВСD – трапеция с основаниями АВ и СD. Рассмотреть систему координат (А, , ).

2.89. Указание. Пусть АВСД – трапеция с основаниями АВ и СД. Рассмотреть систему координат (А, , ).

2.90. Указание. Пусть АD – медиана треугольника АВС (АВ = АС). Рассмотреть систему координат (D, i, j ), где i↑↑ и доказать, что точка А имеет координаты (0, ).

2.91.Указание. Пусть АВСD – трапеция с основаниями АВ и СD. Рассмотреть систему координат (О, i, j ), где i↑↑ и Осередина АВ

2.92. Указание. Пусть АВСD –параллелограмм. Рассмотреть систему координат

(А, i, j ), где i↑↑ .

2 93.(АF,Е) = 3. Указание. Рассмотреть систему координат (А, , ).

2.94 Указание. Пусть АВСD – данный четырехугольник, М – точка пересечения его диагоналей, КР и ЕF его средние линии. Рассмотреть систему координат (А, , ), предположить, что (АС,М) = β, (ВD,М) = γ и найти координаты точки М. Далее предположить , что (КР,М) = δ, (ЕF ,М) =λ и найти координаты точки М.

2.95.Указание. Рассмотреть систему координат (А, , ).

2.96. Указание. Рассмотреть систему координат (О1, i, j ), где i↑↑ .

2.97.Указание. Рассмотреть систему координат (А, , ). Обозначить

(АВ,С1) = α, (ВС, А1) = β, (СА, В1) = γ, найти координаты точек А1, В1, С1 и использовать то, что эти точки лежать на одной прямой тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны.

 

ГЛАВА 3.

ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ

14. Уравнение прямой.






ТОП 5 статей:
Экономическая сущность инвестиций - Экономическая сущность инвестиций – долгосрочные вложения экономических ресурсов сроком более 1 года для получения прибыли путем...
Тема: Федеральный закон от 26.07.2006 N 135-ФЗ - На основании изучения ФЗ № 135, дайте максимально короткое определение следующих понятий с указанием статей и пунктов закона...
Сущность, функции и виды управления в телекоммуникациях - Цели достигаются с помощью различных принципов, функций и методов социально-экономического менеджмента...
Схема построения базисных индексов - Индекс (лат. INDEX – указатель, показатель) - относительная величина, показывающая, во сколько раз уровень изучаемого явления...
Тема 11. Международное космическое право - Правовой режим космического пространства и небесных тел. Принципы деятельности государств по исследованию...



©2015- 2024 pdnr.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.