Окружность. Задачи на множества точек, определяющих окружность.

Окружностью (М_о, r) с центром М_о и радиусом r называется множество всех точек М плоскости, расстояние от каждой из которых до точки М_о равно положительному числу r.

Дана прямоугольная декартова система координат (О, i, j) , М_о(х_о, у_о) , тогда уравнение окружности (М_о, r) имеет вид

(х – х_о)² + (у – у_о)² = r²

Если дано уравнение х² + у² + Ах + Ву + С =0, то чтобы узнать является ли это уравнение уравнением окружности, надо выделить полные квадраты членов , содержащих х, и членов, содержащих у, получится уравнение

(х + А) ² + (у + В)² = А² + В² –С. (*)

Уравнение (*) является уравнением окружности, если А² + В² –С > 0.

Во всех задачах этого пункта система координат прямоугольная декартова.

2.70. Составить уравнение окружности с центром А(-1, 3) и радиусом r = 4.

2.71. Составить уравнение окружности радиуса r =5 с центром в начале координат.

2.72. Определить координаты центра М и радиус каждой из следующих окружностей: а) х² + у² – 6х = 0; б) х² + у² + 6х - 8у =0; в) х² + у² – 10х + 24у – 56 = 0;

г) 3х² + 3у² + 6х - 4у – 1 = 0.

2.73. Выяснить, какие из данных уравнений являются уравнением окружности. Найти координаты центра и радиус: а) х² + у² -2х + 4у -20 = 0;

б) х² + у² + 8х - 4у + 40 = 0; в) х² + ху – 2х = 0; г) х² + 2ху + 2у² - 3х + у + 5 = 0;

д) х² + у² - 2х = 0; е) х² + у² + 2у + 8 = 0; ж) х² + у² - 4х -2у + 1 = 0.

2.74. Определить положение точек А(3,1), В(1,0), С(-2,0), D (-2,1) относительно окружности х² + у² - 1 = 0.

2.75. Как расположены на плоскости точки, координаты которых удовлетворяют условиям

а) (х – 1 )² + (у – 3)² ≥ 25; б) 16 ≤ (х – 1)² + (у + 3)² ≤ 25;

в) (х – 1)² + (у - 2)² ≤ 25, (х – 4)² + (у -6)² ≤ 9.

ПРИМЕР 2.9

Дана прямоугольная декартова система координат. Составить уравнение окружности, касающейся оси ОХ в точке А(4,0) и проходящей через точку В(1,1).

РЕШЕНИЕ

1) Пусть центр искомой окружности находится в точке М(х, у). Так как окружность касается оси ОХ в точке А(4,0), то МА это радиус проведенный в точку касания, следовательно, по свойству касательной окружности радиус МА перпендикулярен оси ОХ. Значит проекцией точки М на ось ОХ является точка А и поэтому х = 4, т.е. М(4,у).

2) Так как данная окружность проходит через точки А и В, то расстояния от точек А и В до центра М окружности равны радиусу и, следовательно, равны между собой, т.е. │АМ│ =│ВМ│. Отсюда получаем уравнение

= или у² = 9 + (у – 1)²

Это уравнение имеет одно решение у = 5. Следовательно, центр окружности М(4,5).

3)Радиус окружности равен расстоянию от центра М до точки А, т.е.

r = │АМ│= = 5.

4) Уравнение окружности с центром М(4,5) и радиусом r = 5 имеет вид

(х – 4)² + (у – 5)² = 25

ОТВЕТ. Искомая окружность имеет уравнение (х – 4)² + (у – 5)² = 25.

.

2.76.Составить уравнение окружности, касающейся оси ОХ в точке (6,0) и проходящей через точку (9,9).

2.77. Составить уравнение окружности, центр которой лежит на оси ОУ и которая касается оси ОХ.

2.78. Составить уравнение окружности, проходящей через начало координат и через точки А(-1,-1) и В(7, -1).

2.79. Составить уравнение окружности с центром в точке А(1,-3) и проходящей через точку В(3,5).

2.80. Составить уравнение окружности радиуса r = , проходящей через точки А(2,7) и В(-2,1).

2.81. Составить уравнение окружности, проходящей через точки А(2,2) и В(3,3), если ее центр лежит на прямой 3х - у - 3 = 0.

ПЕРИМЕР 2.10

Найти множество точек плоскости, отношение расстояний от каждой из которых до данных точек А и В равно постоянному положительному числу , не равному единице.

РЕШЕНИЕ

1) Пусть расстояние между точками А и В равно с. Введем прямоугольную декартову систему координат (В, i, j), для которой вектор iсонаправлен с вектором .В этой системе координат данные точки имеют следующие координаты А(с,0), В(0,0).

2) Пусть произвольная точка М, принадлежащая данному множеству точек, имеет координаты М(х, у). По условию │АМ│: │ВМ│ = , отсюда следует, что

│АМ│ = │ВМ│. Используя формулу расстояния между двумя точками, получаем уравнение

= а или

(х – с)² + у² = ² х² + ²у² , отсюда получаем

х²(1 – ²) + у²(1 – ²) – 2хс + с² = 0. Так как 1, то можно разделить обе части этого уравнения на 1 – ² и выделить полный квадрат членов, содержащих х

х² + у² – + = 0 или + у² = .

Полученное уравнение является уравнение окружности с центром в точке

М и радиуса r = .

Таким образом, искомое множество точек есть окружность с центром на прямой АВ.

ОТВЕТ. Множество точек плоскости отношение расстояний от каждой из которых до данных точек А и В равно постоянному положительному числу , не равному единице есть окружность с центром на прямой АВ.

2.82. Найти уравнение множества точек плоскости, для каждой из которых отношение расстояний до точек А(1,0) и В(-1,0) постоянно и равно .

2.83. Найти множество точек плоскости, сумма квадратов расстояний от каждой из которых до двух данных точек А и В постоянна и равна с².

2.84. Найти уравнение множества точек плоскости, для каждой из которых сумма квадратов расстояний до точек А(-1,2) и В(1,4) постоянна и равна 22.

2.85. Найти множество точек плоскости, для каждой из которых сумма квадратов расстояний до двух данных перпендикулярных прямых постоянна и равна 16.

2.86. Найти множество точек плоскости, для каждой из которых разность квадратов расстояний до точек А(0,0) и В(4,0) постоянна и равна 2.