Взаимное расположение двух прямых Взаимное расположение прямой и плоскости

Если две прямые заданы с помощью точки и направляющего вектора:

m = (M_0, ) и n = (N₀, ),

где M₀(x₁,y₁,z₁), N₀(x₂,y₂,z₂) заданы в аффинной системе координат (O, ), (m₁,m₂,m₃), (n₁,n₂,n₃) заданы в базисе { }, то их взаимное расположение может быть следующим:

Прямые лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда выполнено условие:

= 0 Это условие в координатах запишется так:

(7.17)

При выполнении условия (7.17) возможные случаи взаимного расположения двух прямых одной плоскости будут:

а) прямые совпадают тогда и только тогда, когда || || . В координатах эти условия запишутся так:

(7. 18)

(7.19)

б) прямые параллельны тогда и только тогда, когда выполнены условия (7.18) и нарушено хотя бы одно из условий (7.19).

в) прямые пересекаются тогда и только тогда, когда нарушено хотя бы одно из условий (7.18).

Прямые скрещиваются (то есть не лежат в одной плоскости) тогда и только тогда, когда нарушено условие (7.17).

Замечание.Условия (7.18) и (7.19) представляют собой пропорции, следовательно, могут содержать нули в знаменателе.

Если в пространстве с аффинной системой координат (O, ) заданы прямая m координатами своей точки M₀(x₀,y₀,z₀) и направляющим вектором ( p₁,р₂,р₃):

m = (M₀, ) и плоскость a уравнением: A x + B y + C z + D = 0, то их взаимное расположение может быть следующим:

Прямая и плоскость пересекаются тогда и только тогда, когда вектор не параллелен плоскости a, т.е. когда выполнено условие:

А р₁ + В р₂ + С р₃ ¹ 0 (7.20)

ЗамечаниеТочка пересечения прямой m и плоскости a определяется совместной системой уравнений прямой и плоскости.

Прямая параллельна плоскости тогда и только тогда, когда вектор параллелен плоскости a и точка М₀ не принадлежит плоскости a, т.е. когда выполнены условия:

А р₁ + В р₂ + С р₃ = 0

А x₀ + B y₀ + C z₀ + D ¹ 0 (7.21)

Прямая принадлежит плоскости тогда и только тогда, когда вектор параллелен плоскости a и точка М₀ принадлежит плоскости a, т.е. когда выполнены условия:

А р₁ + В р₂ + С р₃ = 0

А x₀ + B y₀ + C z₀ + D = 0 (7.22)

ПРИМЕР 7.8 Выяснить взаимное расположение двух прямых:

х = 2 t - 4

у = -t + 5 и

z = 3 t + 6

РЕШЕНИЕ

Чтобы установить взаимное расположение прямых, необходимо найти направляющие векторы этих прямых и координаты двух точек, лежащих соответственно на этих прямых. Если обозначить направляющие векторы данных прямых и , а соответствующие точки М₀ и N₀, то из уравнений прямых получим координаты: (2,-1,3), (2,-1,-2),

М₀(-4,-5,-6), N₀(4,-1,-5).

Проверим компланарность векторов , ,

Следовательно, прямые лежат в одной плоскости. Но

векторы и не колинеарны, т.к. их координаты непропорциональны. Поэтому данные прямые пересекаются.

ОТВЕТ Прямые пересекаются.

ПРИМЕР 7.9. Выяснить взаимное расположение прямой : и

плоскости : 2 x + 4 y + 2 z – 1 = 0.

РЕШЕНИЕ

По каноническому уравнению прямой найдем ее направляющий вектор (3,-2,1) и принадлежащую прямой точку М₀(-2,-1,1). Вычислим для данной прямой и плоскости величину:

А р₁ + В р₂ + С р₃ = 2(3) - 2(4) + 1(2) = 0, затем величину:

А x₀ + B y₀ + C z₀ + D = 2 (-2) + 4(-1) + 2(1) – 1 = - 7 ¹0.

Сравнивая полученный результат с условиями (7.22), приходим к заключению, что данная прямая параллельна данной плоскости.

ОТВЕТ. Прямая параллельна плоскости.

ПРИМЕР 7.10Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую

перпендикулярно плоскости: 5 x – y – z + 7 = 0.

РЕШЕНИЕ

Из уравнения прямой следует, что ее точка (1,-2,4) принадлежит плоскости.

Достаточно наййти нормальный вектор (А,В,С) искомой плоскости и записать ее уравнение в виде:

A (x - 1) + B (y + 2 )+ C (z - 4) = 0.

Нормальный вектор (А,В,С) параллелен направляющему вектору прямой, т.е. справедливо равенство:

А – 2 В + С = 0.

Данная и искомая плоскости перпендикулярны, т.е. справедливо:

5 А – В – С = 0

Из этих равенств получаются соотношения: В = 2А

С = 3А.

Очевидно, А ¹ 0, иначе нормальный вектор (А,В,С) будет нулевым вектором. Принимая А = 1, получим В = 2, С = 3.

ОТВЕТ x + 2 y + 3 z – 9 = 0

7.76. Установить взаимное расположение следующих пар прямых:

а) 2 x – 3 y – 3 z + 9 = 0 x = 9 t

х – 2 y + z + 3 = 0 и y = 5 t

z = -3 + t;

б) x + z – 8 = 0 2 x + 3 y = 0

2 y + 3 z – 2 = 0 и x – 6 = 0;

в) x + y – z = 0 x = t

2 x – y + 2 z = 0 и y = - 8 – 4 t

z = - 3 – 3 t;

B AAAPAAAAAAAAAAAAAAAAAA4FAABkcnMvZG93bnJldi54bWxQSwUGAAAAAAQABADzAAAAFwYAAAAA "/>г) x = 6 + 3 t x = 1 + 2 t

y = -1 – 2 t и y = 7 + t

z = -2 + t z = 3 + 4 t;

д) и 2 x + 5 y – z + 15 = 0

3 x + 5 y + z + 20 = 0.

7.77. Показать, что данные прямые лежат в одной плоскости и написать уравнение этой плоскости:

а) x = 2 t + 4 x = 2 t - 4

y = - t + 5 и y = - t + 1

z = 3 t +6 z = 2 t - 5;

б) и x + y – z = 0

x – y – 5 z – 8 = 0;

в) x = 7 – 6 t x = 4 t + 3

y = 2 + 9 t и y= - 6 t

z = 12 t z= - 1 – 8 t;

г) 2 x + y + 2 z – 2 = 0 x + y – 3 z – 1 = 0

2 x – 2 y – z – 2 = 0 и 2 x – y - 9 z- 2 = 0.

7.78. Показать, что прямые параллельны и написать уравнение плоскости, в которой они лежат:

а) x + y – z = 0 и ;

x – y - 5z – 8 = 0

б) x + 3 y + z + 2 = 0 x = 1 + 2 t

x – y – 3 z – 2 = 0 и y = - t

z =1 + t;

в) 2 x – 2 y + 3 z – 4 = 0 3 x – z + 6 = 0

x + 2 y – 4 z + 1 = 0 и x – 4 y + 7 z + 10 = 0.

7.79. Доказать, что прямые пересекаются и написать уравнение плоскости, в которой они лежат:

а) x + z – 8 = 0 2 x + 3 y = 0

2 y + 3 z – 2 = 0 и x - 6= 0;

б) и x = 2 t + 4

y = 1 + t

z = 2 t + 1;

в) 2 x + y + 2 z – 2 = 0 x + y – 3 z – 1 = 0

2 x – 2 y – z – 2 = 0 и 2 x – y – 9 z – 2 = 0.

7.80. Определить значение l в уравнении прямой m, если известно, что эта прямая пересекается с прямой n:

а) m: , n: x + 1 = y - 1= z;

б) m: , n: .

7.81. Составить уравнение прямой, проходящей через точку (0,0,0) и пересекающей каждую из прямых:

а) x = t + 2 x = 4 + t

y = 1 - t и y = 2- t

z = - 3 + t z = - 6 + 3 t;

б) 3 x – y + 3 z = 0 ;

x – y – z + 10 = 0 и

в) 3 x – y + 3 z – 4 = 0 4 x + y – z + 10 = 0

x – y – z + 2 = 0 и 2 x – y – z – 2 = 0.

.

7.82. Найти точку пересечения прямой m и плоскости a:

а) m: ; a: x – y + 3 z – 7 = 0;

б) m: x – 2 y + z – 1 = 0 a: 2 x + 3 y – z + 1 = 0;

2 x – y + 2 z – 3 = 0

в) m: x = 2 t + 4 a: x + y – z – 11 = 0;

y = 1 + t

z = 2 t - 5;

г) m: a: x + y + 2 z – 5 = 0.

7.83. Провести прямую через точки пересечения плоскости 2 x + y – 3 z + 1 = 0 с прямыми: и

7.84. Определить взаимное расположение прямой m и плоскости a:

а) m: ; a: x – y – z + 15 = 0;

б) m: a: x + 2 y – z + 4 = 0;

в) m: ; 2 x + 5 y + z = 0

г) m: a: x + y + 5 z + 4 = 0;

7.85. Определить взаимное расположение прямой m и плоскости a:

а) m: 3 x + 5 y – 7 z + 16 = 0 a: 5 x – z – 4 = 0;

2 x – y + z – 6 = 0

б) m: x + 2 y + 3 z + 4 = 0 a: x + y + z – 16 = 0.

5 x + 3 y + z – 8 = 0

в) m: x + 2 y + 3 z + 8 = 0 a: x + y + z = 0.

5x+3y+z-16=0

7.86. При каких значениях l и m заданная прямая m лежит в плоскости a:

а) m: x = 3 + 4 t

y = 1 – 4 t a: l x + 2 y – 4 z + m = 0;

z = - 3 + t

б) m: a: 4 x + l y – 2 z + m = 0.

в) m: 5 x + 3 y + z – 8 = 0 a: 5 x – y + l z + m = 0.

x + 2 y + 3 z – 10 =0

7.87. Составить уравнение плоскости, содержащей прямую m, и параллельную прямой n:

а) m: ; n: x = 2 t + 4

y = 1 + t

z = 2 t - 5;

б) m: ; n: 5 x + 3 y + z – 8 = 0

x + 2 y + 3 z – 6 =0 ;

в) m: x = 3 t + 1 n: 4 x – 2 y + 2 z + 7 = 0

y = 2 t + 3 x + 2 y – z – 8 = 0;

z = - t - 2

г) m: x + y – 3 z + 8 = 0 n: x + z + 3 = 0

2 x – y – 9 z – 17 = 0 2 y + 3 z – 16 = 0.

7.88.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку (1,1,1) и параллельную прямым m и n задачи 7. 85.

7.89. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку (1,-1,2) и прямую:

а) ; в) x + 2 y + 3 z + 8 = 0

5 x + 3 y + z – 16 = 0.

б) x = 2 t + 4

y = 1 + t

z = 2 t - 5;

7.90. Через точку пересечения плоскости x – 2 y + 3 z + 5 = 0 с осью OX провести прямую так, чтобы она лежала в данной плоскости и была параллельна плоскости YOZ.