Угол между двумя прямыми Угол между прямой и плоскостью

Если в пространстве даны две непараллельные прямые d₁ и d₂, то для определения угла между ними рассматриваются две пересекающиесяпрямые d₁^/ и d₂^/, соответственно параллельные взятым прямым. В точке пересечения d₁^/ и d₂^/ образуют четыре угла, каждый из которых называют углом между прямыми d₁ и d_2. Один из этих углов есть в точности угол между направляющими векторами этих прямых. Если и направляющие векторы прямых d₁ и d₂, то угол a между этими прямыми вычисляется по формуле

cos a= (7.23)

Прямые d₁ и d₂ перпендикулярны тогда и только тогда, когда выполнено условие:

(7.24)

Если векторы и заданы в ортонормированном базисе ( p₁,р₂,р₃) и эти формулы приобретают вид:

Угол между прямыми вычисляется по формуле:

cos a = (7.25)

Прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда:

p₁ q₁ + p₂ q₂ + p₃ q₃ = 0. (7.26)

Если прямая d не перпендикулярна плоскости a, то углом между прямой d и плоскостью a называется острый угол между прямой d и ее проекцией на плоскость a. Если же прямая перпендикулярна плоскости, то угол между ними считается равным 90⁰

Если в прямоугольной декартовой системе координат плоскость a задана уравнением: A x + B y + С z + D = 0, т. е. ее нормальный векторбудет (А,В,С), а прямая d имеет направляющий вектор (p₁,р₂,р₃), то угол между прямойd и плоскостью a вычисляется по формуле:

(7.27)

Формула верна и в случае перпендикулярности прямой и плоскости.

ПРИМЕР 7.11Найти точку, симметричную точке А(4,3,10) относительно прямой. . (Система координат прямоугольная декартова).

РЕШЕНИЕ

Искомая точка B(x₀,y₀,z₀) принадлежит плоскости a, проходящей через точку А и перпендикулярной заданной прямой. Очевидно, направляющий вектор прямой (2,4,5) может служить нормальным вектором плоскости a и ее уравнение может быть записано:

2 (x – 4) + 4 (y – 3) + 5 (z-10) = 0 или: 2 x + 4 y + 5 z – 70 = 0.

Середина отрезка АВ, то есть точка с координатами принадлежит данной прямой. Таким образом, координаты точки В определяются из системы уравнений:

2 (x + 4) + 4 (y + 3) + 5 (z + 10) – 140 = 0.

Эту систему уравнений удобно решать, преобразовав уравнение прямой в параметрический вид:

x = 2 t + 1

y = 4 t + 2

z = 5 t + 3

2 x + 4 y + 5 z – 70 = 0.

Подставив первые равенства в последнее уравнение, получим t = 1. Следовательно,

x₀ = 1, y₀ = 2, z₀ =3.

ОТВЕТ (1,2,3)

ПРИМЕР 7.12Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую:

x = t - 2

y = 1 и составляющей с плоскостью x – 4 y – 8 z – 7 = 0 угол .

z = t + 5 (Система координат прямоугольная декартова).

РЕШЕНИЕ

Из уравнения прямой следует, что искомая плоскость проходит через точку (2,-4,5), следовательно, ее уравнение может быть записано в виде:

A (x - 2) + B(y + 4) + C(z - 5) = 0,

где (А,В,С) – координаты нормального вектора этой плоскости. Найдем условия, определяющие эти координаты.

Из уравнения прямой следует, что ее направляющий вектор (1,0,1). Он параллелен искомой плоскости, т. е имеет место равенство:

А + C = 0 Следовательно: C = -А

Записав формулу для вычисления косинуса угла между данной и искомой плоскостью, получим:

= Þ9 = (А – 4 В – 8 С)

Из полученных равенств приходим к уравнению: 9 = (9 А – 4 В).

После возведения в квадрат и приведению подобных членов, получим:

49 В²-144 А В = 0 Следовательно: 1) В = 0 или 2)

Во втором случае достаточно взять А=49, В=144.

Легко увидеть, что при В=0 устраивает любое А и С = - А. При этом А ¹ 0, т.к.

в противном случае нуль-вектор должен служить нормальным вектором искомой плоскости. Уравнение искомой плоскости приобретает вид:

A (x - 2) –A (z – 5 = 0

После сокращения на А получим: x – z + 3 = 0.

Во втором случае получаем уравнение: 49 (x - 2)+ 144 (y - 1)- 49 (z - 5) = 0.

ОТВЕТ x – z + 3 = 0 и 49 x + 144 y – 49 z + 3 = 0.

7.91. Найти направляющие косинусы прямых:

а) x = 2 t + 4

y = 1 + t

z = 2 t - 5;

б)

в) 4 x – 3 y + 7 = 0

z – 5 = 0.

(Система координат прямоугольная декартова).

7.92. Найти косинусы углов между прямыми из задачи 7.87. (Система координат прямоугольная декартова).

7.93. Найти синусы углов между прямой и плоскостью задачи 7.82. (Система координат прямоугольная декартова).

7.94. Через точку (1,2,3) провести плоскость, перпендикулярную прямой:

а)

б) x = 2 t + 4

y = 1 + t

z = 2 t - 5;

в) x + 2 y + 3 z + 8 = 0

5 x + 3 y + z – 16 = 0.

(Система координат прямоугольная декартова).

7.95. Через точку (-1,0,-2) провести прямую, перпендикулярную плоскости:

а) 3 x – 2 y + z – 11 = 0; в) y – 2 = 0.

б) 4 x + 7 z – 1 = 0;

(Система координат прямоугольная декартова).

7.96. Найти проекцию точки М на плоскость a в каждом из случаев:

а) М(1,2,-3), a: 6 x – y + 3 z – 41 = 0;

б) М(2,7,1), a: x – y + z + 7 = 0.

(Система координат прямоугольная декартова).

7.97. Найти проекцию точки М на заданную прямую m в каждом из случаев:

а) М( 7,9,7) m: ;

б) М(2,-1,3) m: x = 3 t

y = 5 t - 7

z = 2 t + 2 ;

в) M(4,1,6) m: x – y – 4 z + 12 = 0

2 x + y – 2 z + 3 = 0.

(Система координат прямоугольная декартова).

7. 98.Найти точку, симметричную данной точке М относительно данной плоскости a в каждом из случаев:

а) М(1,2,-3), a: 6 x – y + 3 z – 41 = 0; в) M(0,0,0), a: 2 x – y – z + 11 = 0.

б) М(2,7,1), a: x – y + z + 7 = 0;

(Система координат прямоугольная декартова).

7.99. Найти расстояние от точки М до заданной прямой m в каждом из случаев:

а) М(7,9,7) m: ;

б) М(2,-1,3) m: x = 3 t

y = 5 t - 7

z = 2 t + 2 ;

в) M(4,1,6) m: x – y – 4 z + 12 = 0

2 x + y – 2 z + 3 = 0.

(Система координат прямоугольная декартова).

7.100. Найти проектирующие плоскости прямой, на координатные плоскости и составить уравнения проекций для заданных прямых:

а) x = 2 t + 1 в) x + y – z + 5 = 0

y = - t - 5 2 x – y + 3 z – 1 = 0;

z = t;

б) ;

(Система координат прямоугольная декартова).