Анализ тенденций Аппроксимация кривой

где F_Y - прогнозируемый объем продаж видеомагнитофонов в году К, где Т = Y - 1980, а и Ь - неизвестные коэффициенты, подлежащие определению.

Основной вопрос, связанный с анализом тенденций и многими другими методами статистического прогнозирования, заключается в определении значений неизвестных коэффициентов. Регрессивный анализ представ­ляет собой наиболее распространенный способ, позволяющий это сде­лать. Производится расчет значений коэффициента, минимизирующих сумму квадратов разностей фактического и прогнозируемого объемов продаж следующим образом:

где и_у - вектор ошибок, F_y - S_Y.

Данный метод позволяет получить уравнение:

F_Y = 0,14 + 1,65 х Т + u_Y

R² = 0,987

Значение R² указывает на достаточно близкую аппроксимацию, посколь­ку это значение может колебаться между 1 (точное соответствие) и О (полное отсутствие соответствия).

Такой превосходный со статистической точки зрения результат отра­жает опасности, связанные с анализом тенденций. Результат наивен: только глупец мог бы рассчитывать на то, что объемы продаж видеомаг­нитофонов с течением времени всегда будут линейно возрастать! При визуальном осмотре также видно, что тенденция изменения объема про­даж представляет собой не прямую линию, а кривую с изгибом вверх. Анализ тенденций позволяет решить эту проблему путем составления более сложного уравнения. Квадратное уравнение позволяет провести регрессивный анализ и получить формулу, обеспечивающую более точ­ную аппроксимацию и форму графика:

F_Y = 0M + 1,05 х 7 +0,15 х Т²+ и_у

R² = 0,999

при Т = 5 для 1985 г. и Т = 6 для 1986 г. Результаты также позволяют установить верхний и нижний пределы (95 процентов) оценки - показа­тели, представляющие собой полезный дополнительный результат рег­рессивного анализа.

Линейная и квадратная форма - это два из множества видов уравне­ний, которые могут применяться для аппроксимации тенденций. Други­ми методами прогнозирования могут быть:

Такие аппроксимации хороши, но о каких прогнозах они говорят? Квадрат­ная и экспоненциальная формы предсказывают все более стремительный рост объемов продаж, но экспоненциальная форма при таких темпах роста дает результат прогнозирования, равный в 1996 году 30 000 000 единиц, т.е. более чем по одному видеомагнитофону на каждую семью в Соединенном Королевстве. К сожалению, эти две кривые с оптимальной аппроксимацией дают наиболее противоречивые результаты прогнозов. В то время как квад­ратная форма предполагает умеренный экспоненциальный рост, квадратный логарифм предсказывает падение продаж после 1984 года.

Результаты указывают на опасность, связанную с искажением формы и аппроксимации кривой при проведении анализа тенденции. Аппрокси­мацию кривой с помощью регрессивного анализа следует предпринимать только после выбора желаемой формы кривой и выражения. В случае возникновения сомнений следует использовать прямую линию для апп­роксимации к временному ряду. Это может быть явно неправильным, но, по крайней мере, в данном случае нам известны все недостатки такого метода. Альтернативным образом некоторые проблемы, связанные с не­предсказуемыми кривыми, можно устранить путем тщательного выбора временного ряда для проведения анализа и использования ограниченно­го анализа тенденций.

Несмотря на все недостатки, существует несколько видов полезного применения анализа тенденций. Прогнозирование объемов продаж - это наиболее распространенный способ применения, но анализ тенденций также эффективен и в других сферах, таких как определение уровня принятия рынком новых продуктов, замена одной технологии другой, прогнозирование технологических изменений. Анализу тенденций также присущи некоторые преимущества регрессивного анализа. Он проводит­ся относительно быстро, прост в применении и будучи основанным на доступной для понимания методике, обеспечивает статистические меры надежности и достоверности результатов.

S-образная кривая

S-образный временной ряд, или S-образные кривые, отражающие дости­жение насыщения у верхнего предела, особенно подходят для проведе­ния анализа временных рядов. В сфере прогнозирования технологий и объемов продаж нередко существует верхняя граница, за пределы кото­рой никогда не выйдет производительность или объем продаж. Возьмем, к примеру, автомобильный двигатель. Существует теоретический предел теплового КПД, которого может достичь двигатель внутреннего сгора­ния, поэтому, как ожидается, выгода от вложений в исследования и раз­работки будет постепенно уменьшаться по мере достижения этого теоретического предела. Аналогичным образом в сфере продажи видеомагнитофонов, очевидно, существует некоторая верхняя граница объема продаж, которой можно достичь в определенный момент времени. Принимая во внимание все эти рациональные или практические ограничения, можно значительно повысить качество и надежность анализа тенденций.

Прогнозируя потенциал новой группы продуктов, таких как видеомагнитофоны, проще и надежнее предсказать проникновение на рынок, а не I объем продаж. Это объясняется тем, что проникновение всегда происхо­дит в соответствии с графиком, изображаемым в виде кривой определенной формы, имеющей верхний предел. Для бытовой техники абсолютным "потолком" является 100 процентов семей, хотя есть такие товары, на пример, посудомоечные машины, уровень насыщения рынка которыми, по-видимому, гораздо ниже.

Рис. 9.4. Прогноз проникновения с использованием S-образной кривой

На рис. 9.4 отражены показатели и прогноз проникновения для видеомаг­нитофонов. Прогноз получен с использованием S-образной кривой Гомпер-ца с определенным уровнем насыщения. Выражение имеет форму:

F_T=a₀x a^a₁^T2,

где а₀ , а и а - это параметры, подлежащие оценке, а Т - время. После решения а₀ - это уровень насыщения, выше которого объем продаж не поднимется никогда, а а₀ х а₁ - это прогноз при Т = 0. К сожалению, уравнение Гомперца следует решать с помощью нелинейных методов оценки, а не регрессивным методом. Это повторяющиеся процедуры на основе правил, определяющих процесс поиска коэффициентов, которые иначе определялись бы с помощью регрессивного анализа. Существует целый ряд таких процедур, но не все они надежны.

Уравнение Гомперца для проникновения на рынок видеомагнитофонов имеет вид:

F_Y = 59,2 х 0,0420^0.647T,

где Т = год 1980.

Исходя из этого, уровень насыщения при проникновении на рынок составит 59,2 процента семей, и объем продаж будет падать после 1994 года. В качестве альтернативы нелинейной оценки для определения S-образной кривой, уравнение Гомперца или аналогичную логистичес­кую модельможно решить с помощью регрессивного анализа при извест­ном уровне насыщения (а₀).

Эти преобразования позволяют оценить надежные S-образные выра­жения, но в случае выбора неподходящего уровня насыщения соответ­ствие между результатами и данными будет неудовлетворительным. Если это произойдет, необходимо путем проб и ошибок подбирать различные уровни насыщения до тех пор, пока не будет получен более удовлетвори­тельный результат. При проведении поиска систематическим образом процесс превратится в процедуру нелинейной оценки. Описанные ниже особые случаи распространения нововведений и замены технологий слу­жат дополнительными примерами выгодного применения ограниченного анализа тенденций.

Сходство между S-образной кривой, отражающей степень принятия продукта, и графиком ранних этапов жизненного цикла продукта может ввести в заблуждение. S-образная кривая ведет от первых случаев по­требления продукта к уровню насыщения, который будет достигнут в тот момент, когда все потребители примут данный продукт. Для сравнения, график жизненного цикла продукта отражает объем продаж, включаю­щий в себя не только первые, но и повторные покупки. Фазы этих кри­вых зачастую не совпадают. Например, в Европе почти каждому прихо­дилось ездить на автобусе, то есть S-образная кривая принятия продукта достигла уровня насыщения и уже не будет подниматься вверх, но и не сможет опуститься вниз. Напротив, график жизненного цикла автобусов находится на стадии упадка, поскольку все больше людей предпочитает ездить в собственных автомобилях. В сфере потребления вин в США наблюдается прямо противоположная ситуация. В этом случае также S-образная кривая принятия продукта достигла уровня насыщения, посколь­ку большинство людей, желающих и имеющих возможность попробовать вино, уже сделали это. Тем не менее, кривая жизненного цикла такого продукта как вино в Соединенном Королевстве продолжает двигаться вверх по мере того как люди потребляют столовые вина все в большем количестве.

Модель "рыночного накопления", описанная выше (раздел 9.2.1), по­зволяет связать между собой кривые принятия продукта и жизненного цикла. Согласно этому методу график в форме S-образной кривой близко соответствует "числу покупателей на рынке", в то время как график жизненного цикла продукта отражает "суммарный рыночный спрос".