Количество движения и кинетическая энергия точки. Импульс силы

Количество движения и кинетическая энергия являются основными динамическими характеристиками движения точки.

Количеством движения материальной точки называется векторная величина , равная произведению массы точки на ее скорость. Вектор направлен так же, как и скорость точки, т.е по касательной к ее траектории.

Кинетической энергией материальной точки называется скалярная величина , равная половине произведения массы точки на квадрат ее скорости.

Элементарным импульсом силы называется векторная величина , равная произведению силы на элементарный промежуток времени dt:

Полный импульс силы за некоторый конечный промежуток времени будет

.

(3.10)

В проекциях на оси координат:

, , .

(3.11)

Если , то или

В проекциях на оси координат: , ,

Если к точке приложено несколько сил то их равнодействующая . Умножим обе части этого равенства на и проинтегрируем

, откуда , т.е импульс равнодействующей равен геометрической сумме импульсов всех равнодействующих на точку сил.

В проекциях на оси координат:

, , .

(3.12)

Теорема об изменении количества движения точки.

Пусть точка М массы m движется под действием сил (рисунок 3.1). Запишем для данной точки основное уравнение динамики (3.2)

Так как , то основное уравнение динамики запишется в виде:

(3.13)

Равенство (3.13) выражает теорему об изменении количества движения точки в дифференциальной форме: производная по времени от количества движения точки равна геометрической сумме всех действующих на точку сил.

Пусть в момент времени t=0 скорость точки , а в момент времени t скорость точки . Разделяя переменные в равенстве и интегрируя, получим:

Так как , геометрической сумме импульсов сил , то

(3.14)

Равенство (3.14) выражает теорему об изменении количества движения точки в конечном виде: изменение количества движения точки за некоторый конечный промежуток времени равно геометрической сумме импульсов всех действующих на точку за тот же промежуток времени в проекциях на оси координат:

;

;

.

Теорема об изменении количества движения точки в основном применяется на тех участках траектории движения точки, на которых задано время движения точки или это время нужно определить.

Момент количества движения точки относительно центра и оси. Теорема об изменении момента количества движения точки (теорема моментов)

В некоторых задачах в качестве динамической характеристики движения точки вместо самого вектора количества движения рассматривают его момент относительно некоторого центра или оси.

Рис. 3.4

Эти моменты определяются так же, как и моменты силы в статике.

Таким образом, моментом количества движения точки относительно некоторого центра О называется векторная величина , определяемая равенством:

(3.15)

где r – радиус – вектор движущейся точки М, проведенный из центра О. Вектор направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через вектор и центр О, а (рис. 3.4: для сравнения на нем показан и вектор , который перпендикулярен плоскости, проходящей через и центр О)

Момент количества движения точки относительно какой-нибудь оси , проходящей через центр О, будет равен проекции вектора на эту ось:

,

где – угол между вектором и осью .

Теорема моментов устанавливает, как изменится со временем вектор . Для доказательства продифференцируем по времени равенство (3.15) . Получим:

Но как векторное произведение двух параллельных векторов, а

Следовательно, или

(3.16)

Равенство (3.16) выражает теорему моментов относительно центра: производная по времени от момента количества движения точки, взятого относительно какого-нибудь неподвижного центра равна моменту действующей на точку силы относительно того же центра.

Проецируя равенство (3.16) на какую-нибудь ось , проходящую через центр О, получим: .

Равенство (3.5) выражает теорему моментов относительно оси

Из равенства (3.4) следует, что если , то

Работа силы. Мощность

Элементарной работой силы на элементарном перемещении называется скалярная величина (рис. 3.5)

(Здесь dA – символ элементарной величины, но не дифференциала. Дифференциалом какой-нибудь функции величина dA вообще может не быть.)

Рис. 3.5

Так как , то

, если сила способствует движению точки - острый.

, если сила препятствует движению точки - тупой.

, если

Если учесть, что , где - вектор элементарного перемещения точки М и воспользоваться известным из векторной алгебры понятием о скалярном произведении двух векторов, то равенство (3.17) можно записать в виде

(3.18)

Следовательно, элементарная работа силы равна скалярному произведению силы на вектор элементарного перемещения ее точки приложения. Через проекции векторов и на координатные оси равенство (3.18) запишется в виде – аналитическое выражение элементарной работы.

Работа силы на любом конечном перемещении будет равна

(3.19)

или

(3.20)

Если , то , где .

Мощность. Мощностью называется величина, характеризующая быстроту совершения работы силой и равная отношению элементарной работы к промежутку времени, за который она совершена. (Определяющая работу, совершаемую силой в единицу времени). Если работа совершается равномерно, то мощность , где – время, в течении которого совершена работа А

В общем случае

.

(3.21)