Смешанные задачи на прямую и плоскость

ПРИМЕР 7.13.Через точку M(3,-2,-4) провести прямую, параллельную плоскости

6 x – 4 y – 6 z + 7 = 0 и пересекающую прямую: .

РЕШЕНИЕ

Пусть (p₁,р₂,р₃) – направляющий вектор искомой прямой. Из канонического уравнения данной прямой следует, что (3,-2,2) – направляющий вектор данной прямой, а N(2,-4,1) – одна из ее точек. Т.к. искомая прямая параллельна данной плоскости, то вектор (p₁,р₂,р₃) удовлетворяет условию 6 р₁ – 2 р₂ – 6 р₃ = 0.

Т.к. данная и искомая прямые пересекаются и, следовательно, лежат в одной плоскости, то выполнено условие пересечения прямых. Итак, координаты вектора (p₁,р₂,р₃) определяются системой уравнений:

6 р₁ – 4 р₂ – 6 р₃ = 0

, которая преобразуется к виду:

3 р₁ – 2 р₂ – 3 р₃ = 0 21 р₂ + 14р₃ = 0 р₃ = - р₂

6 р₁ + 17 р₂ + 8 р₃ = 0 или 42 р₁ + 35 р₂= 0 Отсюда следует: р₁ = - р₂

Т.к. направляющий вектор (p₁,р₂,р₃) определяется с точностью до пропорционального множителя, достаточно взять р₂ =- 6 , следовательно, р₁ = 5, р₃ = 9. Зная направляющий вектор (p₁,р₂,р₃) и заданную точку М можно записать каноническое уравнение искомой прямой.

ОТВЕТ .

ПРИМЕР 7.14На оси ОХ найти точку равноудаленную от точки (1,-7,9) и от плоскости 8 x – 4 y + z – 3 = 0.

РЕШЕНИЕ

Искомая точка лежит на оси ОХ, поэтому имеет координаты (х₀,0,0). Вычисляя ее расстояние от данной плоскости и точки приходим к уравнению:

= ú х₀-1ú

Раскрытие модулей приводит к двум вариантам:

1) 8 х₀ – 3 = 9 (х₀ - 1), откуда следует х₀ = -2,

2) 8 х₀ – 3 = - 9 (х₀ - 1) , откуда следует х₀ = .

ОТВЕТ (-2,0,0) и ( .0,0).

7.101. Через прямую провести плоскость, перпендикулярную плоскости 6 x + 4 y – 2 z + 11 = 0. (Система координат прямоугольная декартова).

7.102. Написать уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые в каждом из случаев:

B AAAPAAAAAAAAAAAAAAAAAA0FAABkcnMvZG93bnJldi54bWxQSwUGAAAAAAQABADzAAAAFwYAAAAA "/>

а) x = 2 t - 5 x = 2 t - 3

y = - t + 1 и y = - t + 1

z = t + 4 z = t -1;

б) и x = 2 t - 4

y = t - 2

z = 2 t + 3;

в) x + 4 y – z – 3 = 0 2 x – y – z + 1 = 0

3 x – 4 y – 3 z + 7 = 0 и 2 x + y – z – 11 = 0.

7.103. Доказать, что прямая m параллельна плоскости a и найти расстояние между прямой m и плоскостью a в каждом из случаев:

а) m: , a: 2 x – 5 y + 3z – 1 = 0;

б) m; x = - 5 t + 3, a: 2 x – 2 y – 3 z – 5 = 0;

y = t + 2

z = - 4 t + 1.

в) m: x + 4 y – z – 3 = 0 a: 2x-2y-z+1=0

3 x -4 y – 3 z + 7 = 0

(Система координат прямоугольная декартова).

7.104 Провести плоскость через точку (0,0,0) и перпендикуляр, опущенный из точки

(1,-1,0) на прямую: . (Система координат прямоугольная декартова).

7.105. Через точку А провести плоскость, параллельную прямой m и перпендикулярную плоскости a в каждом из случаев:

а) А(-1,1,3), m; x – у + 3 = 0 a: 6 x – 4 y + 3 = 0 §

x – z + 7 = 0

б) А(0,0,0), m; x = 2 t + 1 a; x – 2 y + z – 9 = 0.

y = 3 t

z = - t + 2

(Система координат прямоугольная декартова).

7.106. На данной прямой m найти точку, равноудаленную от заданных точек А и В в каждом из случаев:

а) А(4,3,10), В(2,9,6), m; ;

б) А(3,1,-2), В(5,3,-2), m; ;

в) А(3,11,4), В(-5,-13,-2), m: x + 2 y + z – 1 =0

3 x – y + 4 z – 29 = 0

(Система координат прямоугольная декартова).

7.107. Найти кратчайшее расстояние между двумя скрещивающимися прямыми в каждом из случаев:

а) x = 3 t - 7 x = 6 t + 21

y = 4 t - 4 и y = - 4 t - 5

z = - 2 t - 3 z = - t + 2;

б) и ;

в) x = 3 t - 5

y = 2 t- 5 и ;

z = - 2 t + 1

г) 2 x – y – z = 0 2 x – 3 y + z – 4 = 0

x + y + z – 9 = 0 и x + 2 y – z + 1 = 0 .

(Система координат прямоугольная декартова).

108. Найти расстояние от точки М до прямой m в каждом из случаев:

а) М(7,9,7) m: ;

б) М(0,-1,1) m; x + 2 z – 7 =0

y + 1 = 0;

в) M(1,3,5), m 2 x + y + z – 1 = 0

3 x + y + 2 z – 3 = 0;

г) М(1,2,5), m; 4 x – 3 z + 3 = 0

x + y – z + 2 = 0.

(Система координат прямоугольная декартова).

7.109. Через данную точку М провести прямую, перпендикулярную двум данным прямым m и n в каждом из случаев;

а) М(0,-1,2), m; , n; ;

б) М(3,-2,7), m; , n; x = 4 – 3 t

y = 5 + t

z = 7 – 2 t;

в) М(4,5,-2), m; 2 x – y + 3 z + 4 = 0 n; 2 x + y + 4 z = 0

x – 2 y – 2 z + 2 = 0 x – y – z + 1 = 0.

(Система координат прямоугольная декартова).

7.110. Найти проекцию прямой m на плоскость a в каждом из случаев:

а) m: x = 2 t - 1 a: 3 x – y + z – 1 = 0;

y = t + 3

z = t + 2;

б) m: 3 x – 4 y – 3 z + 7 = 0 a: x – y + 2 z – 4 = 0.

х + 4 y – z – 3 = 0

в) m: x + 2 y – z + 2 = 0 a: 2 x – y + 3 = 0 .

x – 2 y + z + 4 = 0

(Система координат прямоугольная декартова).

7.111. Провести прямую, параллельную плоскостям: x + 4 y – z – 7 = 0 и

3 x – 4 y – 3 z + 1 = 0 и пересекающую прямые:

, .

7.112. Найти уравнение прямой, проходящей через данную точку М, которая пересекает данную прямую m под прямым углом в каждом из случаев:

а) М(2,-1,0), m: x = t

y = - 3 t - 1

z = - 2 t -1;

б) М(-1,0-2), m:

в) М(1,-2,1), m: x + 4 y – z – 3 = 0

3 x – 4 y – 3 z + 7 = 0.

(Система координат прямоугольная декартова).

7.113. На прямой 2 x – y – 7 = 0 найти точку, ближайшую к точке (3,2,6) .

х + z – 3 = 0

(Система координат прямоугольная декартова).

7.114. Найти проекцию прямой m на плоскость a по направлению вектора в каждом из случаев:

а) m: x = t + 2 a: 2 x – 3 y + z – 7 = 0; (1,-1,1);

y=-2t+1

z=3t;

б) m: a: x + 2 y – 4 z + 10 = 0, (0,-2,1);

в) m: x + 4 y - z – 3 = 0 a: x – 4 y + 5 z + 7 = 0; (-1,2,4).

3 x – 4 y – 3 z + 7= 0;

7.115.Найти расстояние между двумя параллельными прямыми:

а) x = 3 t + 2 и ;.

у = 4 t - 1

z = 2 t

б) x + y – z = 0 и ;

x – y – 5 z – 8 = 0

в) x + 3 y + z + 2 = 0 x = 1 + 2 t

x – y – 3 z – 2 = 0 и y = - t

z = 1 + t;

г) x + 4 y – z – 3 = 0 2 x – y – z + 1 = 0

3 x – 4 y – 3 z – 9 = 0 и 2 x + y – z + 1 = 0.

(Система координат прямоугольная декартова).

7.116. Доказать, что заданные прямые параллельны и написать уравнение прямой, проходящей посередине между ними.

а) x + 5 y – 2 z -13 = 0 и ;

3 x + y + 4 z – 1 = 0

б) ) x + 3 y + z + 2 = 0 x = 1 + 2 t

x – y – 3 z – 2 = 0 и y = - t

z= 1 + t;

в) x + 4 y – z – 3 = 0 2 x – y – z + 1 = 0

3 x – 4 y – 3 z – 9 = 0 и 2 x + y – z + 1 = 0.

7.117. Доказать, что данные прямые скрещиваются и найти уравнение плоскости, параллельной данным прямым и одинаково удаленной от них, если прямые заданы:

а) и x = 3 t + 1

y = 2 t - 2

z = - 3 t + 2;

б) x – y + 2 = 0 ;

2 y- z + 2 = 0 и

в) x + 4 y – z – 3 = 0 x + 2 y – z + 2 =0

3 x – 4 y – 3 z + 7 = 0 и x – 2 y + z + 4 = 0;.

г) 5 x + 3 y + z – 8 =0 x – y – 4 z = 0

х + 2 y + 3 z – 10 =0 и 2 x + y – 2 z= 0.

(Система координат прямоугольная декартова).

7.118.Написать уравнение общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых, заданных в задаче 7.117.

Система координат прямоугольная декартова).

7.119. Выяснить взаимное расположение сферы (x - 2)² + y² + (z - 1)² = 16 и плоскости в каждом из случаев:

а) 8 x – 4 y + z + 21 = 0;

/g AAAACgEAAA8AAAAAAAAAAAAAAAAADwUAAGRycy9kb3ducmV2LnhtbFBLBQYAAAAABAAEAPMAAAAc BgAAAAA= "/> б) , в) x = l + 3 m - 3

y = - m - 5

z = l - 1

(Система координат прямоугольная декартова).

7.120. Найти касательную плоскость к сфере x² + y² + z² = 9, перпендикулярную данной прямой в каждом из случаев:

а) ; в) 2 x + y + 6 = 0

x – z + 1 = 0.

б) x = 2 t

y = t + 3

z = t;

(Система координат прямоугольная декартова).

7.121. Найти касательную плоскость к сфере (x-1)² + (y+2)² + (z-1)² =1 , параллельную данной плоскости в каждом из случаев:

а) 10 x – y – 11 z – 1 = 0;

б)

в) x = l - 3

y = 2 l + 2 m - 5

z = - m - 1.

[1] Слова «дано (найти) уравнение стороны (медианы, биссектрисы, высоты и т.п.)» следует понимать так: «дано (найти) уравнение прямой, содержащей сторону (медиану, биссектрису, высоту и т.п.)».