Предельная абсолютная погрешность некоторых мер и приборов

Отсюда следует (обратите внимание!),что для обеспечения хорошей точности измерения необходимо выбирать такой прибор (или предел измерения), при котором значение измеряемой величины А_изм было бы близким к предельному А_мах (для стрелочных приборов отклонение стрелки было бы почти на всю шкалу).

Для магазинов сопротивлений, электроемкостей, индуктивностей класс точности k характеризует предельную относительную погрешность каждого элемента в наборе магазина. Поэтому абсолютная погрешность ΔА_и находится соотношением , где Х_вкл – значение соответствующей величины, включенной в цепь.

Пример 3.Имеетсямагазин сопротивлений класса точности k = 0,2, который содержит несколько декад сопротивлений в диапазоне от
R_min = 0,01 Ом до R_тах = 11111,1 Ом. Но в электрическую цепь включено только сопротивление R_вкл = 1000 Ом. Тогда абсолютная инструментальная погрешность ΔА_и = = 2 Ом.

Погрешность отсчета

При измерениях показания приборов нередко округляются. В результате возникают погрешности отсчета.

Интервал округления hможет быть различным. Если отсчет снимается с точностью до целого деления, то интервал округления равен цене деления шкалы прибора, то есть тому значению измеряемой величины, которое соответствует одному делению шкалы.

Пример 1. Стрелка амперметра установилась между штрихами шкалы, соответствующими силе тока 1,4 и 1,5 А (цена деления шкалы амперметра С = 0,1 А/дел.). Если стрелка ближе к первому штриху, то за отсчет принимается сила тока I₁ = 1,4 А, если стрелка ближе ко второму штриху, то сила тока I₂ = 1,5 А. Округление отсчета в обоих случаях произведено до одного целого деления. Следовательно, интервал округления h = 0,1 А.

Если отсчет округляется до половины деления (в рассмотренном примере сила тока I принята равной 1,45 А), то интервал округления равен половине цены деления (в примере h = 0,05 А).

При округлении максимальная погрешность, очевидно, не превышает половины интервала округления, то есть величины h/2. Поэтому абсолютная погрешность отсчета ΔА_о = h/2.

Пример 2.Пусть при помощи линейки с миллиметровыми делениями измеряется длина l некоторого предмета. Отсчет округляется до одного деления, то есть до 1 мм. Значит, величина h = 1 мм, а абсолютная погрешность отсчета ΔА₀ = h /2 = 0,5 мм.

Иногда измеряемую величину регулируют так, чтобы стрелка прибора установилась точно на какое-то выбранное деление (например, с помощью реостата регулируется сила тока в цепи). Такая операция может быть выполнена довольно точно, следовательно, погрешность отсчета пренебрежимо мала, и ее можно принять равной нулю: ΔА_о ≈ 0.

Каждый экспериментатор стремится как можно точнее выполнить измерения. Однако надо ясно осознавать, что отсчет «на глаз» десятых долей деления даже при оптимальных условиях не гарантирует должной надежности. В учебных лабораториях рекомендуется производить отсчет с точностью не большей, чем до половины деления шкалы прибора.

Градуировку шкал измерительных приборов производят так, чтобы цена деления С лежала в интервале [ΔА_и; 2ΔА_и]. Тогда при нормальном, вполне естественном округлении – до половины деления шкалы – абсолютная погрешность отсчета ΔА_о будет по крайней мере вдвое меньше инструментальной погрешности ΔА_и. Отсюда же вытекает и приближенное практическое правило: если неизвестна погрешность измерительного прибора, то ее можно оценочно принять равной половине цены деления шкалы.

При использовании весов абсолютная погрешность отсчета равна половине массы наименьшей гири, лежащей на весах (либо выводящей весы из равновесия).

В механических секундомерах стрелка движется скачками от штриха к штриху по шкале прибора. Остановка стрелки между штрихами невозможна. Поэтому для секундомера погрешность отсчета принимается равной цене деления шкалы, то есть 0,2 с, а не ее половине.

Погрешность вычисления

Если при обработке результатов вычислений полученные значения величин округляются, то необходимо вводить погрешность вычисления ∆А_в. Эту погрешность вычисляют следующим образом: пусть А_изм – измеренная величина, округленная с одной запасной цифрой, [А_изм] – та же величина, но округленная до цифр основной точности. Тогда погрешность вычисления ∆А_в = А_изм - [А_изм].

Рассмотрим пример оценки погрешности вычисления, возникающей при округлении результатов расчетов или измерений. Пусть для ускорения свободного падения g_изм и его абсолютной погрешности Δg_изм в лабораторной работе были получены следующие значения: g_изм = 9,68 м/с² и
Δg_изм = 0,42 м/с². Цифры, соответствующие сотым долям, запасные. Их надо отбросить при округлении, то есть принять g_изм = 9,68 м/с² ≈ 9,7 м/с². Но тогда такое округление может привести к увеличению погрешности на две сотые (Δg_в = |9,7 м/с² - 9,68 м/с²| = 0,02 м/с²). Поэтому погрешность Δg конечного результата g будет определяться суммой двух слагаемых:
Δg = Δg_изм + Δg_в = 0,44 м/с² ≈ 0,5 м/с². Она как верхняя граница возможной погрешности округляется с избытком до одной значащей цифры. Если бы значение Δg являлось промежуточным результатом, то есть использовалось бы в последующих расчетах, то его следовало бы брать с одной запасной цифрой: Δg = 0,44 м/с².

При округлении пользуются следующей терминологией.

Значащими цифрами числа называются все его цифры, в том числе и нули, если они не расположены в начале числа. Так, числа 3,1416; 5,094∙10⁵; 0,0172 имеют соответственно пять, четыре и три значащие цифры. Можно сказать иначе: первое число – пятизначное, второе – четырехзначное, третье – трехзначное.

Приближенные числа, получаемые в результате измерений и вычислений, могут содержать разное количество значащих цифр, среди которых есть верные, сомнительные и неверные.

Цифра приближенного числа называется верной,если его абсолютная погрешность не превышает одной единицы того разряда, в котором стоит данная цифра.

Например, в приближенном числе 46 ± 2 абсолютная погрешность 2 не превышает одного десятка (2 < 10), но превышает одну единицу (2 > 1). Поэтому в приведенном приближенном числе цифра 4, стоящая в разряде десятков, является верной, а о цифре 6, стоящей в разряде единиц, этого сказать нельзя. В приближенном числе 10,5 ± 0,3 абсолютная погрешность 0,3 не превышает одного десятка (0,3 < 10) и одной единицы (0,3 < 1), но превышает одну десятую (0,3 > 0,1). Поэтому в приведенном приближенном числе верными являются цифры, стоящие в разрядах десятков и единиц.

Цифра, стоящая за последней верной, является не вполне точно определенной: в ней содержится погрешность, поэтому она называется сомнительной.В приведенных примерах сомнительными являются цифры 6 (в числе 46) в разряде единиц и 5 (в числе 10,5).

Цифры приближенного числа, стоящие после сомнительной, неверные. Действительно, так как сомнительная цифра не может быть определена точно, то цифры последующих, более младших разрядов невозможно найти и даже оценить. Поэтому неверные цифры, не содержащие реальной информации, бессмысленны и должны быть отброшены. Правило записи приближенных чисел с сохранением всех верных и одной сомнительной носит название принципа Крылова – Брадиса. Этим принципом широко пользуются в приближенных вычислениях.

Округления при обработке результатов наблюдений и при записи результатов измерений следует выполнять, руководствуясь следующими правилами.

1. Округлять результат измерения следует так, чтобы он оканчивался цифрой того же разряда, что и значение его погрешности. Если десятичная дробь в числовом значении результата измерения оканчивается нулями, то нули отбрасывают только до того разряда, который соответствует разряду числового значения погрешности.

2. Если цифра старшего из отбрасываемых разрядов меньше 5, то остающиеся цифры числа не изменяют. Лишние цифры в целых числах заменяют нулями, а в десятичных дробях отбрасывают.

Примеры. Числовое значение результата измерения 85,6342 при погрешности в пределах ±0,04 следует округлить до 85,63. То же число при погрешности в пределах ±0,012 следует округлить до 85,634. Возникшие при этом погрешности вычислений соответственно равны 0,0042 и 0,0002.

Число 165245 при сохранении четырех значащих цифр должно быть округлено до 165200, число 165,245 – до 165,2. Погрешности вычисления при этом 45 и 0,045 соответственно.

Если цифра старшего из отбрасываемых разрядов больше или равна 5, но за ней следуют отличные от нуля цифры, то последнюю оставляемую цифру увеличивают на единицу. Например, при сохранении трех значащих цифр число 18598 округляют до 18600, число 152,56 – до 153.

Если отбрасываемая цифра равна 5, а следующие за ней цифры неизвестны или нули, то последнюю сохраняемую цифру числа не изменяют, если она четная, и увеличивают на единицу, если она нечетная. Например, число 10,5 при сохранении двух значащих цифр округляют до 10, число 11,5 – до 12.

При использовании значений физических величин, взятых из таблиц, следует помнить, что при записи их округляют по основным правилам и сохраняют только верные цифры. Поэтому разность между записанным в таблице и не округленным значением не превышает половины единицы последнего разряда округленной единицы. Например, если в таблице указано, что показатель преломления алмаза n = 2,42, то Δn = 0,005 (в интервальной форме запись будет иметь вид n = (2,420 ± 0,005); электрохимический эквивалент алюминия k = 9,32ּ10^-8 кг/Кл, а Δk = 0,005ּ10^-8 кг/Кл (в интервальной форме запись будет иметь вид k = (9,320 ± 0,005)ּ10^-8 кг/Кл) и т.д.

Как уже отмечалось раньше, при округлении результатов измерений точность их уменьшается, так как погрешность вычисления Δx_в добавляется к погрешности измерений Δx_изм. Таким образом, округления при вычислениях должны проводится таким образом, чтобы погрешность, возникающая при этом, не превышала погрешности измерений. Поэтому в промежуточных расчетах всегда сохраняют одну запасную значащую цифру, отбрасываемую в окончательной записи результата.

При проведении вычислений с округленными числами следует придерживаться следующих правил.

Правило I.При сложении и вычитании приближенных чисел врезультате сохраняют цифры только тех разрядов, в которых имеются верные цифры во всех исходных данных (2,56 + 3,14 + 6,17 = 11,87;
3,0873 + 3,1415 + 3,27 = 9,4988 ≈ 9,50; 3,27 - 3,0873 = 0,1827 ≈ 0,18).

Правило II.При умножении и делении приближенных чисел в результате сохраняют столько значащих цифр, сколько верных значащих цифр в приближенном исходном данном с наименьшим их количеством (3,7 · 2,5 = 9,25 ≈ 9,3; 5,67 : 2,2 = 2,577272 ≈ 2,6).

Правило III.При возведении в степень приближенного числа в результате сохраняют столько значащих цифр, сколько верных значащих цифр в возводимом в степень числе (0,55² = 0,3025 ≈ 0,30; 1,8² = 3,24 ≈ 3,2).

Правило IV.При извлечении корня любой степени из приближенного числа в результате сохраняют столько значащих цифр, сколько верных значащих цифр в подкоренном числе (√7,803 = 2,793385 ≈ 2,793; √64 = 8,0).

Правило V.При нахождении десятичного логарифма приближенного числа в мантиссе (независимо от характеристики) сохраняют столько значащих цифр, сколько верных значащих цифр в самом числе (lg 4,12 = 0,615; lg 0,34 = -0,47; lg 8,1·10³ = 3,91).

Правило VI.При нахождении числа по приближенному значению его десятичного логарифма в результате сохраняют столько значащих цифр, сколько верных значащих цифр в мантиссе логарифма (lg x = 0,649, x = 4,46; lg x = 2,05, x = 1,1·10⁶; lg x = -0,903, x = 0,125).

Правило VII.При нахождении значения тригонометрической функции в результате сохраняют две значащие цифры, если угол задан с точностью до градуса, и четыре значащие цифры, если угол задан с точностью до минут.

Правило VIII.Для определения угла с точностью до градуса необходимо, чтобы значение его тригонометрической функции имело не менее двух верных значащих цифр, а для определения с точностью до минут – не менее четырех верных значащих цифр.

Правило IX.В промежуточных результатах сохраняют на одну значащую цифру больше, чем рекомендовано правилами I–VIII. В конечном результате запасная цифра отбрасывается.

Правило X.Если конечный результат надо получить с некоторой точностью, то во всех исходных данных необходимо иметь столько верных значащих цифр, сколько требуется для получения результата с одной лишней цифрой. В конечном результате эта лишняя цифра отбрасывается.

Правило XI.Если значения отдельных исходных данных имеют больше десятичных знаков (при сложении и вычитании) или больше значащих цифр (при умножении, делении, возведении в степень и извлечении корня), чем другие, то их предварительно округляют, сохранив только одну лишнюю цифру.

Система действий по нахождению погрешности вычислений будет достаточно простой:

1) по имеющимся данным рассчитать интересующую физическую величину;

2) используя правила I–XI,округлить результат вычисления;

3) найти погрешность вычисления как модуль разности расчетного и округленного результатов.