Обратная связь
|
Формулы для абсолютных и относительных погрешностей Вид
функции y
| Абсолютная погрешность y
| Относительная погрешность
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заметим, что во всех тригонометрических функциях углы заданы в радианах (1 рад = 57,300).
На основании вышеизложенного можно выделить следующую систему действий по нахождению погрешностей косвенных измерений методом границ погрешностей:
1) найти натуральный логарифм функции;
2) найти дифференциал логарифма;
3) заменить дифференциалы аргументов (переменных величин) их абсолютными погрешностями, а сами величины – их средними значениями;
4) заменить алгебраическое суммирование относительных погрешностей переменных величин (аргументов) арифметическим;
5) вычислить относительную погрешность косвенного измерения;
6) найти измеренное значение функции;
7) найти абсолютную погрешность измерения функции;
8) записать ответ.
К этому следует добавить, что значения всех величин, являющихся аргументами, должны быть найдены прямым измерением.
Приведем примеры выполнения этой системы действий. Отметим, что в физических исследованиях этот метод может применяться для любой (в том числе и не функциональной) связи между величинами.
Пример 1. Пусть требуется найти плотность вещества, из которого изготовлен данный однородный цилиндр.
Плотность вещества может быть найдена по формуле а объем цилиндра – по формуле Тогда где т, D, Н – соответственно масса, диаметр и высота цилиндра, значения которых были найдены прямыми измерениями: т = (64,8 ± 0,1) г, D = (2,25 ± 0,02) см, Н = (6,04 ± 0,02) см.
Выполняем следующие действия:
1) найдем натуральный логарифм функции
ln ρ = ln 4 + ln m - ln π - 2 ln D - ln Н;
2) найдем дифференциал логарифма:
3) заменим в полученном выражении дифференциалы их абсолютными погрешностями: dm → Δm, dπ → Δπ, dD → D, dH → H, а сами величины – их средними значениями: т → <т>, D → <D>, Н → <Н>. При этом погрешностью округления Δπ можно пренебречь, если взять число πс достаточным количеством значащих цифр;
4) заменим алгебраическое суммирование погрешностей арифметическим:
5) вычислим относительную погрешность измерения плотности вещества по полученной формуле:
6) найдем измеренное значение плотности вещества:
7) найдем абсолютную погрешность измерения плотности вещества:
8) запишем ответ: ρ = (2,70 ± 0,07) г/см3; ερ = 3 %.
Обратите внимание:в этом методе сначала находится относительная погрешность, а потом абсолютная. Причем относительная погрешность является суммой относительных погрешностей прямых измерений! Это позволяет оценить, измерение какой величины с помощью выбранного прибора вносит наибольшую погрешность в конечный результат, и наметить действия по ее уменьшению. Так, в рассмотренном примере
Нетрудно видеть, что основным источником ошибки являются измерения диаметра этого цилиндра. Поэтому уменьшение погрешности измерения остальных величин бессмысленно, пока не уменьшится названная ошибка (например, при использовании штангенциркуля с меньшей ценой нониуса).
Пример 2. Требуется найти ускорение движения тележки по наклонной плоскости.
Ускорение тележки может быть найдено по формуле , где Vа и Vв – скорости тележки в двух точках плоскости А и В, а Sв и Sа – расстояния, пройденные тележкой от вершины плоскости до этих точек. Скорости тележки в точках А и В экспериментатор находил,деля длину тележки l на время прохождения тележкой фотоэлементов ti, расположенных в точках А и В. В эксперименте были получены следующие результаты:
Sв - Sа = (100,0 ± 0,2) см, l = (5,00 ± 0,05) см,
а времена составляют
tа = (0,054±0,001) с, tв = (0,031 ± 0,001) с.
Итоговая формула для нахождения ускорения была следующей:
Для нахождения погрешностей измерения
1) найдем натуральный логарифм функции:
2) найдем дифференциал логарифма:
3) заменим в полученном выражении дифференциалы их абсолютными погрешностями, а сами величины – их средними значениями;
4) заменим алгебраическое суммирование погрешностей арифметическим:
5) вычислим относительную погрешность измерения ускорения по полученной формуле:
6) вычислим значение ускорения:
7) найдем абсолютную погрешность измерения ускорения:
8) запишем ответ: а = (87,21 ± 10,80) см/с2; εа = 12,4 %.
Метод границ
Для измерения некоторых величин учеными разработаны специальные методы: метод рядов – для нахождения малых размеров с помощью линейки; метод резонанса; метод интерференции; метод адиабатического расширения; компенсационный метод и др. Физику-исследователю необходимо этими методами владеть.
При нахождении конкретного значения конкретной физической величины тем или иным методом тоже приходится находить относительную и абсолютную погрешности. При вычислении погрешностей в этом случае целесообразно пользоваться методом границ.
Метод границ состоит из следующей системы действий:
1) проводят прямые измерения величин, через которые необходимо найти искомую величину А, и записывают результаты измерений с учетом абсолютной погрешности В = Визм ± ∆В;С = Сизм ± ∆С;
2) находят нижнюю (НГ) и верхнюю (ВГ) границы значений каждой из этих величин:
НГ(В) = В - ∆В, ВГ(В) = В + ∆В; НГ(С) = С - ∆С, ВГ(С) = С + ∆С;
3) вычисляют границы косвенно измеряемой величины А (НГ(А) и ВГ(А)), используя правила, представленные в таблице 6.
Таблица 6
Правила подсчета НГ(А) и ВГ(А) для простейших функций
Вид функции А
| НГ(А)
| ВГ(А)
| А = В + С
А = В - С
А = В·С
А = В : С
А = Вn
A =
| НГ(В) + НГ(С)
НГ(В) - ВГ(С)
НГ(В) ∙ НГ(С)
НГ(В) : ВГ(С)
(НГ(А))n
| ВГ(В) +ВГ(С)
ВГ(В) - НГ(С)
ВГ(В) ∙ ВГ(С)
ВГ(В) : НГ(С)
(ВГ(А))n
|
Значения границ вычисляют как промежуточный результат по правилам приближенных вычислений (с одной запасной цифрой). Если значения границ приходится округлять, то НГ(А) округляется с недостатком, а ВГ(А) – с избытком;
4) находят значение измеряемой величины как среднее арифметическое ее границ:
5) находят абсолютную погрешность косвенного измерения как полуразность границ величины А:
6) вычисляют относительную погрешность косвенного измерения:
7) значения погрешностей ΔА и ε округляют с избытком до одной значащей цифры, а значение измеренной величины Аизм округляют по основным правилам так, чтобы последняя цифра и значащая цифра абсолютной погрешности ΔА были в одном разряде. Например, объем цилиндра V = (100 ± 5) см3; ε = 5 %; сопротивление резистора R = (1,25 ± 0,03) · 105Ом, ε = 3 %.
8) результат записывается в виде: А = Аизм ± ΔА; ε = … %.
Рассмотрим примеры вычислений и обработки результатов косвенных измерений по методу границ.
Пример 1.Найти плотность ρ вещества, из которого изготовлено тело массой m = (1,85 ± 0,01) кг и объемом V = (250 ± 5) см3, измеренными прямыми методами.
1. Результаты прямых измерений заданы: m = (1,85 ± 0,01) кг; V = (250 ± 5) см3.
2. Найдем границы значений массы и объема тела: НГ(m) = 1,84 кг; ВГ(m) = 1,86 кг; НГ(V) = 245 см3; ВГ(V) = 255 см3.
3. Вычислим границы значений плотности вещества. Для этого запишем формулу, по которой можно найти значение плотности: ρ = m / V. Пользуясь формулами для вычисления НГ и ВГ частного (табл. 15), получим:
4. Найдем значение измеряемой величины:
5. Найдем абсолютную погрешность (результат округлили с избытком до одной значащей цифры).
6. Найдем относительную погрешность: (результат округлили до одной значащей цифры).
7. Проверим, находятся ли в одном разряде последняя цифра в значении измеряемой величины и значащая цифра абсолютной погрешности. В данном случае – да.
8. Запишем результат измерения ρ = (7,4 ± 0,2) г/см3; ε = 3 %.
Пример 2.Найти ускорение свободного падения с помощью маятника.
Период колебаний маятника находят по формуле где l – длина маятника; g – ускорение свободного падения. Период колебаний Т = t / n, где t – время, в течение которого маятник совершает п полных колебаний. Для нахождения ускорения свободного падения с помощью маятника необходимо найти значения длины маятника l и времени t, в течение которого маятник совершает n полных колебаний.
1. Запишем результаты прямых измерений:
№ п/п
| l, см
| |Δ lі|, см
| T, с
| | Δ tі|, с
| п, кол.
|
|
| 0,5
| 71,0
| 0,08
| 30,0
|
|
| 0,5
| 70,8
| 0,28
| 30,0
|
|
| 0,5
| 71,4
| 0,32
| 30,0
|
|
| 0,5
| 70,8
| 0,28
| 30,0
|
|
| 0,5
| 71,2
| 0,12
| 30,0
|
|
| 0,5
| 71,0
| 0,08
| 30,0
|
|
| 0,5
| 71,2
| 0,12
| 30,0
|
|
| 0,5
| 71,2
| 0,12
| 30,0
|
|
| 0,5
| 70,8
| 0,28
| 30,0
|
|
| 0,5
| 71,4
| 0,32
| 30,0
| Среднее
| 139,5
| 0,5
| 71,08
| 0,20
| 30,0
|
Длина l маятника определена с помощью металлической рулетки с сантиметровыми делениями. Случайная погрешность Δlс = 0,5 см (см. табл.), инструментальная погрешность Δlи = 0,2 см, погрешность отсчета Δlо = 0,5 см, погрешность вычисления |Δlв| = 0,5 см. Следовательно, полная погрешность Δl = 1,7 см ≈ 2 см, а значение l = (140 ± 2) см.
Тогда нижняя граница НГ(l) = 138 см, верхняя граница ВГ(l) = 142 см.
Время t измерено с помощью секундомера. Случайная погрешность Δtc = 0,20 с, инструментальная погрешность Δtи = 0,3 с (см. табл.), погрешность отсчета Δtо = 0,2 с, погрешность вычисления Δtв = 0,02 с. В итоге получим Δt = 0,8 с, t = (71,1 ± 0,8) с.
Нижняя граница НГ(t) = 70,3 с, верхняя граница ВГ(t)= 71,9 с.
Абсолютную погрешность Δn можно оценить как величину, меньшую десятой доли колебания. Поэтому при нахождении числа п сточностью до трех значащих цифр (п = 30,0 кол.) погрешностью Δn можно пренебречь, то есть считать Δn = 0.
Если число π взять с точностью до четырех значащих цифр, то есть принять π = 3,142, то погрешностью Δπ можно пренебречь (Δπ = 0). При использовании микрокалькуляторов, позволяющих найти значение π с точностью до восьми значащих цифр, условие Δπ = 0 выполняется с очень высокой точностью.
2. Найдем границы значений длины маятника и времени его колебаний: нижняя граница НГ(l) = 138 см, верхняя граница ВГ(l) = 142 см; нижняя граница НГ(t) = 70,3 с, верхняя граница ВГ(t) = 71,9 с.
3. Вычислим границы значения ускорения свободного падения. Для этого запишем формулу, по которой можно найти значение ускорения свободного падения с помощью маятника: g = 4π2n2l / t2. Вычисления будем проводить последовательно: а) запишем границы измерений длины; б) вычислим границы произведения 4π2пl; в) запишем границы измерения времени; г) найдем границы t2; г) найдем границы частного: g = 4π2n2l / t2 (см. табл.).
Величина
| НГ
| ВГ
| l, м
| 1,38
| 1,42
| 4π2 п l, м
| 4,90·104
| 5,05·104
| t, с
| 70,3
| 71,9
| t2, с2
| 4,94·103
| 5,17·103
| g = 4π2n2l / t2, м/с2
| 9,47
| 10,23
|
4. Найдем значение измеряемой величины:
5. Найдем абсолютную погрешность:
6. Найдем относительную погрешность ε = Δg / g 100 % = 4 %.
7. Проверяем, находятся ли в одном разряде последняя цифра в значении измеренной величины и значащая цифра абсолютной погрешности. В данном случае – да.
8. Запишем результаты измерения g = (9,9 ± 0,4) м/с2, ε = 4 %.
Обратите внимание: обрабатывать результаты косвенных измерений методом среднего арифметического некорректно!!
Лабораторный практикум
2.1. МЕХАНИКА
|
|