Учет систематической погрешности

Мы рассмотрели метод расчета случайной погрешности при небольшом числе измерений. Однако не следует забывать, что измерительные приборы тоже вносят определенный вклад в погрешность результата, что выражается в возникновении систематической погрешности. Напомним, что систематические погрешности – такие погрешности, которые соответствуют отклонению измеряемой величины от ее истинного значения всегда в одну сторону – либо в сторону завышения, либо в сторону занижения. При повторных измерениях в тех же условиях величина погрешности остается неизменной. При закономерных изменениях условий погрешность также меняется закономерно. Систематические погрешности могут возникать по ряду причин. Вот некоторые из них.

1. Несоответствие прибора эталону (например, пластмассовые линейки с течением времени обычно укорачиваются на несколько миллиметров, секундомер может иметь неправильный ход – спешить или отставать на несколько секунд в сутки).

2. Неправильное использование прибора (например, перед взвешиванием не установлено равновесие ненагруженных весов).

3. Пренебрежение поправками, которые нужно ввести в результаты измерения для достижения требуемой точности (например, не учтена зависимость температуры кипения воды от атмосферного давления).

Систематические погрешности, обусловленные некоторыми из этих причин, могут быть сведены к минимуму проверкой приборов, их тщательной установкой, анализом необходимых поправок и т.д. Ранее (п. 2.2.1) было проиллюстрировано, как осуществляется введение поправок.

Отметим, что погрешности, вызванные некоторыми причинами, могут быть скрыты в течение длительного времени и обычно обнаруживаются при нахождении тех же физических величин принципиально другими методами. Анализ подобного рода систематических погрешностей может в ряде случаев привести к открытию неизвестных ранее явлений природы.

В учебных лабораториях систематические погрешности обычно игнорируются, и анализ их не производится.

Выбор числа измерений

Пусть условия работы требуют достижения минимальной погрешности с использованием определенного измерительного устройства, имеющего цену деления δ. Экспериментатор достоверно устанавливает значение показаний прибора с погрешностью δ/2.

Пусть задается определенное значение доверительной вероятности, например Р_д = 0,68. Тогда легко составить равенство для определения необходимого числа измерений n.

По условию δ ≤ δ/2. Предполагая нормальный закон распределения ошибок, запишем:

Отсюда

При вычислении средней арифметической, средней квадратической и систематической погрешностей, а также доверительного интервала число значащих цифр определяется по ранее описанным правилам.

1.1.10. Система действий при планировании решения

Познавательной задачи № 3

Исходной ситуацией для решения ПЗ № 3 «Каков вид зависимости … величины от … величины» является наличие положительного ответа на ПЗ № 2 и наличие таблицы результатов измерений независимой и зависимой переменных.

Попробуем разобраться, какова цель деятельности человека, перед которым стоит такая познавательная задача.

Вид зависимости – математический термин. Он предполагает выражение зависимости между величинами в виде функциональной зависимости: прямо пропорциональной, обратно пропорциональной и т.п. Отсюда становится ясным, что наша цель – выразить в виде функциональной зависимости связь между указанными в познавательной задаче величинами. Наиболее простой способ выявления этой зависимости при экспериментальном изучении физических явлений заключается в построении графика зависимости между этими величинами и составлении формулы по виду этого графика. Но есть одно «но»: результаты измерений – числа неточные, и потому нельзя на координатной плоскости указать точки, координатами которых были бы измеренные величины. Возле каждой точки должен быть указан интервал значений, в котором может находиться истинное значение измеренной величины. Следовательно, необходим расчет абсолютной погрешности каждой измеряемой величины. Расчет должен проводиться для нескольких различных значений каждой независимой и зависимой переменной (не менее пяти значений, иначе трудно построить график), причем число измерений одного и того же значения должно выбираться экспериментатором самостоятельно (см. п. 2.2.9).

Для ответа на ПЗ № 3 необходимо установить вид зависимости между указанными в познавательной задаче величинами для нескольких объектов исследования (не менее трех). Только в случае идентичности ответов на ПЗ № 3 для всех объектов исследования можно сформулировать общее суждение о виде зависимости между указанными величинами. В связи с тем, что при решении предыдущей задачи уже были выбраны объекты исследования, специального действия по выбору этих объектов осуществлять не нужно.

Изложенное выше подсказывает следующую систему действий при поиске ответа на ПЗ № 3.

1. Составить систему действий по получению и обработке результатов измерений независимой и зависимой переменных (см. п. 2.2.8 и 2.2.9).

2. Составить систему действий по построению графика зависимости между этими переменными (см. приведенные ниже опорные знания).

3. Выбрать ОИ № 1 и выполнить все спланированные в п. 1 и 2 действия.

4. Подобрать известную в математике функциональную зависимость, график которой похож на экспериментальную кривую.

5. Записать математически эту функциональную зависимость для данного конкретного объекта, с которым проводился эксперимент, и сформулировать ответ на поставленную познавательную задачу для объекта исследования № 1.

6. Изменить объект и выполнить с ним ту же систему действий 1 и 2 (и так не менее трех раз).

7. Сформулировать функциональную зависимость между величинами в обобщенном виде.

При построении графика следует опираться на следующие знания.

1. Графики строят на бумаге с миллиметровой или другой специальной сеткой. Размер бумаги определяется интервалом изменения измеряемых величин и выбранным для них масштабом (но не наоборот!).

2. По оси ординат откладывают значения функции, по оси абсцисс – значения аргумента. На каждой из осей приводят только тот интервал изменения соответствующей физической величины, в котором велось исследование. Совсем не обязательно, чтобы на графике помещалось начало координат.

3. Масштаб графика выбирают с учетом абсолютных погрешностей тех величин, которые откладываются по осям: погрешность каждой из величин должна представляться в выбранном масштабе отрезком заметной длины. Масштабы по каждой из осей выбирают независимо друг от друга.

4. Шкалы на осях, как правило, наносят в виде равноотстоящих чисел. Выбор этих чисел и густота их размещения в каждом конкретном случае должны обеспечивать наибольшую простоту и удобство нанесения и чтения шкал.

5. На осях указывают обозначения и через запятую – единицы соответствующих физических величин.

6. Кривую по нанесенным точкам проводят карандашом плавно, без изломов и перегибов, так, чтобы она располагалась возможно ближе ко всем точкам и по обе ее стороны оказалось равное их количество. Не следует стремиться проводить кривую через каждую точку. Поскольку точка на графике – результат измерения, то он не абсолютно верен, в нем содержатся погрешности. Поэтому точки будут рассеяны около истинного результата, и наша задача – провести кривую как можно ближе к нему. Отклонение точек от кривой отражает наличие погрешностей, такие отклонения – объективный и закономерный фактор.

Кривую по экспериментальным точкам проводят от руки (после наметки используют лекало), а прямую – с помощью линейки.

По полученному графику можно судить о виде зависимости между величинами:

· если график представляет собой прямую линию, то можно сразу сказать, что зависимость между величинами либо прямо пропорциональная (если график проходит через начало координат), либо линейная (у = х + В);

· если график не является прямой линией, то обработку экспериментальных данных следует продолжить. В том случае, если кривая похожа на параболу, следует построить новый график в координатах (у; х²) или ( ; х). При квадратичной зависимости между величинами новый график должен представлять собой прямую линию;

· если кривая похожа на гиперболу, то следует проверить, равны ли площади двух прямоугольников, построенных на двух абсциссах и соответствующих им ординатах. Если площади равны, то можно утверждать, что между величинами существует обратно пропорциональная зависимость.

Графики строятся по точкам, полученным в каждой серии экспериментов, проведенных при получении научного факта. Поэтому вывод о виде зависимости между физическими величинами должен формулироваться в виде частного суждения, например: для тел, изготовленных из дерева, масса тела прямо пропорциональна его объему; для тел, изготовленных из эбонита, масса тела прямо пропорциональна его объему и т.д.

Покажем на конкретных примерах, как, пользуясь приведенной выше системой действий, спланировать свои действия при установлении вида зависимости между конкретными физическими величинами, указанными в познавательной задаче.

Пример 1.ПЗ: установить вид зависимости дальности полета тела от сообщенной ему энергии. Для решения этой задачи нужно выполнить следующие действия.

1. Составить систему действий по получению и обработке результатов измерения начальной энергии, переданной телу в начальный момент времени (сжатия пружины Δх) и дальности полета S (см. п. 2.2.8 или п. 2.2.9).

2. Составить систему действий по построению графика зависимости дальности полета тела от сжатия пружины.

3. Выбрать ОИ № 1 – стальной шарик и выполнить все запланированные в п. 1 и 2 действия.

4. Подобрать известную в математике функциональную зависимость, график которой похож на экспериментальную кривую.

5. Записать математически эту функциональную зависимость для стального шарика и сформулировать для него ответ на поставленную познавательную задачу.

6. Выбрать ОИ № 2 – пластмассовый шарик и выполнить с ним ту же систему действий.

7. Подобрать известную в математике функциональную зависимость, график которой похож на экспериментальную кривую.

8. Записать математически эту функциональную зависимость для пластмассового шарика и сформулировать для него ответ на поставленную познавательную задачу.

9. Сформулировать функциональную зависимость между величинами в обобщенном виде.

Результаты выполнения перечисленных выше действий вносятся в отчет. Для того чтобы Вы поняли, как составляется отчет о проведенном исследовании, приведем примеры.