Вычисление доверительного интервала и доверительной вероятности

Мы уже убедились в том, что именно из-за наличия случайных погрешностей отдельные значения измеряемой величины х_1, х_2, х_3, … х_i в большинстве случаев оказываются неодинаковыми, и в качестве наилучшего значения искомой величины выбирается среднее арифметическое из n измерений: . В теории вероятности это среднее арифметическое называют наиболее вероятным значением измеряемой величины, или выборочным средним.

Средней квадратичной ошибкой (погрешностью) называется величина

= =

где n – число измерений.

Если число измерений n очень велико, то подверженная случайным колебаниям величина S_n стремится к некоторому постоянному значению σ, которое называется статистическим пределом S_n : σ = . Собственно говоря, именно этот предел и называют средней квадратичной ошибкой. В действительности, однако, мы всегда вычисляем не величину σ, а ее приближенное значение S_n, которое тем ближе к σ, чем больше n.

Доверительный интервал Δх при небольшом числе измерений n и соответствующая ему доверительная вероятность σ связаны соотношением где – коэффициенты Стьюдента[5], значения которых приведены в таблице 4.

Это соотношение было выведено Стьюдентом в предположении, что вероятности случайных отсчетов распределены по нормальному закону, для которого плотность вероятности р(Δх_i) задается Гауссовой кривой (рис. 13). Величина α характеризует «ширину» кривой, то есть степень разброса величины х_i относительно 0: чем меньше σ, тем выше точность измерения. По мере уменьшения σ рассеяние случайных погрешностей относительно центра их распределения (относительно ) уменьшается[6].

Рис. 13. Гауссовы кривые

Из рис. 13 видно, что вероятность численно равна площади S заштрихованной фигуры, ограниченной функцией р(Δх_i),отрезком оси погрешностей Δх_i от -Δ_r до Δ_r и ординатами р(-Δ_r), р(Δ_r).Чем шире заданный интервал погрешностей (-Δ_r, Δ_r), тем больше площадь S,то есть выше вероятность попадания случайных погрешностей измерений Δ в этот интервал. Для интервала погрешностей (-∞, ∞) вероятность Р(-∞ < Δ < ∞) = 1.

Таблица 4

Коэффициенты Стьюдента

Пользуясь таблицей коэффициентов Стьюдента, можно решать две задачи:

1) находить доверительный интервал Δх при заданной вероятности α и известном числе измерений n. Для этого из таблицы коэффициентов Стьюдента находим значение t_αn для заданных α и n, а затем определяем доверительный интервал по формуле:

2) указывать доверительную вероятность вычисленной погрешности измерений при определенном числе измерений. Для этого нужно вычислить значение коэффициента Стьюдента по формуле а затем подобрать подходящее значение α из таблицы коэффициентов Стьюдента при известном числе измерений n.

Проиллюстрируем примером деятельность по решению задачи № 1.

Пример. Обработка результатов наблюдений при сличениях масс[7].

В результате сличения меры массы 1 кг с эталонной мерой массы того же номинала получена группа результатов наблюдений, приведенных в первом столбце следующей таблицы.

Во втором столбце 2 приведены значения x_i0 = (х_i - 999,998000)·10⁶, в третьем и четвертом столбцах – результаты вспомогательных расчетов.

Измерение выполнено методами точного взвешивания, исключающими погрешность от неравноплечности весов. Таким образом, систематические погрешности при измерении можно считать отсутствующими. О случайных погрешностях на основании ранее накопленных данных известно, что их распределение можно принимать за нормальное.

Измеряемую массу полагаем равной среднему арифметическому, найденному по формуле

`х = 999,998000 + `x_io = 999,998721 г.

Далее вычисляем по известной формуле и данным четвертого столбца оценку среднего квадратического отклонения наблюдений:

Теперь можно найти доверительную погрешность результата. Возьмем α = 0,95 и, пользуясь распределением Стьюдента, находим коэффициент t = 2,26. Случайная погрешность составит

Δm = 2,26·5·10^-6 = 11·10^{-6 г.}

Таким образом, масса m исследуемой меры лежит в интервале

999,998710 г £ m £ 999,998732 г.

Более компактная запись полученного результата имеет вид

m_0,95 = 999,998721 ± 11·10^{-6 г.}