Оценка выскакивающих измерений

В ряду значений х_i, полученных в результате n измерений одной и той же величины, могут встретиться значения, резко отличающиеся от остальных. Такие значения исследователи часто склонны считать промахами и полагают, что их следует исключить из расчетов. Однако возможно, что данное значение – результат случайного, но совершенно законного отклонения, и его исключение было бы непростительной ошибкой. Поэтому разработаны методы объективной оценки значений, резко отличающихся от остальных. Мы рассмотрим только один, позволяющий обнаружить промахи при небольшом числе измерений. Этот метод исходит из допущения, что при нормальном распределении вероятность появления больших случайных ошибок мала: β ≤ 0,01 (при доверительной вероятности α = 0,99). Оценка выскакивающих значений осуществляется при последовательном выполнении следующих действий:

1. Вычисляется относительное уклонение этого значения от среднего арифметического:

2. Находится относительное уклонение в долях средней квадратичной ошибки:

3. Найденное значение v_к сравнивается с максимальными значениями v_max, вычисленными для различных значений надежности и, следовательно, для значений вероятности появления больших отклонений, возникающих вследствие статистического разброса, и для разного числа измерений n, которые представлены в таблице 5.

Таблица 5[8]

Значения v_max при различных значениях числа измерений n

для разных надежностей α

Пример 1.При измерении длины стержня получены следующие результаты (см. таблицу, второй столбец):

Вычислим среднее арифметическое шести измерении: l_ср = 156,08 мм.

Вычислим среднюю квадратичную погрешность : S_n = 4,06 мм.

Проверим, не является ли результат пятого измерения l₅ = 164,3 мм промахом, так как оно сильно отличается от других значений (возможно, что это значение появилось вследствие описки экспериментатора при записи 164,3 вместо 154,3). Для этого:

1) вычислим относительное уклонение этой величины от среднего арифметического: |l_ср - l₅| = 8,22;

2) вычислим v_к : v_к = = 2,03;

3) выберем надежность серии измерений: α = 0,90;

4) по таблице 5 найдем v_max для этой надежности и n = 6 : v_max = 1,89;

5) формулируем вывод: значение l₅ является промахом, и должно быть исключено из числа измерений. Случайная погрешность должна вычисляться для пяти измерений.

Пример 2. Пусть при измерении некоторой величины х получены следующие значения (см. таблицу, второй столбец):

Анализ этих результатов позволяет выделить два значения измеряемой величины, которые резко отличаются от всех остальных: х₁ = 258,5 и
х₁₀ = 266,0. Необходимо проверить, не являются ли эти значения промахами.

Вычисляем среднее арифметическое всех измерений: = 257,03.

Вычисляем среднюю квадратичную ошибку S_n = : S_n = 2,60.

1) вычислим относительное уклонение величин х₁ = 258,5 и х₁₀ = 266,0 от среднего арифметического: | - х₁| = 1,47; | - х₁₀| = 8,97;

2) вычислим v_к: v₁ = 1,47 : 2,60 = 0,57; v₁₀ = 8,97 : 2,60 = 3,45;

3) выберем надежность серии измерений: α = 0,90;

4) по таблице 5 найдем v_max для этой надежности и n = 15 : v_max = 2,33;

5) формулируем вывод: значение х₁ не является промахом, так как оно меньше v_max, и его следует оставить, а значение х₁₀ является промахом
(х₁₀ > v_max), и оно должно быть исключено из числа измерений. Случайная погрешность должна вычисляться для четырнадцати измерений.

Система действий