Динамика вращательного движения.

1. Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси:

где М – момент вращающей силы, действующий на тело в течение времени dt;

J – момент инерции тела;

ω – угловое ускорение.

Или , где β – угловое ускорение.

2. Момент импульса вращающегося тела относительно оси:

3. Момент инерции материальной точки:

4. Теорема Штейнера:

где J₀ – момент инерции тела, относительно оси, проходящей через центр тяжести тела параллельно заданной оси;

d – расстояние между осями;

m – масса тела.

5. Закон сохранения момента импульса тела:

6. Работа постоянного момента силы М, действующего на вращающееся тело:

где φ – угол поворота тела; [φ] = рад.

7. Мгновенная мощность, развиваемая при вращении тела

8. Кинетическая энергия вращающегося тела:

Задачи.

2. Вал в виде сплошного цилиндра массой m₁=10 кг насажен на горизонтальную ось. На цилиндр намотан шнур, к свободному концу которого подвешена гиря массой m₂= 2 кг. С каким ускорением а будет опускаться гиря, если ее предоставить самой себе?

3. Платформа в виде диска радиусом R= 1,5 м и массой m₁=180 кг вращается по инерции около вертикальной оси с частотой n=10 мин^-1. В центре платформы стоит человек массой m₂=60 кг. Какую линейную скорость относительно пола помещения будет иметь человек, если он перейдет на край платформы.

4. Человек стоит в центре скамьи Жуковского и вместе с ней вращается по инерции. Частота вращения n₁=0.5 c^-1. Момент инерции J₀ тела человека относительно оси вращения равен 1,6 кг·м². В вытянутых в стороны руках человек держит по гире массой m=2 кг каждая. Расстояние между гирями l₁=1.6 м. Определить частоту вращения n₂ скамьи с человеком, когда он опустит руки и расстояние l₂ между гирями станет равным 0,4 м. Моментом инерции пренебречь.

5. Стержень длинной l=1,5 м и массой М=10 кг может вращаться вокруг неподвижной оси, проходящей через верхний конец стержня (рис.). В середину стержня ударяет пуля массой m=10 г, летящая в горизонтальном направлении со скоростью v₀=500 м/с, и застревает в стержне. На какой угол φ после удара отклонится стержень?

6. Два маленьких шарика массой m=10 г каждый скреплены тонким невесомым стержнем длиной l=20 см.Определить момент инерции J системы относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через центр масс.

7. Определить момент инерции J тонкого однородного стержня длиной l=30 см и массой m=100 г относительно оси перпендикулярной стержню и проходящей через: 1) его конец; 2) его середину; 3) точку, отстоящую от конца стержня на 1/3 его длины.

8. Определить момент инерции J тонкого однородного стержня длиной l=60 см и массой m=100 г относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через точку стержня, удаленную на а=20 см от одного из его концов.

9. Найти момент инерции J тонкого однородного кольца ра­диусом R=20 см и массой т=100 г относительно оси, лежащей в плоскости кольца и проходящей через его центр.

10. Определить момент инерции J кольца массой m=50 г и радиусом R=10 см относительно оси, касательной к кольцу.

11. Диаметр диска d=20 см, масса m=800 г. Определить момент инерции J диска относительно оси, проходящей через се­редину одного из радиусов перпендикулярно плоскости диска.

12. Тонкий однородный стержень длиной l=50 см и массой m=400 г вращается с угловым ускорением ε=3 рад/с² около оси, проходящей перпендикулярно стержню через его середину. Определить вращающий момент М.

13. На горизонтальную ось насажены маховик и легкий шкив радиусом R=5 см. На шкив намотан шнур, к которому привязан груз массой m=0,4 кг. Опускаясь равноускоренно, груз прошел путь s=1,8 м за время t=3 с. Определить момент инерции J маховика. Массу шкива считать пренебрежимо малой.

14. Вал массой m=100 кг и радиусом R=5 см вращался с частотой n=8 с^-1. К цилиндрической поверхности прижали тормозную колодку с силой F=40 Н, под действием которой вал остановился через t=10 с. Определить коэффициент трения μ.

15. Через блок, имеющий форму диска, перекинут шнур. К концам шнура привязали грузики массой m₁=100 г и m₂=110 г. С каким ускорением а будут двигаться грузики, если масса m блока равна 400 г? Трение при вращении блока ничтожно мало.

16.Через неподвижный блок массой m=0,2 кг перекинут шнур, к концам которого подвесили грузы массами m₁=0.3 кг и m₂= 0,5 кг. Определить силы натяжения Т₁ и Т₂ шнура по обе стороны блока во время движения грузов, если масса блока равномерно распределена по ободу.

17. Человек стоит на скамье Жуковского и ловит рукой мяч массой m=0,4 кг, летящий в горизонтальном направлении со скоростью v=20 м/с. Траектория мяча проходит на расстоянии r=0,8 м от вертикальной оси вращения скамьи. С какой угловой скоростью ω начнет вращаться скамья Жуковского с человеком, поймавшим мяч, если суммарный момент инерции J человека и скамьи равен 6 кг·м²?

18. На краю горизонтальной платформы, имеющей форму диска радиусом R=2 м, стоит человек массой т₁=80 кг. Масса m₂ платформы равна 240 кг. Платформа может вращаться во­круг вертикальной оси, проходящей через ее центр. Пренебрегая трением, найти, с какой угловой скоростью ω будет вращаться платформа, если человек будет идти вдоль ее края со скоростью v=2 м/с относительно платформы.

19. Платформа, имеющая форму диска, может вращаться око­ло вертикальной оси. На краю платформы стоит человек мас­сой т₁=60 кг. На какой угол φ повернется платформа, если человек пойдет вдоль края платформы и, обойдя его, вернется в исходную точку на платформе? Масса т₂ платформы равна 240 кг. Момент инерции J человека рассчитывать, как для материальной точки.

20. Платформа в виде диска радиусом R=1м вращается по инерции с частотой п₁=6 мин^-1. На краю платформы стоит человек, масса m которого равна 80 кг. С какой частотой п будет вращаться платформа, если человек перейдет в ее центр? Момент инерции J платформы равен 120кг·м². Момент инерции человека рассчитывать, как для материальной точки.

21. В центре скамьи Жуковского стоит человек и держит в ру­ках стержень длиной l=2,4 м и массой т=8 кг, расположенный вертикально по оси вращения скамьи. Скамья с человеком враща­ется с частотой n₁=1с^-1. С какой частотой п₂ будет вращаться скамья с человеком, если он повернет стержень в горизонтальное положение? Суммарный момент инерции J человека и скамьи ра­вен 6 кг·м².

22. Человек стоит на скамье Жуковского и держит в руках стержень, расположенный вертикально вдоль оси вращения ска­мьи. Стержень служит осью вращения колеса, расположенного на верхнем конце стержня. Скамья неподвижна, колесо вращается с частотой п=10 с^-1. Радиус R колеса равен 20 см, его масса m=З кг. Определить частоту вращения п₂ скамьи, если чело­век повернет стержень на угол 180°? Суммарный момент инерции J человека и скамьи равен 6 кг·м². Массу колеса можно считать равномерно распределенной по ободу.

23. Шарик массой т=100 г, привязанный к концу нити длиной l₁=1 м, вращается, опираясь на горизонтальную плоскость, с частотой n₁=1 c^-1. Нить укорачивается и шарик приближается к оси вращения до расстояния l₂=0,5 м. С какой частотой n₂ будет при этом вращаться шарик? Какую работу А совершит внешняя сила, укорачивающая нить? Трением шарика о плоскость пренебречь.

24. Маховик вращается по закону, выраженному уравнением φ=А+Вt+Сt², где А=2 рад, В=32 рад/с, С= -4 рад/с². Найти среднюю мощность (N), развиваемую силами, действую­щими на маховик при его вращении, до остановки, если его мо­мент инерции J=100 кг·м².

25. Маховик вращается по закону, выраженному уравнением φ=А+Вt+Ct², где А=2 рад, В=16 рад/с, С= -2 рад/с². Момент инерции J маховика равен 50кг·м². Найти законы, по которым меняются вращающий момент М и мощность N. Чему равна мощность в момент времени t=3 с?

26. Якорь двигателя вращается с частотой n=1500 мин^-1. Определить вращающий момент М, если двигатель развивает мощ­ность N=500 Вт.

27. Со шкива диаметром d=0,48 м через ремень передается мощность N=9 кВт. Шкив вращается с частотой n=240 мин^-1. Сила натяжения Т₁ ведущей ветви ремня в два раза больше силы натяжения T₂ ведомой ветви. Найти силы натяжения обеих ветвей ремня.

28. Для определения мощности двигателя на его шкив диа­метром d=20 см накинули ленту. К одному концу ленты при­креплен динамометр, к другому подвесили груз. Найти мощность N двигателя, вращающего с частотой n=24 с^-1. Масса m груза равна 1кг и показание динамометра F=24 Н.

29. Маховик в виде диска массой т=80 кг и радиусом R=30 см находится в состоянии покоя. Какую работу А₁ нужно совершить, чтобы сообщить маховику частоту n=10 с^-1? Какую работу А₂ пришлось бы совершить, если бы при той же массе диск имел меньшую толщину, но вдвое больший радиус?

30. Кинетическая энергия T вращающегося маховика равна 1 кДж. Под действием постоянного тормозящего момента махо­вик начал вращаться равнозамедленно и, сделав N=80 оборотов, остановился. Определить момент М силы торможения.

31. Маховик, момент инерции J которого равен 40 кг·м², на­чал вращаться равноускоренно из состояния покоя под действием момента силы М=20 Н·м. Вращение продолжалось в течение t=10 с. Определить кинетическую энергию T, приобретенную маховиком.

32. Пуля массой т=10 г летит со скоростью v=800 м/с, вращаясь около продольной оси с частотой n=3000 с^-1. Прини­мая пулю за цилиндрик диаметром d=8 мм, определить полную кинетическую энергию Т пули.

33. Сплошной цилиндр массой т=4 кг катится без сколь­жения до горизонтальной поверхности. Линейная скорость v оси цилиндра равна 1 м/с. Определить полную кинетическую энергию Т цилиндра.

34. К ободу однородного диска радиусом R =0.2 м приложена касательная сила F_k=98.1 Н. При вращении на диск действует момент сил трений М_тр= 4.9 Н·м. Найти массу m диска, если известно, что диск вращается с угловым ускорением β=100 рад/с.

35. К ободу колеса радиусом R=0.5 м и массой m=50 кг приложена касательная сила F_k=98,1 Н. Найти угловое ускорение β колеса. Через какое время t после начала действия силы колесо будет иметь частоту вращения υ=100 об/с? Колесо считать однородным диском. Трением пренебречь.

36. Блок массой m=1 кг укреплен на конце стола. Гири 1 и 2 одинаковой массы m₁=m₂=1кг соединены нитью и перекинуты через блок. Коэффициент трения гири 2 о стол k=0,1. Найти ускорение a с которым движутся гири, силы натяжения Т₁ и Т₂ нитей. Блок считать однородным диском. Трением в блоке пренебречь.

37. Вентилятор вращается с частотой υ=900 об/мин. После выключения вентилятор, вращаясь равнозамедленно, сделал до остановки N= 75 об. Работа сил торможения А=44.4 Дж. Найти момент инерции J вентилятора и момент сил торможения М.

38. Горизонтальная платформа массой m₁=100 кг вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр платформы, с частотой υ=10 об/мин. Человек массой m₂=60 кг стоит при этом на краю платформы. С какой частотой υ₂ начнет вращаться платформа, если человек перейдет от края платформы к ее центру? Считать платформу однородным диском, а человека - точечной массой.

39. Однородный диск радиусом R=0.2 м и массой m=5 кг вращается вокруг оси, проходящей через его центр перпендикулярно к его плоскости. Зависимость угловой скорости ω вращения диска от времени t дается уравнением ω=Bt, где В=8 рад/с². Найти касательную силу приложенную к ободу диска. Трением пренебречь.

40. Маховое колесо, момент инерции которого J=245 кг/м², вращается с частотой υ=20 Гц/с. Через время t=1 мин после того, как на колесо перестал действовать момент сил М, оно остановилось. Найти момент сил трения М_тр и число оборотов N, которое сделало колесо до полной остановки после прекращения действия сил. Колесо считать однородным диском.

41. На барабан радиусом R=20 см, момент инерции которого J=0.1 кг/м², намотан шнур, к концу которого привязан груз массой т=0.5 кг. До начала вращения барабана высота груза над полом h₁=1 м. Через какое время t груз опуститься до пола? Найти кинетическую энергию W_k груза в момент удара о пол и силу натяжения нити Т. Трением пренебречь.

42. Шар массой m=1 кг, катящийся без скольжения, ударяется о стенку и откатывается от нее. Скорость шара до удара о стенку v=10 см/с, а после - v=8 см/с. Найти количество теплоты Q, выделившейся при ударе о стенку.

43. Найти линейные скорости v движения центров масс шара, диска и обруча скатывающихся без скольжения с наклонной плоскости. Высота наклонной плоскости h=0.5 м, начальная скорость всех тел v₀=0. Сравнить найденные скорости со скоростью тела, соскальзывающего с наклонной плоскости при отсутствии трения.

44. Шар радиусом R=10 см и массой m=5 кг вращается вокруг оси симметрии согласно уравнению φ=A+Bt²+Ct³ (В = 2 рад/с², С = -0,5 рад/с³). Определить момент сил М для t=3 с.

45. Маховик в виде сплошного диска, момент инерции которого J=150 кг м², вращается с частотой υ=240 об/мин. Через время t=1 мин действия на маховик момента сил торможения он остановился. Определить: 1) момент М сил торможения; 2) число оборотов махови­ка от начала торможения до полной остановки.

46. К ободу однородного сплошного диска радиусом R=0,5 м приложена постоянная касательная сила F=100 Н. При вращении диска на него действует момент сил трения М_тр=2 Н·м. Определить массу т диска, если известно, что его угловое ускорение α постоянно и равно 16 рад/с².

47. На однородный сплошной цилиндрический вал радиусом R=5 см и массой М=10 кг намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массой т=1 кг (рис). Определить: 1) зависи­мость l(t), согласно которой движется груз; 2) силу натяжения ни­ти Т; 3) зависимость φ(t), согласно которой прощается вал; 4) угловую скорость вала через t=1 с после начала движения; 5) тангенциальное (а_τ) и нормальное (а_n) ускорения точек, находящихся на поверхности вала.

48. На ступенчатый блок, радиусы которого r₁=0,3 м и г₂=10 см, намотаны в противоположных направлениях нити (рис). К концам нитей привязаны грузы массами m₁=m₂=1 кг. Момент инерции блока J=0,3 кг·м². Пренебрегая силой трения и массой ни­тей, определить ускорения грузов и натяжение каждой нити.

49. С какой силой следует прижать тормозную колодку к колесу, вращающемуся с частотой n₁=30 об/с, для его остановки в течение t=20 с, если масса колеса распределена по ободу и равна m=10 кг, диаметр колеса d=20 см? Коэффициент трения между колодкой и ободом колеса μ=0,5.

50. По ободу шкива, насаженного на общую ось с маховым колесом, намотана на нить, к концу которой подвешен груз массой 1 кг. На какое расстояние должен опуститься груз, чтобы колесо со шкивом получило скорость, соответствующую 60 об/мин? Момент инерции колеса со шкивом равен 0,42 кг·м², радиус шкива равен 10 см.

51. Человек стоит на горизонтальной платформе и ловит рукой мяч массой m=0,4 кг, летящий в горизонтальном направлении со скоростью v=0,8 м от вертикальной оси вращения платформы. С какой угловой скоростью ω начнет вращаться платформа с человеком, поймавшим мяч? Суммарный момент инерции платформы и человека J=6 кг·м².

Горизонтальная платформа, имеющая форму эллипса радиусом 4 м, вращалась вокруг вертикальной оси, делая 4 об/мин. На платформе, на расстоянии 3 м от ее центра, стоял человек массой 60 кг. После того, как человек побежал по платформе в сторону ее первоначального вращения по окружности радиусом 3 м со скоростью 16,6 км/ч, платформа стала вращаться в обратном направлении, делая 3 об/мин. Определить массу платформы. Момент инерции человека рассчитывать как для материальной точки.

53. В центре горизонтальной платформы стоит человек и держит в руках тонкий стержень, расположенный вертикально по оси враще­ния платформы. Платформа с человеком вращается по инерции, де­лая n=1 об/с. С какой угловой скоростью ω будет вращаться плат­форма с человеком, если повернуть стержень в горизонтальное положение так, чтобы центр массы лежал на оси вращения. Суммарный момент инерции человека и платформы J=6 кг·м². Длина стержня l=2,4 м, его масса m=8 кг.

Платформа, имеющая форму сплошного однородного диска может вращаться по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси. На краю платформы стоит человек, масса которого в 3 раза меньше массы платформы. Определить, как и во сколько раз изменится угловая скорость вращения платформы, если человек перейдет ближе к центру на расстояние, равное половине радиуса платформы.

Человек массой 60 кг находится на неподвижной платформе массой 100 кг. Какой будет частота вращения платформы. если человек будет двигаться по окружности радиусом 5 м вокруг оси равна 4 км/ч. Радиус платформы 10 м. Считать платформу однородным диском, а человека – точечной массой.

56. Платформа, имеющая форму диска, может вращаться вокруг вертикальной оси. На краю платформы стоит человек. Человек начинает равномерно идти по краю платформы. На какой угол φ₁ повернется платформа, когда человек возвратиться в исходную точку? Масса платформы m₁=240 кг, масса человека m₂=60 кг. Момент инерции человека рассчитывается как для материальной точки.

Человек, стоящий в центре горизонтальной платформы, держит в расставленных руках гири. Платформа вращается с угловой скоростью, соответствующей 20 об/мин. Масса платформы 80 кг, диаметр платформы 2 м. После того, как человек опустил руки, уменьшив свой момент инерции в 3 раза, число оборотов платформы в еденицу времени возросло до 21 об/мин. Определить начальный момент инерции человека. Платформу считать однородным диском.

Работа. Мощность. Энергия.

Работа, совершаемая силой:

где α – угол между направлениям векторов силы F и перемещения S.

Работа, совершаемая переменной силой:

Мгновенная мощность:

где dA – работа совершаемая за промежуток времени dt.

Кинетическая энергия материальной точки:

где р – импульс точки.

Потенциальная энергия тела и сила, действующая на тело в данной точке поля, связаны соотношением:

или

Потенциальная энергия упруго деформированного тела (сжатой или растянутой пружины):

Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух материальных точек (или тел) массами m₁ и m₂, находящихся на расстоянии r друг от друга:

Потенциальная энергия тела, находящегося в однородном поле силы тяжести:

Закон сохранения энергии в механике выполняется в замкнутой системе и записывается в виде:

Скорости абсолютно неупругих тел после удара:

Скорости абсолютно упругих тел после удара:

Задачи.

1. Определить ускорение, с которым цилиндрическая бочка массой М, целиком заполненная массой m, скатывается без скольжения с наклонной плоскости с углом α. Трением между жидкостью и бочкой и моментами инерции днищ бочки пренебречь.

2. С какой скоростью двигался вагон массой 20 т, если при ударе о стенку каждый буфер сжался на 10 см? Известно, что пружина каждого сжимается на 1 см под действием силы 10⁴ Н.

3. К стальной проволоке длинной 10 м и диаметром 2 мм подвешивают груз массой 100 кг. Найти изменение объема проволоки и энергию упругой деформации. Модуль Юнга 1,96 · 10¹¹ Н/м², коэффициент Пуассона 0,3.

4. Под действием постоянной силы F вагонетка прошла путь S=5м и приобрела скорость v=2 м/с. Определить работу А силы, если масса вагонетки m=400 кг и коэффициент трения k=0,01.

5. Трактор за время t=8 час вспахивает поле площадью S=2 га при захвате лемехов l=1,2 м и сопротивлении почвы F_тр=17 640 Н. Определить N мощность двигателя трактора, если его коэффициент полезного действия η=80%.

6. Определить мощность электродвигателя, если его якорь вращается с частотой n=2,5 с^-1, а момент силы равен М=14 H·м.

7. Совершив работу, равную А=20 Дж, удаётся сжать пружину на 2 см. Определить работу, которую надо выполнить, чтобы сжать пружину на 4 см.

8. Груз массой m=5 кг падает с высоты Н=5 м и проникает в грунт на глубину L=5 см. Определить среднюю силу сопротивления грунта.

9. Для подъёма зерна на высоту Н=10 м установили транспортёр мощностью N=4 кВ. Определить массу зерна, поднятого за время t=8 час работы транспортёра. Коэффициент полезного действия установки принято равным η=13,6%.

10. Тело массой m₁=0,5 кг надает с некоторой высоты на плиту массой m₂=1 кг, укреплённую па пружине жёсткостью k=4 кН/м. Определить, на какую длину сожмётся пружина, если в момент удара скорость грузи v=5 м/с. Удар считать неупругим.

11. Шар массой m₁=2 кг, движущийся со скоростью v₁=1,2 м/с, налетает на покоящийся шар массой m₂=1,5 кг. Вычислить скорости шаров после упругого взаимодействия.

12. Баба копра массой m₁=500 кг падает на сваю массой m₂=100 кг со скоростью v₁=4 м/с. Определить:

1) Кинетическую энергию W₁ копра в момент удара.

2) Энергию W₂, затрачиваемую на деформацию сваи.

3) Энергию W₃, затрачиваемую на углубление сван в груш.

4) Коэффициент полезного действия η удара копра о сваю.

13. Спутник массой m=3 т вращается вокруг Земли по круговой орбите на высоте h=520 км. Определить полную механическую энергию спутника относительно Земли.