Давление жидкости. Поверхностные явления.

Внутреннее трение в жидкости.

1. Расход жидкости в трубке тока:

а) объемный расход:

б) массовый расход:

где S – площадь поперечного сечения трубки тока;

v – скорость жидкости;

ρ – плотность жидкости.

2. Уравнение неразрывности струи:

где S₁ и S₂ – площади поперечного сечения трубки тока в двух местах;

v₁ и v₂ – соответствующие скорости течений.

3. Уравнение Бернулли:

4. Скорость течения жидкости из малого отверстия в открытом широком сосуде:

где h – уровень жидкости относительно отверстия.

5. Поверхностное натяжение:

где F – сила поверхностного натяжения, действующая на контур l, ограничивающий поверхность жидкости.

6. Формула Лапласа, выражающая давление Р, создаваемое сферической поверхностью жидкости:

где R – радиус сферической поверхности.

7. Высота подъема жидкости в капиллярной трубке определяется по формуле Жюрена:

где Θ – краевой угол;

ρ – плотность жидкости;

r – радиус капилляра.

8. Высота подъема жидкости между двумя близкими и параллельными плоскостями:

где d – расстояние между плоскостями.

9. Объем жидкости (газа), протекающей за время t через длинную трубку:

где r – радиус трубки ;

l – длина трубки;

Δр – разность давлений на концах трубки,

η – коэффициент внутреннего сопротивления.

10. Число Рейнольдса для потока жидкости в длинных трубках

где (v) – средняя по сечению скорость течения жидкости;
d – диаметр трубки.

11. Число Рейнольдса для движения шарика в жидкости:

где v – скорость шарика;

d – диаметр шарика.

12. Сила сопротивления F, действующая со стороны потока жидкости на медленно движущийся в ней шарик (формула Стокса):

где r – радиус шарика;

v – скорость шарика.

Задачи.

1. Найти скорость течения по трубе углекислого газа, если известно, что за полчаса через поперечное сечение трубы протекает 0,51 кг газа. Плотность газа принять равной 7,5 кг/м³. Диаметр трубы равен 2 см.

2. В дне цилиндрического сосуда имеется круглое отверстие диаметром d=1 см. Диаметр сосуда D=0,5 м. Найти зависимость скорости v понижения уровня воды в сосуде от высоты h этого уровня. Найти численное значение этой скорости для высоты h=0,2 м.

Молоко течёт по молокопроводу диаметром 38 мм (установка УДС-1). На одном участке диаметр трубы уменьшился до 30 мм. На сколько изменится давление молока в этом участке трубы по сравнению с остальной частью трубы? Скорость течения молока в основной части трубы 2м/с.

4. Как высотой h=1,5 м наполнен до краёв водой. На расстоянии d=1 м от верхнего края бака образовалось отверстие малого диаметра. На каком расстоянии l от бака падает на пол струя, вытекающая из отверстия.

5. Струя воды с площадью S₁ поперечного сечения, равной 4 см², вытекает в горизонтальном направлении из брансбойда, расположенного на высоте Н=2 м над поверхностью Земли, и падает на эту поверхность на расстоянии l=8 м. Пренебрегая сопротивлением воздуха движению воды, найти избыточное давление Р воды в рукаве, если площадь S₂ поперечною сечения рукава равна 50 см².

6. Трубка имеет диаметр d=0,2 см. На нижнем конце трубки повисла капля воды, имеющая в момент отрыва вид шарика. Найти диаметр d₂ этой капли.

7. Масса m 100 капель спирта, вытекающего из капилляра, равна 0,71 г. Определить поверхностное натяжение α спирта, если диаметр d шейки капли в момент отрыва равен 1 мм.

8. В воду опущена на очень малую глубину стеклянная трубка с диаметром d внутреннего канала, равным 1 мм. Найти массу воды m, вошедшей в трубку.

9. Капиллярная трубка диаметром d=0,5 мм наполнена водой. На нижнем конце трубки вода нависла в виде капли. Эту каплю можно принять за часть сферы радиуса r=3 мм. Найти высоту h столбика воды в трубке.

10. Какую работу А надо совершить при выдувании пузыря, чтобы увеличить его объем от V₁=8 см³ до V₂= 16 см³? Считать процесс изотермическим. (α=4 · 10^-2 Н/м).

11. Какая энергия выделится при слиянии двух капель ртути диаметром d₁=0,8 мм и d₂=1,2 мм в одну каплю. (α=0,5 Н/м, ρ=13,6 · 10³ кг/м³)

12. Найти добавочное давление внутри мыльного пузыря диаметром d=5 см. Какую работу нужно совершить, чтобы выдуть этот пузырь?

13. В сосуде находится сыворотка крови, плотность которой 1026 кг/м³ и α=6 ·10^-2 Н/м. На глубине 25 см от поверхности жидкости образовался пузырек воздуха диаметром 10 мкм. Определить давление воздуха в пузырьке, если атмосферное давление равно 750 мм. рт. столба.

14. Какой объем крови протекает через кровеносный сосуд длиной 50 мм и диаметром 3 см за 1 минуту, если на его концах имеется разность давлений в 2 мм. рт. ст. (η=4 · 10^-3 Па·с)

Шарик всплывает с постоянной скоростью в жидкости, плотность которой в 4 раза больше плотности материала шарика. Во сколько раз сила трения, действующая на всплывающий шарик, больше веса этого шарика.

16. В сосуде с глицерином падает свинцовый шарик. Определить максимальное значение диаметра шарика, при которой движение слоев глицерина, вызванное падением шарика, является ещё ламинарным. Движение считать установившимся.(R_{е кр}=0,5, ρ_гл=1,26 · 10³ кг/м³, ρ_св =11,3 · 10³ г/м³, η=1,48 Па·с)

17. Вода течет по круглой гладкой трубе диаметром d=5 см со средней по сечению скоростью <v>=10 см/с. Определить число Рейнольдса R_e, для потока жидкости в трубе и указать характер течения жидкости.

18. По трубе течёт машинное масло. Максимальная скорость v_max, при которой движение масла в этой трубе остаётся ещё ламинарным, равно 3,2 см/с. При какой скорости v движение глицерина в этой же трубе переходит из ламинарного в турбулентное?(R_e=2300, ρ_мм=0,9 кг/м³, ρ_гл=1260 кг/м³, η_мм=0,1 Па·с, η_гл=1,48 Па·с)

19. Стальной шарик диаметром 1 мм падаете постоянной скоростью v=0,185 см/с в большом сосуде, наполненном касторовым маслом. Найти динамическую вязкость касторового масла.( R_ст=7870 кг/м³, R_км=960 кг/м³)

20. Льдина площадью поперечного сечения S=1 м² и высотой Н=0,4 м плавает в воде. Какую работу А надо совершить, чтобы полностью погрузить льдину в воду? Плотность воды ρ_в=1000 кг/м³, плотность льда ρ_л=900 кг/м³.

21. Найти добавочное давление р внутри мыльного пузыря диаметром d=10 см. Определить работу А, которую нужно совершить, чтобы выдуть этот пузырь.

22. Определить изменение свободной энергии ΔЕ поверхности мыльного пузыря при изотермическом увеличении его объема от V₁=10 см³ до V₂=2V₁.

23. Воздушный пузырек диаметром d=2 мкм находится в воде у самой ее поверхности. Определить плотность ρ воздуха в пузырьке, если воздух над поверхностью воды находится при нормальных условиях.

24. Глицерин поднялся в капиллярной трубке на высоту h=20 мм. Определить поверхностное натяжение σ глицерина, если диаметр d канала трубки равен 1 мм.

25. Широкое колено U-образного ртутного манометра имеет диаметр d₁=4 см, узкое d₂=0,25 см. Разность Δh уровней ртути в обоих коленах равна 200 мм. Найти давление р, которое показывает манометр, приняв во внимание поправку на капиллярность.

26. В широкой части горизонтально расположенной трубы нефть течет со скоростью v₁=2 м/с. Определить скорость v₂ нефти в узкой части трубы, если разность Δр давлений в широкой и узкой частях ее равна 6,65 кПа.

27. К поршню спринцовки, расположенной горизонтально, приложена сила F=15 Н. Определить скорость v истечения воды из наконечника спринцовки, если площадь S поршня равна 12 см².

28. Струя воды диаметром d=2 см, движущаяся со скоростью v=10 м/с, ударяется о неподвижную плоскую поверхность, поставленную перпендикулярно струе. Найти силу F давления струи на поверхность, считая, что после удара о поверхность скорость частиц воды равна нулю.

29. Бак высотой Н=2 м до краев заполнен жидкостью. На какой высоте h должно быть проделано отверстие в стенке бака, чтобы место падения струи, вытекающей из отверстия, было на максимальном от бака расстоянии?

30. Из бака водонапорной башни, расположенного на высоте h=10 м, вода по трубе поступает в кран, находящийся вблизи поверхности земли. За какое время τ кран наполнит ведро объемом V=10 л? Диаметр выходного отверстия крана d=1 см. Сопротивлением течению жидкости в трубе и кране пренебречь.

31. Вода протекающая в широкой части горизонтальной трубы, имеет давление р=2 · 10⁵ Па, в два раза больше атмосферного давления р₀, и скорость v₁=1 м/с (рис.). При каком соотношении диаметров D/d большой и малой трубы вода не будет вытекать из небольшого отверстия, расположенного в верхней части малой трубы?

32. В подвале дома вода отопительной системы поступает в трубу диаметром d₁=4 см со скоростью v₁=0,5 м/с под давлением р₁=3 атм. Каковы скорость течения v₂ и давление в трубке р₂ диаметром d₂=2,6 см на втором этаже, расположенном на 5 м выше?

33. Определить скорость полета струи из шприца диаметром d=4 см, на поршень которого давит сила F=30 Н. Площадь отверстия шприца много меньше площади поршня, сопротивлением воздуха пренебречь. Плотность жидкости ρ_в=1000 кг/м³.

34. Цилиндр диаметром D заполнен водой и расположен горизонтально. С какой скоростью v перемещается в цилиндре поршень, если на него действует сила F, а из отверстия в дне цилиндра вытекает струя диаметром d? Силу тяжести не учитывать. Плотность жидкости ρ.

35. какой скоростью v вытекает вода из маленького отверстия в дне широкого цилиндрического бака в момент времени, когда он заполнен до высоты h? Какой объем воды Q нужно доливать в бак в единицу времени, чтобы уровень жидкости в баке остался неизменным? Площадь отверстия S.

36. Широкий сосуд с небольшим отверстием в дне наполнен водой и керосином. Пренебрегая вязкостью, найти скорость v вытекающей воды, если толщина слоя воды h₁, а слоя керосина h₂. Плотность воды ρ₁, керосина – ρ₂ (ρ_1> ρ₂).

37. На гладкой горизонтальной поверхности стоит сосуд с водой. В боковой стенке сосуда у дна имеется малое отверстие площадью S. Какую силу F нужно приложить к сосуду, чтобы удержать его в равновесии, если высота уровня воды в сосуде равна h? Плотность воды ρ.