Механические колебания. Гармонические колебания.

Затухающие колебания. Волны в упругой среде. Акустика.

1. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний материальной точки:

где m – масса точки;

k – коэффициент квазиупругой силы (k=ω²m ).

2. Уравнение гармонических колебаний:

где х – смещение колеблющейся точки от положения равновесия к моменту времени t;

А – амплитуда колебания;

Т – период колебаний;

ω – круговая частота колебаний;

φ – начальная фаза колебаний.

3. Скорость точки, совершающей гармоническое колебание:

4. Ускорение при гармоническом колебании:

5. Амплитуда А результирующего колебания, полученного при сложении двух колебаний с одинаковыми частотами, происходящих по одной прямой, определяется по формуле:

6. Начальная фаза φ результирующего колебания:

7. Уравнение траектории точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях с амплитудами А₁ и А₂ и начальными фазами φ₁ и φ_2:

8. Полная энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания:

9. Период колебаний тела, подвешенного на пружине:

Период колебаний математического маятника:

Период колебаний физического маятника:

где J – момент инерции колеблющегося тела относительно оси колебаний;

m – масса маятника;

а – расстояние центра масс маятника от оси колебаний.

Период крутильных колебаний тела, подвешенного на упругой нити:

где J – момент инерции тела относительно оси, совпадающей с упругой нитью;

k – жесткость упругой нити, равная отношению упругого момента, возникающего при закручивании нити, к углу, на который нить закручивается.

10. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний:

где β – коэффициент затухания.

11. Уравнение волны:

где ξ(x,t)- смещение точек среды с координатой x в момент t;

ω – круговая частота;

v – скорость распространения колебаний в среде

или

k – волновое число.

12. Длина волны:

где Т – период колебаний;

υ – частота колебаний.

13. Разность фаз колебаний двух точек среды, расстояние между которыми (разность хода) равно Δх:

14. Уравнение стоячей волны:

или

15. Фазовая скорость продольных волн в упругой среде:

а) в твердых телах

E – модуль Юнга;

ρ – плотность вещества.

б) в газах

или

γ – показатель адиабаты;

R – молярная газовая постоянная;

Т – термодинамическая температура;

μ – молярная масса;

Р – давление газа.

в) для жидкостей

- коэффициент сжатия.

16. Акустический эффект Доплера:

υ – частота звука воспринимаемого движущимся прибором или ухом;

v – скорость звука в среде;

U_пр – скорость прибора относительно среды;

U_ист – скорость источника звука относительно среды;

υ₀ – частота звука, испускаемого источником.

17. Амплитуда звукового давленя:

υ – частота звука;

А – амплитуда колебаний частиц среды;

v – скорость звука в среде;

ρ – плотность среды.

18. Средняя объемная плотность энергии звукового поля:

19. Поток звуковой энергии:

где W – энергия, переносимая через данную поверхность за время t.

20. Интенсивность звука:

21. Связь мощности N и точечного изотропного источника звука с интенсивностью звука:

r – расстояние от источника звука до точки звукового поля, в которой определяется интенсивность.

22. Удельное акустическое сопротивление среды:

23. Акустическое сопротивление:

где S – площадь сечения участка акустического поля.

24. Уровень интенсивности звука (уровень звуковой мощности в децибелах):

где J₀=1·10^-12 Вт/м² – условная интенсивность, соответствующая нулевому уровню интенсивности.

Задачи.

1. Уравнение колебаний точки имеет вид х = А · cos(t+ τ) , где ω=π · с^-1 , τ=0,2. Определить период Т и начальную фазу φ колебаний.

2. Написать уравнение гармоническою колебательного движения с амплитудой 5 см, если в 1 мин совершается 150 колебании и начальная фаза колебании равна 45°. Начертить график этого движения.

3. Точка равномерно движется но окружности против часовой стрелки с периодом Т=6 с. Диаметр окружности равен 20 см. Написать уравнение движения проекции точки на ось X, проходящую через центр окружности, если в момент времени, принятый за начальный, проекция на ось Х равна нулю. Найти смещение X, скорость X, ускорение Х проекции точки в момент t=1 с.

4. Определить максимальные значения скорости и ускорения точки, совершающей гармонические колебания с амплитудой А=З см и циклической частотой .

5. Уравнение движения точки дано в виде . Найти моменты времени, в которые достигаются максимальная скорость и максимальное ускорение.

6. Точка совершает колебания по закону х=А · cosωt, где А=5 см, ω=2 с^-1. Определить ускорение точки в момент времени, когда ее скорость v=8 см/с.

7. К пружине подвешен груз массой m=10 кг. Зная, что пружина под влиянием силы в 10 Н растягивается на 1,5 см, определить период вертикальных колебаний.

8. Амплитуда гармонических колебаний материальной точки А=2 см, полная энергия колебаний W=3 · 10 Дж. При каком смещении от положения равновесия на колеблющуюся точку действует сила F=2,25 · 10⁵ Н?